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高三数学三角函数的最值问题


三角函数的最值问题

高三备课组

1一: 基础知识
1 、 配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为 二次函数在闭区间上的最值问题,
2 y ? sin x ? sin x ? 1 的最值 如求函数

可转化为求函数
上的最值问题。

y ? t 2 ? t ?1, t ???1,1?

2、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值:

a sin x ? bcox ? a ? b sin( x ? ? )
2 2

如函数

1 y? 2 ? sin x ? cox

的最大值是

3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义, 例如求函数
的最大值和最小值。

sin x y? cox ? 2

4、换元法求最值
①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数,此 时常用万能公式和判别式求最值。 ②利用三角代换将代数问题转化为三角函数,然而 利用三角函数的有界性等求最值。

例如:设实数 x 、 y满足 x 2 ? y 2 ? 1 则3x ? 4 y 值为______.

的最大

二 重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的 最值。 三 思维方式 1 认真观察函数式,分析其结构特征,确定类型 2 根据类型,适当地进行三角恒等变形或转化,这是 关键的步骤。 3 在有关几何图形的最值中,应侧重于将其化为三角 函数问题来解决。 四 特别说明 注意变换前后函数的等价性,正弦、余弦的有界性及函 数定义域对最值确定的影响,含参数函数的最值,解题 要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析
1、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值。

P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 ?7 ? y ? 1 ,求bsinx +acosx 的最大值.

练习:求函数

y ? sin2 x ? 3sin x cos x ? 1

的最值,并求取得最值时的值。

思维点拨: 三角函数的定义域对三角函数有界性 的影响。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。 例2 P(66)

x 求函数 y ? cot ? sin x ? cot x ? sin 2 x的最值 . 2
练习:

5 3 使得函数 y ? sin x ? a cos x ? a ? ? ?? 8 2 0,
2

是否存在实数a,

? 在闭区间 ? 上的最大值是1?若存在,求出对应 ? 2? 的a值?若不存在,试说明理由。

思维点拨: 闭区间上的二次函数的最值问题字母分 类讨论思路。

3、换元法解决

sin x ? cos x, sin x cos x

同时出现的题型。

例4、求函数 的最小值。

y ? ?4 ? 3 sin x ??4 ? 3 cos x ?

[思维点拨]: 遇到 sin x cos x 与 sin x ? cos x 相关的问题,常采用换元法,但要 注意 sin x ? cos x 的取值范围 是 [? 2, 2] ,以保证函数间的 等价转化。

4、图象法,解决形如

a sin x ? c y? b cos x ? d

型的函数。

2 ? sin x 例4 P(66例3)、求函数 y ? 2 ? cos x
小值.。

的最大值和最

例5、
设 x ? [0, ] ,若方程
?

a

的取值范围。

2

3 sin( 2 x ?

?
3

)?a

有两解,求

[思维点拨]:在用数形结合法解题 时,作图一定要准确。本题若改为 方程有一解,则 a 的范围又该怎样 呢?

三、课堂小结 ( 1) 求三角函数最值的方法有:①配方法,②化为一个角 的三角函数,③数形结合法④换元法,⑤基本不等式法。 ( 2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的,因而要特别 注意题设所给出的区间。 (3) 求三角函数的最值时,一般要进行一些三角变换以及 代数换元,须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。 ( 4) 含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。

四、作业:

; http://www.335la.com/ 信息分类网 nqx48kop 耿家父子们和李尚武不认识他们,他们也不认识耿家父子们和李尚武。这些孩子们大概在想:管他们是谁呢,今儿个是月初的 第一个集市日,来赶集的人多着呢!因此,他们并没有驻足留意,都自管蹦来蹿去地继续玩儿去了。远远望见自家的院门儿了, 耿老爹不由地脚下用力加快了步伐。不一会儿,从后面快步赶上来三个人。耿正注意到,当他们从车旁超过去的时候,都回头 专注地张望了几眼,尤其死死地盯住包裹着红色篷布的寿棺多看了几眼。熟悉的院门儿近在咫尺了:简洁的门楼,磨得光滑发 亮的黄铜门环??耿老爹激动得浑身直打颤!几乎就在同时,一左一右挽着爹爹胳膊的耿英和耿直,也都控制不住地浑身打颤 了!是啊,九年半了!此时,谁的心情又能够做得到不会万分激动呢!院门儿忽然打开了,两个十四、五岁的女娃儿说笑着并 肩走了出来。耿老爹定睛一看,其中的一个女娃儿,长得实在是太像九年半之前跟他南下时的大女儿耿英了!他不由地拽着耿 英和耿直快步向前,猛然之间脱口喊出一声:“兰儿!你就是俺的兰儿啊!”耿英和耿直也同时喊道:“兰兰!”看着愣在一 旁的另一个女娃儿,耿英又喊道:“你是妞儿啊!”两个女娃儿且不答应,同时一个左右急转身,一起冲回院儿里去了!随即 就有两个声音传出来:“娘,你快来看啊,是不是俺爹和俺哥哥姐姐们回来了呀!”“婶儿,你快来看啊,那个喊俺‘妞儿’ 的,好像是俺耿英姐姐呢!”耿正赶快招呼李尚武将两挂骡车停在门前。在停车的当儿,耿正又注意到,那三个从后面快步赶 上来超过去的人也停下来了。他们一起朝这边望望之后,又快步往前走了。耿正不由得皱皱眉头,心想:今儿个固然是逢集人 杂一些,但这三个人的行迹可是有些个不太正常呢!院儿内传出来一阵轻重不一急促的脚步声,耿兰和董妞儿搀扶着头发花白 的郭氏深一脚浅一脚地出门来了。“娘!娘啊!”随着这明显带着颤音的一声喊,耿英和耿直泪如雨下??耿老爹早已老泪纵 流泣不成声??他定眼望着憔悴残老了许多的贤妻,哽咽着艰难地说着:“他,他娘啊,你,你受苦了??”由于太激动了, 郭氏的身子在剧烈地颤抖着。她泪流满面,但张着嘴巴却只能吃力地吐出来几个字:“他,他爹啊,是,是,是你爷儿们吗? 你们,可,可回来啦??”“是俺啊,俺和咱娃儿们,都,都回来了??”耿英和耿直放开爹爹,一起扑上来抱住了日思夜想 的亲娘,娘儿三个直哭得声嘶力竭??搀扶着郭氏的耿兰和董妞儿见状,同时放开手退在一旁呆若木鸡!看到没有人搀扶的爹 爹一个趔趄几乎摔倒,耿正一个箭步上前用力扶住,同时强忍着激动的颤栗尽量镇静地颤声低喊:“英子,小直子,你们忍住 点儿!娘,娘啊,你快看看,这是谁啊!”耿英和耿直听了哥


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