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1.4 不等式的证明(二) 教学课件(北师大版选修4-5)_图文


§4

不等式的证明(二)

学习目标
1.理解综合法和分析法的概念.
2.会用综合法、分析法证明较为简单的不等式.

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预习自测
结论 入手向已知条件反推直至达 1. 分析法:从所要证明的_____ 到已知条件为止,这种证法称为分析法.即“_________” 执果索因
的证明方法. 2. 综合法:从已知条件出发,利用不等式的性质(或已经证 由因寻果 的 明过的不等式),推出所要证明的结论,即“_________” 方法.这种证明不等式的方法称为综合法.

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自主探究
你能归纳出综合法证明不等式时,常用的基本不等式吗? 1. 提示 (1)|a|≥0,a2≥0,(a±b)2≥0 (a,b∈R)
(2)a2+b2≥2ab,a,b∈R,a+b≥2 ab,a,b∈(0,+∞). b a (3) + ≥2 (ab>0). a b (4)||a|- |b||≤|a+b|≤|a|+ |b| (a,b∈R).

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结合过去学过的内容,你能总结出分析法有几种书写格式 2. 吗? 提示 第一种:要证……,只需证……,只需证……, 直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实.

第二种:有些命题的证明上、下步之间都是充要条件,所
以分析法证明每步之间都可用符号“?”直到出现已知条 件、定理、明显的事实. 第三种:各步之间用符号“?”.

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典例剖析
知识点1
已知函数 【例1】

分析法证明不等式
? 1? x1,x2∈?0, ? 2? ?

?1 ? ? 1? f(x)=lg? -1?,x∈?0, ?,若 2? ?x ? ?

?x + x ? 1 1 2? 且 x1≠x2,求证: [f(x1)+f(x2)]>f? ? ?. 2 ? 2 ?

证明 要证明原不等式,只需证明 ? ?1 ?? 1 ? ? ? 2 2 ? - 1? ? - 1? >? - 1? ? . ?x1 ? ?x2 ? ?x1+ x2 ? 1 事实上:∵0<x1, x2< , x1≠x2, 2 ? ?1 ?? 1 ? ? 2 ? 2 -1? ∴? - 1?? - 1?-? ? ?x1 ??x2 ? ?x1+ x2 ?
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1 1 1 4 4 = - - - + x1x2 x1 x2 ( x1+x2)2 x1+x2 (x1-x2)2(1-x1-x2) = >0, x1x2(x1+x2)2
? ?1 ?? 1 ? ? 2 ? 2. -1? ∴? -1?? -1?>? ? ?x1 ??x2 ? ?x1+ x2 ?

即有

? 2 ? ?? 1 ?? 1 ?? ? 2 -1? lg?? - 1?? - 1??>lg? ? , ??x1 ??x2 ?? ?x1+ x2 ?

? 1 ?x1+ x2? ? 故 [f(x1)+f(x2)]>f? ?. 2 ? 2 ?

【反思感悟】 在分析法中,每次所寻求的应是使上一个 结论成立的充分条件或充要条件,若只找到结论成立的必

要条件则不一定能得到相应的结论.从而造成证明上的逻
辑错误.
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1.若a、b∈(0,+∞),且a+b=1,
求证:
证明

1 a+ + 2
1 a+ + 2

1 b+ ≤2. 2

?a+b+1+2 ?

1 a+ · 2 ?a+ b? ? ?2 1 ∵ab≤? ? =4成立.∴原不等式成立. ? 2 ?

1 b+ ≤2 2 1 1 a+ · b+ ≤4 2 2 a+b 1 1 1 b+ ≤1?ab+ + ≤1?ab≤ . 2 2 4 4

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知识点2 综合法证明不等式 【例2】已知 a,b,c∈(0,+∞),求证: a b c 3 + + ≥ . b+c a+c a+b 2 a b c 证明 + + +3 b+c a+c a+b a b c = +1+ +1+ +1 b+c a+c a+b
a+b+c a+b+c a+b+c = + + b+c a+c a+b
? 1 1 ? ? 1 ? + + =(a+b+c)? ? ?b+ c a+ c a+ b?

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? 1 1 1 ? 1 ? ? = [(a+b)+(b+c)+(c+a)]?a+b+b+c+c+a? 2 ? ?

3 1 ≥ ·3 (a+b)(b+c)(c+a)· 2 1 9 3 = . (a+b)(b+c)(c+a) 2 a b c 3 ∴ + + ≥ . b+c a+c a+b 2 3

【反思感悟】 观察不等式的结构特征:每个分式加1,分
子就会含有因式a+b+c,从而可以利用基本不等式.

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2.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b), 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

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知识点3 综合利用综合法与分析法证明不等式
【例3】在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,使x,a,y成

等差数列;若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列,
求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1).
证明 ?2a=x+ y ? 2 由条件,得?b = cx ? 2 ?c = by

b2 c2 消去 x, y,即得 2a= + ,且有 a>0, b>0, c>0. c b 要证 (a+ 1)2≥ (b+ 1)(c+ 1) 只需证 a+ 1≥ (b+ 1)( c+ 1) ( b+1)+( c+1) ∵ ( b+1)(c+ 1)≤ 2
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b2 c2 ∴只需证 2a≥b+c,而 2a= + , c b b2 c2 只需证 + ≥b+c c b 即证 b3+c3≥bc(b+c),b2+c2-bc≥bc (b-c)2≥0,∵上式显然成立 ∴(a+1)2≥(b+1)(c+1)得证.

【反思感悟】 综合法和分析法是思路完全相反的两种方 法.分析法易于探求解题思路.综合法易于表述,在证明 较复杂的不等式时,有时把分析法和综合法结合起来使 用.

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3.当 a≥2 时,求证: a+1- a< a-1- a-2.
证明 要证 a+1- a< a-1- a-2,

只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 只需证( a+1+ a-2)2<( a+ a-1)2, 只需证 a + 1 + a - 2 + 2 (a+1)(a-2) <a + a - 1 + 2 a(a-1), 只需证 (a+1)(a-2)< a(a-1), 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 只需证 a2-a-2<a2-a, 只需证-2<0,上式显然成立, 所以 a+1- a< a-1- a-2.
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课堂小结
用综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差 别,一个是“由因寻果”,而另一个则是“执果索因”.在实 际解题中,常用分析法思维,用综合法表达.对于比较复 杂的问题,常常把分析法和综合法结合起来使用.

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随堂演练
a c 1.已知 a、b、c、 d 都是正数,且 < ,则 b d a a+ c c A. < < b b+ d d a c a+c C. < < b d b+d 答案 A a+c a c B. < < b+d b d D.以上均有可能 ( ).

x2 1 2.用综合法证明:若 x∈R,则 4≤ . 1+x 2 x2 1 证明 当 x=0 时, 4= 0≤ . 2 1+x 1 1 4 2 当 x≠0 时,∵1+x ≥2x >0,∴ 2≥ >0. 2x 1+x4 x2 x2 x2 1 ∴ 2≥ ,即 4≤ . 2x 1+x4 1+x 2
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3.求证: 3+ 7<2+ 6.
证明 3+ 7<2+ 6?( 3+ 7)2<(2+ 6)2

?10+2 21<10+4 6? 21<2 6?21<24 故原不等式成立.
a2b2+b2c2+c2a2 4.设 a,b,c 为正数,求证: ≥abc. a+b+c

1 ≥ (2b2ac+2c2ab+2a2bc) 2(a+b+c) 2abc(b+c+a) = =abc 2(a+b+c) =右边. 所以原不等式成立.
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