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第九章 9.2 两条直线的位置关系


一轮复习讲义 两条直线的位置关系 要点梳理 (1)两条直线平行 忆一忆知识要点 1.两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2? k1=k2 .特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行 . (2)两条直线垂直 k2 如果两条直线 l1,l2 斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2? k1· -1 ,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时, 两直线 垂直 . 要点梳理 2.两直线相交 忆一忆知识要点 交点:直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 ? ?A1x+B1y+C1=0 的公共点的坐标与方程组? 的解一一 ? ?A2x+B2y+C2=0 对应. 相交?方程组有 唯一解 ,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组 无解 ; 重合?方程组有 无数个解 . 要点梳理 3.三种距离公式 忆一忆知识要点 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: 2 2 ( x - x ) + ( y - y ) 2 1 2 1 AB= . (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离: |Ax0+By0+C| 2 2 A + B d= . (3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d= |C2-C1| A2+B2 . [难点正本 疑点清源] 1.两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的,就是两条直 线都有斜率.当直线无斜率时,要单独考虑. 2.在判断两直线的位置关系时,也可利用直线方程的一般式, 由系数间的关系直接做出结论: 设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. ? ?A1B2=A2B1, (1)l1∥l2?? ? ?A1C2≠A2C1. (2)l1 与 l2 相交?A1B2≠A2B1. ? ?A1B2=A2B1, (3)l1 与 l2 重合?? ? ?A1C2=A2C1. (4)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 两条直线的平行与垂直 例1 (1)已知两直线 l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m (2)已知两直线 l1:ax+2y+6=0 和 l2:x+(a-1)y+(a2-1) =0.若 l1⊥l2,求实数 a 的值. =0,若 l1∥l2,求实数 m 的值; 运用两直线平行、垂直的条件求解,并注意斜率为 0 或斜率不存 在的情况. 解 (1)方法一 ①当 m=0 时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2; 1 6 ②当 m≠0 时,l1:y=- 2x- 2, m m 2-m 2 l2:y= x- , 3m 3 1 2-m 6 2 由- 2= 且- 2≠- ,∴m=-1. m 3m m 3 故所求实数 m 的值为 0 或-1. 方法二 A2C1≠0. 由所给直线方程可得: 1· 3m-m2· (m-2)=0 且 1· 2m-6· (m-2)≠0 ?m(m2-2m-3)=0 且 m≠3?m=0 或-1. 故所求实数 m 的值为 0 或-1. 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 平行 的等价条件是: A1B2 - A2B1 = 0 且 B1C2 - B2C1≠0 或 A1C2 - a (2)方法一 由直线 l1 的方程知其斜率为- , 2 当 a=1 时,直线 l2 的斜率不存在,l1 与 l2

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