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吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试数学(文)试卷


吉大附中高中部 2015-2016 学年上学期

高三年级第四次摸底考试 数学文科 试 卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 命题人:吴普林 审题人:刘媛媛 注意事项: 1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上; 2.客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置上; 3.主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案无 效;在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(客观题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要 求. (1)已知集合 A ? {x | ?1 ? x ≤ 0} ,B ? { a } ,A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围是 (A) [0 , 1) (C) (?1 ,0] (B) (?1 , 1) (D) (?1 ,0)

(2)若 k , ? 1 , b 三个数成等差数列,则直线 y ? kx ? b 必经过定点 (A)(1,-2) (B)(1,2) (C)(-1,2)
? x 2 ? 2 ,x ≤ 0 , 的零点个数是 (3)函数 f ( x) ? ? ?2 x ? 6 ? ln x ,x ? 0

(D)(-1,-2)

(A)1
2 2

(B)2

(C)3

(D)4

(4)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 ,l 是过点 P(3 ,0) 的直线,则 (A) l 与 C 相交 (B) l 与 C 相切 (C) l 与 C 相离 (D)以上三个选项均有可能 (5)函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( x) 的 解 析 式 及 S ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) 的值分别为
1 (A) f ( x) ? sin 2? x ? 1 ,S ? 2007 2 1 ? (B) f ( x) ? sin x ? 1 ,S ? 2008 2 2 1 ? (C) f ( x) ? sin x ? 1 ,S ? 2009 2 2

y
3 2 1 1 2

1 ? (D) f ( x) ? sin x ? 1 ,S ? 2010 2 2 (6)直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 ,l2 : x ? by ? c ? 0 ,则 ab ? 1 是 l1 ∥ l2 的

O

2

4

x

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

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(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0 , ? x (7)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ≥ 0 , 所表示的平面区域为 M,使函数 y=a (a>0,a ≠ ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 , ?

1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 (A)[1,3] (C)[2,9]

(B)[2, 10 ] (D)[ 10 ,9]

x ?x 且a ? 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 , 又 是 减 函 数 , 则 (8)若 函 数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a (a ? 0 , g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是

y

y

y

y

2 1 O

x

2

1O

x

O

2 3

x

O

2 3
(D)

x

(A)

(B)

(C)

1 3 1 ? cos50? 2 tan13? ,c ? ,则 sin 6? , b ? (9)已知 a ? cos 6? ? 2 2 2 1 ? tan 2 13? (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? c ? b (D) b ? c ? a 1 (10)若 a ,b ,c 均为单位向量,且 a ? b ? ? , c ? xa ? yb ( x ,y ? R ) ,则 x ? y 的最大值为 2

(A)1 (C)3

(B)2 (D)4

若 {an } 和 { Sn } 都是等差数列, 且公差相等, 则 a2 ? (11)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 3 (A) (B) 1 4 4 1 (C) (D) 3 2 2 |x| 1 2 ? ,有下列四个结论,其中正确结论的个数为 (12)关于函数 f ( x) ? sin x ? ( ) 3 2 1 (A) f ( x) 是奇函数 (B) f ( x) 的最小值是 ? 2 5 1 (C) f ( x) 的最大值是 (D)当 x ? 2003 时, f ( x) ? 恒成立 2 6

第Ⅱ卷(主观题 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 ? a ? b ? 0(? ? R) ,则 | ? | ________. (14)设函数 f (x)=
x x x (x>0),观察:f 1(x)=f (x)= , f 2(x)=f (f 1(x))= , x?3 x?3 4x ? 9

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f 3(x)=f (f 2(x))=

x x ,f 4(x)=f (f 3(x))= ……,根据以上事实,由归纳推理可 13x ? 27 40 x ? 81

得:当 n∈N*,n≥2 时,fn(x)=f (fn-1(x))=

.

