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2013徐汇区高三一模数学理科试题及答案

2012 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (理)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.方程组 ?

?2 x ? y ? 1 的增广矩阵是__________________. ? x ? 3 y ? ?2
? 1? ? 2?

2. 已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 ? 8, ? ,则此幂函数的解析式是 f ( x) ? _____________.

3. (理)若 ? 为第四象限角,且 sin ?

?? ? 4 ? ? ? ? ,则 sin 2? ? ___________. ?2 ? 5
x2 y 2 ? ? 1 的右焦 6 10

4. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线 点重合,则实数 p 的值是 .

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 部分图像如右图所示,则 f ( x) ? _________.

?
2

)的

6.理) n ? (1, ?2) 是直线 l 的一个法向量, ( 若 则直线 l 的倾斜角的大小为_________________. (结果用反三角函数值表示)

?

2x ? 1
7. (理)不等式

2 2
x

0 1 ≥ 0 的解为 ?1
.

0 3

2

8.高三(1)班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中任选 3 人参加上海市某社区敬老服务工作,则选出的人中至少有一名女生 的概率是 .(结果用最简分数表示)

9.如图所示的程序框图,输出 b 的结果是_________. 10. (理)已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q(q ? 0) ,前 n 项 和 为 S n , 若 lim 是 .

S n?1 ?1 , 则 公 比 q 的 取 值 范 围 n ?? S n

11. ( 理 ) 若 平 面 向 量 ai 满 足

??

?? ?? ??? ? ai ? 1 (i ? 1, 2,3, 4) 且 ai ? ai ?1 ? 0 (i ? 1,2,3) , 则

?? ?? ?? ?? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 可能的值有____________个.
12. (理)在 ?ABC 中, ?A ? 60
0

, M 是 AB 的中点,若 AB ? 2, BC ? 2 3 , D 在线

段 AC 上运动,则 DB ? DM 的最小值为____________. 13. (理)函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

??? ???? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与 b, a ? b ?

函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否 存在最大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在” _______________. 14.已知线段 A0 A10 的长度为 10 ,点 A1 , A2 ,?, A9 依次将线段 A0 A10 十等分.在 A0 处标 0 , 往右数 1 点标 1 ,再往右数 2 点标 2 ,再往右数 3 点标 3 ……(如图),遇到最右端或最左端返 回,按照 A0 ? A10 ? A0 ? A10 ? ? 的方向顺序,不断标下去, (理)那么标到 2010 这个数时,所在点上的最小数为_____________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否 则一律得零分.
15.下列排列数中,等于 (n ? 5)(n ? 6)?(n ?12) (n ? 13, n ? N ) 的是
*





(A) P7 12 n?

(B) P7 5 n?

(C) P8?5 n

(D) P8?12 n
0

16. ?ABC 中, cos A ? sin A ? cos B ? sin B ” “ ?C ? 90 ” 在 “ 是 的 (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 17 . 若 函 数 f ( x) ? ( ) (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0 (B) 必要非充分条件 (D) 既不充分也不必要条件





ax 2 ? 1 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 增 , 那 么 实 数 a 的 取 值 范 围 是 x

18. (理)对于直角坐标平面 xOy 内的点 A( x, y ) (不是原点), A 的“对偶点” B 是指:满足

OA OB ? 1 且在射线 OA 上的那个点. 若 P, Q, R, S 是在同一直线上的四个不同的点

( (



不 )







),



















P' , Q' , R' , S '

(A) 一定共线 (C) 要么共线,要么共圆

(B) 一定共圆 (D) 既不共线,也不共圆

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 求 a 的取值范围.

x ?3 ? 0} , 实数 a 使得集合 B ? ?x | ( x ? a)( x ? 5) ? 0? 满足 A ? B , x?4

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f (x) = log 2

x ?1 . x ?1

(1)判断函数 f (x) 的奇偶性,并证明;
?1 (2)求 f (x) 的反函数 f ( x) , 并求使得函数 g ( x) ? f ?1 ( x) ? log2 k 有零点的实数 k 的取

值范围.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (理) 某种型号汽车四个轮胎半径相同, 均为 R ? 40cm , 同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为 l ? 280cm (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽 车 开 上 一 段 上 坡 路 ABC ( 如 图 (1) 所 示 , 其 中

3 ?ABC ? ? ( ? ? ? ? ? )),且前轮 E 已在 BC 段上时,后轮中心在 F 位置;若前轮中心 4 到达 G 处时,后轮中心在 H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在 E 和 G 处 时 与 地 面 的 接 触 点 分 别 为 S 和 T , 且 BS ? 60cm , ST ? 100cm . (其它因素忽略不计) (1)如图(2)所示, FH 和 GE 的延长线交于点 O ,
求证: OE ? 40 cot

?

