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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)含解析


绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后, 将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷 规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的
(1)若复数 z 满足 2z ? z ? 3 ? 2i, 其中 i 为虚数单位,则 z= (A)1+2i 【答案】B (B)1 ? 2 i (C) ?1? 2i (D) ?1? 2i

考点:注意共轭复数的概念.
x 2 (2)设集合 A ? { y | y ? 2 , x ? R}, B ? {x | x ? 1 ? 0}, 则 A ? B =

(A) ( ?1,1) 【答案】C

(B) (0,1)

(C) (?1, ??)

(D) (0, ??)

【解析】 试题分析: A ? { y | y ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A ? B ? {x | x ? ?1} ,选 C. 考点:本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算. (3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分布直方图,其中 自习时间的范围是 [17.5,30] ,样本数据分组为 [17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图, 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140

【答案】D

考点:频率分布直方图
ì x + y ? 2, ? ? ? ? (4)若变量 x,y 满足 í 2 x - 3 y ? 9, 则 x 2 + y 2 的最大值是 ? ? 锍 ? ? x 0,

(A)4 (B)9 (C)10 (D)12 【答案】C 【解析】 试题分析:不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3, -1)为顶点的三角形区域, x ? y 表示点(x,y)到
2 2

原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值 OC 考点:线性规划求最值

2

? 10 ,故选 C.

(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为

(A) 【答案】C

1 2 ? π 3 3

(B)

1 2 ? π 3 3

(C)

1 2 ? π 3 6

(D) 1 ?

2 π 6

考点:根据三视图求体积. (6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:直线 a 与直线 b 相交,则 ? , ? 一定相交,若 ? , ? 相交,则 a,b 可能相交,也可能平行,故选 A. 考点:直线与平面的位置关系;充分、必要条件的判断. (7)函数 f(x)=( 3 sinx+cosx) ( 3 cosx –sinx)的最小正周期是 (A) 【答案】B 【解析】 试题分析: f ? x ? ? 2sin ? x ? (B)必要不充分条件 (D)既 不充分也不必要条件

π (B)π 2

(C)

3π 2

(D)2π

? ?

??

2? ?? ?? ? ? ? ? 2cos ? x ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ,故最小正周期 T ? 2 ? ? ,故选 B. 6? 6? 3? ? ?

考点:三角函数化简求值,周期公式

(8)已知非零向量 m,n 满足 4│m│=3│n│,cos<m,n>= (A)4 【答案】B (B)–4 (C)

1 .若 n⊥(tm+n) ,则实数 t 的值为 3

9 4

(D)–

9 4

考点:平面向量的数量积 (9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f ( x) ? x3 ?1 ;当 ?1 ? x ? 1 时, f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ? 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= (A)?2(B)?1(C)0(D)2 【答案】D 【解析】 试题分析:当 x ?

1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 是周期为 1 的周期函数,所以 2 2 2 2

3 f (6) ? f (1) ,又因为函数 f ( x) 是奇函数,所以 f (1) ? ? f (?1) ? ? ?? ?1? ? 1? ? 2 ,故选 D. ? ?

考点:本题考查了函数的周期性、奇偶性,灵活变换求得函数性质是解题的关键. (10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点 ,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性 质.下列函数中具有 T 性质的是 (A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=ex(D)y=x3 【答案】A 【解析】 试题分析: 当 y ? sin x 时,y? ? cos x ,cos 0 ? cos ? ? ?1 , 所以在函数 y ? sin x 图象存在两点 x ? 0, x ? ? 使条件成立,故 A 正确;函数 y ? ln x, y ? e , y ? x 的导数值均非负,不符合题意,故选 A.
x 3

考点:本题 注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
(11)执行右边的程序框图,若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9,则输出的 i 的值为________.

【答案】3

考点:循环结构抓住结束点是关键. (12)若(ax2+ 【答案】-2 【解析】
r (ax 2 )5? r ( 试题分析:因为 Tr ?1 ? C5

1 )3 的展开式中 x3 的系数是—80,则实数 a=_______. x

1 x

)r ? C5r a5? r x

5 10 ? r 2

,所以由 10 ? r ? 5 ? r ? 2 ,因此

5 2

2 5? 2 C5 a ? ?80 ? a ? ?2.

考点:二项展开式

(13)已知双曲线 E1:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 a 2 b2

E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. 【答案】2

【解析】 试题分析:易得 A(c, 离心率 e ? 2 或 e ? ?

b2 b2 2b2 ) ,B(c, ? ) ,所以 | AB |? ,| BC |? 2c ,由 2 AB ? 3BC ,c2 ? a 2 ? b2 得 a a a
1 (舍去) ,所以离心率为 2. 2

考点:把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键. (14)在 [- 1,1] 上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆 ( x - 5)2 + y 2 = 9 相 交”发生的概率为 【答案】 .

3 4

考点:直线与圆位置关系;几何概型概率
x?m ?| x |, (15)已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三 ? x ? 2mx ? 4m, x ? m

个不同的根,则 m 的取值范围是________________. 【答案】 (3, ??) 【解析】 试题分析:由题意画出函数图像为图时才符合,要满足存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不 同的根应 4m ? m ? m 解得 m ? 3 ,即 (3, ??) .
2

考点:能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.

三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。
(16) (本小题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

tan A tan B ? . cos B cos A

1 2

(?) 由 (?) 知 c ?

a?b , 2
2 2 2

? a?b? a ?b ?? ? 2 2 2 a ?b ?c 2 ? ? ? 所以 cos C ? 2ab 2ab
3? b a ? 1 1 ? ? ? ?? ? , 8? a b ? 4 2
当且仅当 a ? b 时,等号成立. 故 cos C 的最小值为

1 . 2

考点:两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式. 17.(本小题满分 12 分)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O ' 的直径,FB 是圆台的一条母线. (I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC;

(II)已知 EF=FB=

1 AC= 2 3 AB=BC.求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 2

【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

7 7

所以 GH / / 平面 ABC .