(15)甲船在岛 B 的正南方 A 处, AB ? 10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同 时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近 时,它们所航行的时间是 小时.
2 (16)过点( 2 ,0)引直线 l 与曲线 y= 1 ? x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分 12 分) 设 △ ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边长分别为 a ,b ,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求 tan B 及边长 a 的值; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l . . (18)(本题满分 12 分) 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f (x)=2x 的图象上(n∈N*). (Ⅰ)证明:数列{bn}为等比数列; 1 2 (Ⅱ)若 a1=1,直线 y=( 2a2 ln2)(x-a2)+ 2a2 在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{anbn } ln 2 的前 n 项和 Sn. (19)(本题满分 12 分) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, 将 △ ACD ? ADC ? 90? , CD ∥ AB ,AB ? 4 ,AD ? CD ? 2 , 沿 AC 折起,使平面 ACD ? 平面 ABC ,得到三棱锥 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ)求点 C 到平面 ABD 的距离. D D C C D D
C

C

A

A
图1 图1

B

B

A

A
图2 图2

B

B

(20)(本题满分 12 分)
1 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ( ,0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 4 ??? ? ??? ? 1 .点 A,B 在曲线 C 上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB =2(其中 O 为坐标原点). 4 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 AB 恒过定点. (21)(本题满分 12 分) 2 已知函数 f (x)=x2- ax3(a>0),x∈R . 3 (Ⅰ)求 f (x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f (x1)· f (x2)=1,求 a 的取
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值范围. 请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请 写清楚题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过 ? O 上的点 C ,并且 OA ? OB ,CA ? CB , ? O 交直线 OB 于 E ,D ,连结 EC ,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?
1 , ? O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 ? t cos ? ? 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 ? 的直线 l : ? , ( t 为参数)与曲线 ? ? y ? 3 ? t sin ? ? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数)相交于不同两点 A 、 B . C :? ? y ? sin ? (Ⅰ)若 ? ?

?
3

,求线段 AB 中点 M 的坐标;

(Ⅱ)若 | PA | ? | PB |?| OP |2 ,其中 P(2 , 3) ,求直线 l 的斜率. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围;
b (Ⅱ)若 | a |? 1 , | b |? 3 , 且 a ? 0 ,求证: f (ab) ? | a | f ( ) . a

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吉大附中高中部 2015-2016 学年上学期 高三年级第四次摸底考试数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要 求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 C A B A C B C A C B A B 答案 提示: 1 ( x ? y)2 x? y 2 1 ?( ) , (10)∵ a ? b ? ? , c ? xa ? yb ,∴ 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy (? ) ? x 2 ? y 2 ? xy ≥ 2 2 2 2 ∴ ( x ? y ) 2 ≤ 4 ,∴ x ? y ≤ 2 . (11)设 an ? an ? b ,则 Sn ?
n(a ? b ? an ? b) an 2 ? (a ? 2b)n , ? 2 2

? a 1 1 1 1 3 , ?a ? ∵公差相等,∴ ? ∴ a ? ,b ? ? ,∴ an ? n ? ,∴ a2 ? . 2 2 4 2 4 4 ?a ? 2b ? 0 , ? (12)对于 A, f ( x) 是偶函数,显然不对. 1 ? cos 2 x 2 | x | 1 1 2 1 1 3 对于 B,C, f ( x) ? ?( ) ? ? 1 ? cos 2 x ? ( ) | x | ,其中 ≤ 1 ? cos 2 x ≤ , 2 3 2 2 3 2 2 2 2 |x| 2 |x| 1 3 1 而0? ( ) ≤ 1 , ?1 ≤ ? ( ) ? 0 ,∴ ? ≤ f ( x) ? ,并且可知 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,故 3 3 2 2 2 B 对,C 错. 1 对于 D,当 x ? 2003 时,存在 sin x ? 0 ,则 f ( x) ? ,故错误. 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. x 3 5 (13) 5 (14) n (15) (16) ? 3 ?1 3 14 x ? 3n 2 提示:

(16)曲线 y= 1 ? x 2 的图象如图所示: 若直线 l 与曲线相交于 A,B 两点,则直线 l 的斜率 k<0, ? 2k 设 l:y= k ( x ? 2) ,则点 O 到 l 的距离 d ? . k2 ?1 1 1? d2 ? d2 1 1 ? , 又 S△AOB= |AB|· d= ? 2 1 ? d 2 ? d ? (1 ? d 2 ) ? d 2 ≤ 2 2 2 2 1 当且仅当 1-d2=d2,即 d2= 时,S△AOB 取得最大值. 2 2 2k 1 3 1 ? ,∴ k 2 ? ,∴ k ? ? 所以 2 . k ?1 2 3 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 ,∴ 4a cos B ? 3b sin A ,
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由正弦定理,得 4sin A cos B ? 3sin B sin A , ∵ sin A ? 0 ,∴ 4 cos B ? 3sin B , ∴ tan B ?
4 3 ,∴ cos B ? , 3 5

