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直线的交点坐标与距离公式_图文

本节课,我们继续用代数 方法研究直线,即在坐标系 中对直线进行定量研究,计 算两条直线的交点,及两点 之间的距离。

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,如何求这两条直线交点的坐标?

方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l , l 相交 ? 唯一解 1 2 ? ? 直线 l1 , l 2解方程组 ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ? ? 无解 ?l1 , l2平行

小试身手

例1:求下列两条直线的交点:

l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
3x+4y-2 =0 解:解方程组 2x+y+2 = 0 x= -2 得 y=2 ∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

交,求出交点的坐标.
(1)

如何通过两直线方程 的系数关系,来判断两 判断下列各对直线的位置关系 ;如果相 直线重合、平行呢?

0 l1 : x ? y ? 0, l2 :3x ? 3 y ?10 ? 5 5
l1 :3x ? y ? 4 ? 0, l2 :6x ? 2 y ?1 ? 0
平行,没有交点

(2) (3)

( , ) 3 3

l1 :3x ? 4 y ? 5 ? 0, l2 : 6x ? 8 y ?10 ? 0
重合,无数个交点

思维拓展

例2(1)求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的
交点M的坐标,
M(1,- 1)

(2)方程3x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0

? ? 1时,方程表示什么图形?直线5x-y-6=0
? ? 0时,方程表示什么图形 ? 直线3x+2y-1=0
? ? ?1时,方程表示什么图形 ?
直线x+5y+4=0
都经过M(1,- 1) 以上图形共同之处是什么? 经过交点M的直线系 ? ? R时,方程表示什么图形?

更上一层楼

A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是 过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交 点的直线系方程。
问题1:当?变化时, 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2x ? y ? 2) ? 0

表示什么图形?图形有何特点?

问题2: (3 ? 2? ) x ? (4 ? ? ) y ? 2? ? 2 ? 0 过定点吗?你能求出这 个定点吗?

一题多解

例3:求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: 你能想到哪些 方法? l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解法1:解方程组
x-2y+2=0 2x-y-2=0 得 求出交点,用 x= 2 待定系数法 y=2

∴l1与l2的交点是(2,2)

设经过原点的直线方程为 y=k x

能否不 求交点?

把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 y= x

一题多解

例3:求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解法2:设所求的直线方程是

x ? 2 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0

直线经过原点,将(0,0)代入上述方程,得

2 ? 2? ? 0,即? ? 1 ? ( x ? 2 y ? 2) ? (2 x ? y ? 2) ? 3x ? 3 y ? 0 ?所求的直线方程为 x? y ?0

例4:三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和 2x-y=10相交于一点,求a的值。

例5.若直线l1:y=kx+k+2和直线 l2:y=-2x+4相交,且交点P在第一象 限内,求实数k的取值范围.
y
B P o A

x

已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何求P1 P2的距 离 | P1 P 2 | 呢 ?

抽象模型

,y1 ? 和 P2 ?x2,y2 ? , 已知:P 1 ?x1
1)、y1=y2
y

2)、x1=x2
P2 ?x2,y2 ? ?
y

P 1 ?x1,y1 ?
?

y1

?P ,y1 ? 1 ?x1

x1 o

x2

x

o

PP 1 2 ?| x2 ? x1 |

y2

?

P2 ?x2,y2 ?

x

PP 1 2 ?| y2 ? y1 |

(3)当 P 不平行于坐标轴时, 1P 2
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

y

?
o

P ,y1 ? 1 ?x1

x
Q?x1,y2 ?

? P2 ?x2,y2 ?
2

PP ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 1 2 1 2

2

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1, y1 )和 P2(x2,y2),利用上述方法求点P1和P2的距离 为 2 2

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1P 2 |?

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距 离为

| OP |?

x ?y
2

2

求下列两点间的距离:

(1)、A(6,1),B(-2,1)

8
2 2

(2)、C(3,-4),D(3,-1) 3 (3)、P(6,0),Q(0,-2) 6 ? 2 ? 2 10

(4)、M(2,1),N(5,-1)

(5 ? 2) ? (1 ? 1) ? 13
2 2

例1 已知点 A( ?1,2) 和 B(2, 7 ), 在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并 求|PA|的值.

小试身手

1、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13 的坐标; (0,0)或(10,0) 2、已知点P的横坐标是7,点P与点 N(-1,5)间的距离等于10,求点P的纵 坐标。

y=-1,或y=11

例2 证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系.
则四顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c) y D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0)

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

奇思妙想

求y ? x ? 4 x ? 13 ? x ? 10 x ? 26 用配方法凑得距离公
2 2

的最小值

式的结构,转化为两 个距离之和

2 2 解:y ? (x ? 2) ? (0 ? 3) ? ( x ? 5) 2 ? (0 ? 1) 2

设P(x,0),M(2,3),N(5,-1),则 y=|PM|+|PN|
?| MN |? (5 ? 2) ? (?1 ? 3) ? 5
2 2

当P,M,N三点共线时,最小值为5

当堂测试

1 、三条直线, 3x+2y+6=0,3x+8y+18=0 和3mx+2y+12=0交于一点,则m=_______, 交点坐标是_______ 2、已知A(a,-5),B(0,7)的距离是15,则

a=________
2 答案:1:4, (? ,?2) 3

2:

?9

§3.3.3点到直线的距离
§3.3.4两条平行直线间的距离

点到直线的距离:
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

d?

| Ax0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

例题分析
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的?ABC 面积 y
A
h C O

B

x

例2:若点p(3,a)到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0

的距离为1,则a的值(



拓展:求过点(1,2),且与点A(2,3)和B
(4,-5)距离相等的直线L的方程

两条平行直线间的距离:
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P

l2
Q o 例、求证:两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是 x

d?

C1 - C2 A2 ? B 2

例1:(1)若两平行直线L1: 3x ? 2 y ? 1 ? 0和 2 13 L2: 6 x ? ay ? c =0之间的距离是 , 13 c?2 则 的值为() a

(2)求与两条平行直线L1: 2 x ? 3 y ? 4 ? 0与 L2 : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0距离相等的直线l的方程

练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______; 53
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.
2 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2


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