2

? 60 (cm);

(2)当 ? = ? 时,后轮中心从 F 处移动到 H 处实际移动了多少厘米? (精确到 1cm)

5 6

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 6 分. (理)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1, 0) ,点 (?1, ) 在椭圆 2 a b 2

??? ? C 上, T 满足 OT ? 点
Q 两点 .

a2 a 2 ? b2

??? ? , ? OF (其中 O 为坐标原点) 过点 F 作一直线交椭圆于 P 、

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ?PQT 面积的最大值; (3)设点 P? 为点 P 关于 x 轴的对称点,判断 P?Q 与 QT 的位置关系,并说明理由.

???? ?

??? ?

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 8 分. (理)对于数列 {xn } ,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到 的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后, 打算研究首项为正 整数 a ,公比为正整数 q(q ? 1) 的无穷等比数列 {an } 的子数列问题. 为此,他任取了其中三 项 ak , am , an (k ? m ? n) . (1) 若 ak , am , an (k ? m ? n) 成等比数列,求 k , m, n 之间满足的等量关系; (2) 他猜想: “在上述数列 {an } 中存在一个子数列 {bn } 是等差数列” 为此, , 他研究了 ak ? an 与 2am 的大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确; (3) 他又想: 在首项为正整数 a ,公差为正整数 d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子 数列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明. 参考答案 一、填空题: (每题 4 分)

1. ?

?1 1 ? 2      ? ? ?1  3 -2 ?

2. x

?

1 3

3. (理) ?

24 25

4. 8

5. 2sin 8.

?
4

x

6. (理)arctan 9. 1

1 2

7. (理)x ? 0

31 35

10. (理)0<q ? 1

11. (理) 3 12. (理)

23 16

13. (理) 1 14. (理) 5

二、选择题: (每题 5 分) 15. C 16. B 17.A

18. (理)C

三、解答题 19. 解:A= (3,4)………………………………………………………………………………..2 分 a ? 5 时,B= (a, ??) ? (??,5) ,满足 A ? B;…………………………………..6 分 a<5 时,B= (5, ??) ? (??, a) ,由 A ? B,得 a ? 4,故 4 ? a<5,……………..10 分 综上,得实数 a 的取值范围为 a ? 4. ……………………………………………..12 分 20. 解:(1)f(x)的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) ……………………………………………..2 分 f(-x)=log2

?x ?1 x ?1 =log2 =-f(x), ?x ?1 x ?1
………………………………………..6 分

所以,f(x)为奇函数. (2)由 y= log 2

x ?1 2y ?1 ,得 x= y , x ?1 2 ?1
……………………………………..9 分

2x ? 1 所以,f (x)= x ,x ? 0. 2 ?1
-1

因为函数 g ( x) ? f ?1 ( x) ? log2 k 有零点, 所以, log 2 k 应在 f 所以,log2k=
?1

( x) 的值域内.
………………….13 分

2 2x ? 1 ? (??, ?1) ? (1, ??) , =1+ x x 2 ?1 2 ?1

从而,k ? (2, ??) ? (0, ) .

1 2

……………………………………………..14 分

21. (理)解:(1) 由 OE//BC,OH//AB,得∠EOH= ? ,………………………..2 分 过点 B 作 BM⊥OE,BN⊥OH,则

Rt ? OMB ? Rt ? ONB,从而 ∠BOM= 在

? . 2

……………………………..4 分 中 , 由 BM=40 得 OM=40cot

Rt ? OMB

OE=OM+ME=OM+BS= 40 cot (2)由(1)结论得 OE=

?
2

? 2

, 从 而 ,

? 60 .

………………………………..6 分

40 ? 60 . tan 750

设 OH=x,OF=y, 在 ? OHG 中,由余弦定理得, 2802=x2+(

解得 x ? 118.8cm. ………………………………………………………………..9 分 在 ? OEF 中,由余弦定理得, 2802=y2+(

40 40 ? 60 +100)2-2x( ? 60 +100)cos1500 , 0 tan 75 tan 750

解得 y ? 216.5cm. …………………………………………………………..12 分 所以,FH=y-x ? 98cm, 即后轮中心从 F 处移动到 H 处实际移动了约 98cm. ………………………14 分

40 40 ? 60 )2-2y( ? 60 )cos1500 , 0 tan 75 tan 750

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 22. (理)解:(1)由 ? 1 ,得…………………………………..2 分 1 ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b
a2=2,b2=1 所以,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………………………..4 分

? x ? my ? 1 ? (2)由 ? x 2 ,得(m2+2)y2+2my-1=0, 2 ? ? y ?1 ?2
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由条件可知,点 T (2, 0) .