……4 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分 ……12 分

又 a cos B ? 3 ,∴ a ? 5 .
1 (Ⅱ)由 S ? ac sin B ,得到 c ? 5 . 2

由 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 ,∴ b ? 2 5 , 2ac

∴ l ? 5 ? 5 ? 2 5 ? 10 ? 2 5 ,即 △ ABC 的周长为 10 ? 2 5 . (18) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由已知得,bn= 2an >0, bn+1 2an?1 当 n≥1 时, = an = 2an?1 ? an , bn 2 bn+1 d ∵数列{an}的公差为 d,∴ =2 . bn 故数列{bn}是首项为 2a1, 公比为 2d 的等比数列. 1 直线 y=( 2a2 ln2)(x-a2)+ 2a2 在 x 轴上的截距为 a2- , ln 2 1 1 由题意知,a2- =2- ,解得 a2=2, ln 2 ln 2
2 所以 d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn =n· 4n.

……2 分 ……4 分 ……5 分 (Ⅱ) ……6 分

……8 分
n-1

于是,Sn=1×4+2×4 +3×4 +…+(n-1)×4 4Sn=1×4 +2×4 +…+(n-1)×4 +n×4 4 + 因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n· 4n 1= (1-3n)4n 1-4 , 3 + (3n-1)4n 1+4 所以,Sn= . 9


2

3

+n×4 ,

n

2

3

n

n+1



n+1

-4 + -n·4n 1 3 ……11 分 ……12 分



(19) (本题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,∴ AC 2 ? BC 2 ? AB 2 .∴ AC ? BC .……2 分 取线段 AC 的中点 O ,连接 DO ,∵ AD ? CD ,∴ DO ? AC . ……3 分 又∵平面 ACD ? 平面 ABC ,平面 ACD ? 平面 ABC ? AC , DO ? 平面 ACD , C D ∴ DO ? 平面 ABC . ∴ DO ? BC .
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D
C

……5 分
B
图1

A
图2

B

∵ AC ? DO ? O ,∴ BC ? 平面 ACD . (Ⅱ)设点 C 到平面 ABD 的距离为 h . 由(Ⅰ)可知 BC ? 平面 ACD ,∴ BC ? AD . 由已知得 AD ? CD ,∴ AD ? 平面 BCD .∴ AD ? BD . ∴ S△ ABD ?
1 1 ? AD ? BD ? ? 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 16 ? 4 ? 2 3 . 2 2

……6 分

……8 分

由(Ⅰ)可知 DO ? 平面 ABC , DO ? 2 , S△ ABC ?

1 1 ? AC ? BC ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 . 2 2

1 1 根据体积关系得, VC ? ABD ? VD ? ABC .∴ ? S△ ABD ? h ? ? S△ ABC ? DO . 3 3 D

∴ 2 3h ? 4 ? 2 .∴ h ?

2 6 . 3 2 6 . 3
O

C

∴点 C 到平面 ABD 的距离是 (20) (本题满分 12 分)

A

B ……12 分

解析: (Ⅰ)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,
1 1 那么点 P(x,y)满足 ( x ? )2 ? y 2 -x= (x>0), 4 4

……2 分 ……5 分 ……6 分

化简得 y2=x(x>0). (不写 x > 0 扣一分) ??? ? ??? ? 2 2 2 (Ⅱ)设 A(y2 1,y1),B(y2,y2),∴ OA ? OB =y1y2+y1y2=2, 解得 y1y2=1 或 y1y2=-2. 又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2. y1-y2 1 2 ①当 y2 (x-y2 (x-y2 1≠y2时,AB 所在直线方程为 y-y1= 2 1)= 1), y1-y2 y1+y2 2 令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 (2,0).
2 ②当 y2 1=y2时,取 y1= 2,y2=- 2,则 AB 所在直线的方程为 x=2,

……7 分 ……8 分 ……10 分

即直线 AB 过定点 (2,0). 综上,直线 AB 恒过定点(2,0) (21) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由已知,有 f ′(x)=2x-2ax2(a>0). 1 令 f ′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 (0 , ) x 0 (-∞,0) a f ′(x) 0 - + f (x) ?↘ 0 ↗?