?? ??? ? ? ? m ? BC ? 0 , 由 ? ?? ??? ? m ? BF ? 0 ? ?
可得 ?

? ??2 3x ? 2 3 y ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0 ?

,
?? 3 ), 3

可得平面 BCF 的一个法向量 m ? (?1,1, 因为平面 ABC 的一个法向量 n ? (0,0,1),

?

?? ? ?? ? m? n 7 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? , | m || n | 7
所以二面角 F ? BC ? A 的余弦值为

7 . 7

考点:空间平行判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 (18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n

【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1; (Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n?2 .

考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法 (19) (本小题满分 12 分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都 猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是

3 2 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结 4 3

果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动,求: (I) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; (II) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.

【答案】 (Ⅰ)

2 23 (Ⅱ)分布列见解析, EX ? 3 6

(Ⅱ)由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得

1 1 1 1 1 P ? X ? 0? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 144

5 ? 3 1 1 1 1 2 1 1 ? 10 , P ? X ? 1? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 4 3 4 3 4 3 ? 144 72
3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 25 P ? X ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144 3 2 1 1 1 1 3 2 1 P ? X ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 4 3 4 3 12

?3 2 3 1 3 2 1 2? 5 P ? X ? 4? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 4 3 4 3 4 3 4 3 ? 12
3 2 3 2 1 P ? X ? 6? ? ? ? ? ? , 4 3 4 3 4

可得随机变量 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

4

6

1 5 12 12 1 5 25 1 5 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 6 ? ? 所以数学期望 EX ? 0 ? 144 72 144 12 12 4
考点:独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式;分布列和期望 (20)(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? a ? x ? ln x ? ?

1 144

5 72

25 144

1 4 23 . 6

2x ?1 ,a?R . x2
3 对于任意的 x ??1, 2? 成立. 2

(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)当 a ? 1 时,证明 f ( x)>f ' ? x ? ? 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析

a( x ? 1)(x ?
/ (2)当 a ? 0 时, f ( x) ?

2 2 )(x ? ) a a x3



若 0 ? a ? 2 ,则

2 2 ? 1 ,所以当 x ? (0,1) 或 ( ,??) 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a a

当 (1,

2 ) 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a

若 a ? 2 时,

2 ? 1 , f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 1 时,

2x ? 1 1 2 2 3 1 2 ? (1 ? ? 2 ? 3 ) ? x ? ln x ? ? 2 ? 3 ? 1 , x ? [1,2] , 2 x x x x x x x 3 1 2 令 g ( x) ? x ? ln x, h( x) ? ? 2 ? 3 ? 1 ,则 f ( x) ? f / ( x) ? g ( x) ? h( x) , x x x x ?1 / ? 0 可得 g ( x) ? g (1) ? 1 当且仅当 x ? 1 时取等号; 由 g ( x) ? x f ( x) ? f / ( x) ? x ? ln x ?

? 3x 2 ? 2 x ? 6 2 又 h( x ) ? ,设 ? ( x) ? ?3x ? 2 x ? 6 ,则 ? ( x) 在 [1,2] 上单调递减, 4 x
且 ? (1) ? 1, ? (2) ? ?10 , 所以在 [1,2] 上存在 x0 使得 x ? (1, x0 ) 时, ? ( x) ? 0, x ? ( x0 ,2) 时, ? ( x) ? 0 , 所以函数 ? ( x) 在 (1, x0 ) 上单调递增;在 ( x0 ,2) 上单调递减,

1 1 ,因此 h( x ) ? h( 2) ? 当且仅当 x ? 2 取等号, 2 2 3 3 / / 所以 f ( x) ? f ( x) ? g (1) ? h(2) ? ,即 f ( x ) ? f ( x ) ? 对于任意的 x ? [1,2] 恒成立。 2 2
由于 h(1) ? 1, h(2) ? 考点:利用导函数判断单调性;分类讨论思想. (21)(本小题满分 14 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? a 2 b2

的离心率是

3 2 ,抛物线 E: x ? 2 y 的焦点 F 2

是 C 的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A,B,线段 AB 的 中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直 于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 ? PFG 的面积为 S1 , ? PDM 的面积为 S2 ,求 时点 P 的坐标.

S1 的最大值及取得最大值 S2

【答案】 (Ⅰ) x 2 ? 4 y 2 ? 1;(Ⅱ) (i)见解析; (ii)

S1 9 2 1 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) S2 4 2 4

所以直线 l 的斜率为 m ,其直线方程为 y ?

m2 m2 ? m( x ? m) ,即 y ? m x ? . 2 2

m2 (2)由(1)知直线 l 的方程为 y ? m x ? , 2
令 x ? 0得 y ? ?

m2 m2 ), ,所以 G (0,? 2 2

又 P(m,

m2 1 2m 3 ? m2 ), F ( ,0), D ( 2 , ), 2 2 4m ? 1 2(4m 2 ? 1)
1 1 1 m(2m 2 ? 1) 2 | GF | m ? m(m 2 ? 1) , S 2 ? | PM | ? | m ? x0 |? , 2 4 2 8(4m 2 ? 1)

所以 S1 ?

所以

S S1 2(4m 2 ? 1)(m 2 ? 1) (2t ? 1)(t ? 1) 1 1 2 ? ? 2 ? ?2, ,令 t ? 2m ? 1 ,则 1 ? ? 2 2 2 S2 t S2 t t (2m ? 1)

考点:椭圆方程;直线和抛物线的关系;二次函数求最值;运算求解能力.


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