1 1 2 1 1 4m2 ? 4(m2 ? 2) = ?2( 2 …..6 分 ) ?2 2 S?PQT = |FT||y1-y2|= ? 2 2 m ?2 m ?2 2 m ?2
令 t=

1 1 ,则 t ? (0, ] , m ?2 2
2

则 S?PQT = ?2t 2 ? 2t = ?2(t ? ) ?
2

1 2

1 1 2 ,当且仅当 t= ,即 m=0 ? 2 2 2

(此时 PQ 垂直于 x 轴)时等号成立,所以 S?PQT 的最大值是

2 . 2

…………..10 分

(3) P?Q 与 QT 共线 ………………………………………………………………..11 分

???? ?

??? ?

P? (x1,-y1), P?Q =(x2-x1,y2+y1), TQ =(x2-2,y2) ……………………………..12 分
由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2) =-x1y2-x2y1+2(y1+y2) =-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2) =-2my1y2+(y1+y2)

???? ?

??? ?

?1 ?2 m + 2 m ?2 m ?2 ???? ??? ? ? =0,所以, P?Q 与 QT 共线…………………………………………………..16 分
=-2m
2

( 23. (理)解:(1)由已知可得: ak ? aqk ?1 , am ? aqm?1 , an ? aqn?1 ,
2 则 am ? ak ? an ,即有 aq

………..…..1 分

?

m ?1 2

? ? ? aq ??aq ? ,
k ?1 n ?1

………….…………. …..3 分 …………………………..4 分

2(m ? 1) ? (k ? 1) ? (n ? 1) ,化简可得. 2m ? k ? n .
(2)

ak ? an ? aqk ?1 ? aqn?1 ,又 2a ? 2aqm?1 , m
故 (ak ? an ) ? 2am ? aqk ?1 ? aqn?1 ? 2aqm?1 ? aqk ?1 (1 ? qn?k ? 2qm?k ) ,……………..6 分 由于 k , m, n 是正整数,且 n ? m ,则 n ? m ? 1, n ? k ? m ? k ? 1 , 又 q 是满足 q ? 1 的正整数,则 q ? 2 ,

1 ? qn?k ? 2qm?k ? 1 ? qm?k ?1 ? 2qm?k ? 1 ? qqm?k ? 2qm?k ? 1 ? 2qm?k ? 2qm?k ? 1 ? 0 ,
所以, ak ? an > 2am ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10 分

(3)命题:对于首项为正整数 a ,公差为正整数 d 的无穷等差数列 {an } ,总可以找到一个无穷 子数列 {bn } ,使得 {bn } 是一个等比数列. 此命题是真命题,下面我们给出证明. 证 法 一 : 只 要 证 明 对 任 意 正 整 数 n, bn ? a(1 ? d ) , n ? 1 都 在 数 列 {an} 中 . 因 为
n

……….. …….. …………..13 分

bn=a(1+d)n=a(1+ Cn d+ Cn d2+…+ Cn dn)=a(Md+1),这里 M= Cn + Cn d+…+ Cn dn-1 为正整数,所
1 2 n 1 2 n

以 a(Md+1)=a+aMd 是{an}中的第 aM+1 项,证毕.
*

……………..18 分

证法二:首项为 a ,公差为 d ( a, d ? N )的等差数列为 a, a ? d , a ? 2d ,? ,考虑数列 {an } 中

的项: a ? ad , a ? (2a ? ad )d , a ? (3a ? 3ad ? d 2 )d ,? 依次取数列 {bn } 中项 b1 ? a ? ad ? a(1 ? d ) , b2 ? a ? (2a ? ad )d ? a(1 ? d )2 ,
2 b3 ? a ? (3a ? 3ad ? d 2 )d ? a(1? d )3 ,则由 a ? 2 a ? ad ? 3 a ? 3 ad ? d ,可知

b2 b3 ? ,并 b1 b2
...18 分

由数学归纳法可知,数列 bn ? a(1 ? d )n , n ? 1 为 {an } 的无穷等比子数列.


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