……12 分

……1 分

1 a 0 1 3a2

1 ( ,? ?) a -

?↘

1 1 所以,f (x)的单调递增区间是 (0 , ) ;单调递减区间是(-∞,0), ( ,? ?) .……3 分 a a
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当 x=0 时,f (x)有极小值,且极小值 f(0)=0; 1 1 1 当 x= 时,f (x)有极大值,且极大值 f ( ) = 2. a 3a a (Ⅱ)问题等价于 y ? f ( x)( x ? 2) 的值域是 y ?
?

……5 分 ……6 分

1 ( x ? 1) 的值域的子集. f ( x)
?

? 1 ? 设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B=?f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0?,则 A?B,

3 3 3 由 f(0)= f ( ) =0 及(Ⅰ)知,当 x∈ (0 , ) 时,f(x)>0;当 x∈ ( ,? ?) 时,f(x)<0. 2a 2a 2a y y y y
2 f(x)=x2- ax3(a>0) 3 3 2a
2 f(x)=x2- ax3(a>0) 3 3 2a

2 f(x)=x2- ax3(a>0) 3 3 2a

2 f(x)=x2- ax3(a>0) 3 3 2a

O

x

O

2

x

O

1

2 x

O

1 x

下面分三种情况讨论: 3 3 3 ①当 > 2,即 0 < a < 时,由 f ( ) =0 可知,0∈A,而 0?B,所以 A 不是 B 的子集. 2a 4 2a ……8 分 3 3 3 ②当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,有 f(2)≤0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 2a 4 2 故 A=(-∞,f(2))?(-∞,0); 又 f (1) ≥ 0 ,∴(-∞,0)?B,故 A?B,符合题意; ……10 分 3 3 1 ,0) , ③当 < 1,即 a > 时,有 f(1)<0,且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,故 B= ( 2a 2 f (1) A=(-∞,f(2)),所以 A 不是 B 的子集. 3 3 综上,a 的取值范围是 [ , ] . ……12 分 4 2

请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请 写清楚题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析: (Ⅰ)证明:连结 OC.? OA ? OB ,CA ? CB , ? OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径,? AB 是圆 O 的切线. (Ⅱ)? ED 是直径,??ECD ? 90? , ??E ? ?EDC ? 90?. 又 ?BCD ? ?OCD ? 90? , ? ?EDC ? ?OCD , ??BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC , ?△BCD ∽△BEC.
? BC BD CD , ? ? BE BC EC CD 1 BD CD 1 ? , ? ? ? , EC 2 BC EC 2

……5 分

又 tan ?CED ?

……7 分

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,

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又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x) 2 ? x( x ? 6) ,即 3x 2 ? 6 x ? 0 .解之得 x ? 2 ,即 BD ? 2 .
? OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 x2 解析:将曲线 C 的参数方程化为普通方程 ? y 2 ? 1 . 4

……10 分

(Ⅰ)当 ? ?

?

3

时,设点 M 对应参数为 t0 .

1 ? x ?2? t ? x2 2 ? 直线 l 方程为 ? ( t 为参数) ,代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2 得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 ,设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 .
t1 ? t2 12 3 28 ). ? ? ,所以点 M 的坐标为 ( , ? 13 13 2 13 ? x2 ? x ? 2 ? t cos ? (Ⅱ)将 ? 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?

则 t0 ?

……5 分

得 (cos 2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3 sin ? ? 4cos ? )t ? 12 ? 0 , 12 因为 | PA | ? | PB |?| t1t2 |? , 2 cos ? ? 4sin 2 ? 12 5 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . | OP |2 ? 7 ,所以 2 16 cos ? ? 4sin 2 ? 由于 ? ? 32cos ? (2 3 sin ? ? cos ? ) ? 0 ,
5 5 .所以直线 l 的斜率为 . 4 4 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解析: (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3 | ≥ | x ? 4 ? 3 ? x |? 1 , 不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,则 1≥ a 即可, ∴实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . b (Ⅱ)欲证 f (ab) ?| a | f ( ) ,只需证 | ab ? 3 |?| b ? 3a | , a 2 2 即证 (ab ? 3) ? (b ? 3a) ,

……7 分

故 tan ? ?

……10 分

……5 分

又 (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 ? a 2 b 2 ? 9a 2 ? b 2 ? 9 ,

……7 分

? (a ? 1)(b ? 9)
2 2

∵ | a |? 1 , | b |? 3 , ∴ (ab ? 3) 2 ? (b ? 3a) 2 ? 0 , ∴原不等式成立.

……10 分

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