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最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》课堂导学


课堂导学 三点剖析 一、切线的性质 【例 1】如图 2-3-1,两圆为以 O 为圆心的同心圆,大圆的弦 AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是 AB 的中点. 图 2-3-1 证明:连结 OA、OC、OB, ∵OA=OB, ∴△OAB 是等腰三角形. 又∵AC 是小圆切线,C 是切点, ∴OC⊥AB,即 OC 是等腰三角形底边上的高. ∴OC 是 AB 边上的中线. ∴C 是 AB 的中点. 温馨提示 连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一. 二、切线的判定 【例 2】 如图 2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,BD=OB,点 C 在圆上,∠CAB =30° . 求证:DC 是⊙O 的切线. 图 2-3-4 证明:连结 OC、BC, ∵OA=OC, ∴∠CAB=∠ACO. ∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60° . ∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形. ∵BD=OB,∴BD=BC. ∴∠D=∠BCD. ∵∠OBC=∠D+∠BCD, ∴∠BCD= 1 ∠OBC=30° . 2 ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60° +30° =90° . ∴DC 是⊙O 的切线. 三、切线的性质与判定的综合运用 【例 3】 如图 2-3-6,直角梯形 ABCD 中,以 CD 为直径的圆恰好与腰 AB 相切. 求证:以 AB 为直径的圆也与腰 CD 相切. 图 2-3-6 思路分析:取 CD、AB 中点 O1、O2,则 O1、O2 分别是两圆圆心,只需证 O2 到 CD 距离等于 O2A 或 O2B 即可. 证明:连结 O1O2,作 O2E⊥O1D 于 E,DF⊥O1O2 于 F. ∵O1C=O1D,O2B=O2A, ∴O1O2∥AD∥BC. ∴AB⊥O1O2.∴DF=AO2. ∵AB 与⊙O1 相切,∴O1O2=O1D. ∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E=DF.∴O2E=O2A. ∴⊙O2 与 CD 相切于 E 点. 各个击破 类题演练 1 如图 2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦 AB 和 AC 分别和小圆相切于点 D 和 E. 求证:DE 1 BC. 2 图 2-3-2 证明:连结 OD、OE, ∵AB 切小圆于 D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC. ∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE 1 BC. 2 变式提升 1 求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心. 图 2-3-3 答案:已知:如图 l1、l2 分别切⊙O 于 A、B,l1∥l2,求证:O 在 AB 上. 证明:连结 OA,并延长交 l2 于 B′, ∵l1 切⊙O 于点 A,∴OA⊥l1.又∵l1∥l2, ∴OA⊥l2,即 OB′⊥l2. ∴B 为 l2 与⊙O 的切点.∴OB⊥l2. 但过 O 只有一条直线与 l2 垂直.∴B′与 B 重合. 即 A、O、B 在一条直线上,或 AB 经过点 O. 类题演练 2 如图 2-3-5,已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径,作⊙O 与斜边 AC 交于点 D,E 为 BC 边上 的中点,连结 DE. 求证:DE 是⊙O 的切线. 图 2-3-5 证明:连结 OD、BD. ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ADB=90° . ∴∠CDB=90° . ∵E 是 BC 中点, ∴CE=EB=DE. ∴∠1=∠2.∵OB=OD, ∴∠3=∠4. ∴∠1+∠4=∠2+∠3. ∵在 Rt△ABC 中,∠ABC=∠2+∠3=90° , ∴∠EDO=∠1+∠4=90°

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