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【高中数学必修4学习课件】——人教A版2-3-2、2-3-3平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算_图文

第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.2.2 2.2.3 向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义 提高篇 预习篇 课堂篇 巩固篇 课时作业 学习目标 1.能用坐标表示向量,知道平面向量基本定理中向量 与有序实数对的一一对应关系. 2.会两个向量的和差及实数与向量积的坐标表示. 重点难点 重点:平面向量的正交分解及坐标表示; 难点:平面向量的坐标运算. 预习篇01 新知导学 向量的正交分解及坐标表示 1.向量的正交分解 把一个向量分解为 两个互相垂直 的向量,叫做把向 量正交分解. 2.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有 且只有一对实数x,y使a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a= (x,y) ,其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴上的坐标. 1.特别地,i,j,0的坐标分别是什么? 答:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 平面向量的坐标运算 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2), 即两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和 (差). (2)λa= (λx1,λy1) (λ∈R),即实数与向量的积的坐 标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (3)若点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),O为坐标 → → → → → 原点,则 OA= (x1,y1) ,OB= (x2,y2) ,AB=OB- OA= (x2,y2)-(x1,y1)= (x2-x1,y2-y1) .即一个向量的坐标等 于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 2.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 答:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y 轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y). 3.若A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求线段AB的长度? → 答:由于 AB =(x2-x1,y2-y1)且线段AB的长度等于向 → → 量AB的模,所以线段AB=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 1.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别: ①意义. 点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的 坐标反映的是向量的大小和方向,与位置无关. ②表示形式. → → 如点A(x,y),向量a= OA =(x,y).当平面向量 OA 平 → → → 行移动到 O1A1 时,向量不变,即 O1A1 = OA =(x,y),但 → O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化. (2)联系: ①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点 的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系. ②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点,这时 向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定, 即终点的坐标就是向量a的坐标. 2.向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算. 此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的 应用. (2)字母表示下的几何运算. 此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面 → → → → → → 要注意OA+AB=OB,OA-OB=BA等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算. 此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向 线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐 标运算. 课堂篇02 合作探究 平面向量的坐标表示 【例1】 设i=(1,0), j=(0,1),a=3i+4j,b=-i +j,求a+b与a-b的坐标. 【分析】 只需将a+b和a-b表示为xi+yj的形 式,从而得出所求坐标. 【解】 ∵a=3i+4j,b=-i+j, ∴a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j, a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j. 又i=(1,0),j=(0,1), ∴a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3). 通法提炼 i=?1,0?,j=?0,1?分别是与x轴、y轴同方向的单位 向量,向量的坐标?x,y?是相对于i=?1,0?,j=?0,1?来说 的,若向量可以表示成xi+yj的形式,则此向量的坐标就是 ?x,y?. 已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,- 2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分别作出向量 → → → → → → AC,BD,EF,并求向量AC,BD,EF的坐标. 解:如图,描出点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(- → 5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),再分别作出向量 AC , → → → → → BD,EF.由图可知:AC=2i+4j,BD=-3i+4j,EF=-3i → → -4j,所以AC=(2,4),BD=(-3,4),EF=(-3,-4). 向量的坐标运算 【例2】 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,- → → → → → 4),且CM=3CA,CN=2CB,求M,N及MN的坐标. 【分析】 首先设出M、N的坐标,结合已知条 件,分别建立关于M、N坐标的方程.从而求得M,N的 → 坐标以及MN的坐标. 【解】 由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得 → → CA =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), CB =(3,-1)-(-3,- → → → → 4)=(6,3),所以 CM =3 CA =3(1,8)=(3,24), CN =2 CB = 2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 ? ?x1+3=3 (3,24),所以? ? ?y1+4=24 → CM

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