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18版高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(二)学案新人教A版必修5

2.3 等差数列的前 n 项和(二) [学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些 性质.2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题.3.理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an. 知识点一 等差数列前 n 项和及其最值 1.前 n 项和公式:Sn=na1+ 2.等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中, 当 a1>0, d<0 时, Sn 有最大值, 使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? 确定; 当 a1<0,d>0 时,Sn 有最小值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? ? ?an≤0, ?an+1≥0 ? ?an≥0, ? ? ?an+1≤0 n(n-1) d 2 d d= n +(a1- )n. 2 2 2 确定. (2)因为 Sn= n +?a1- ?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d 2? 2 ? 2 d ? d? <0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值. 知识点二 数列中 an 与 Sn 的关系 对任意数列{an},Sn 与 an 的关系可以表示为 ? (n=1), ?S1 an=? ?Sn-Sn-1 (n≥2). ? 思考 若 Sn=n +n,则 an=________. 答案 2n 解析 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n-[(n-1) +(n-1)]=2n, 当 n=1 时,a1=S1=1 +1=2=2×1, ∴an=2n. 知识点三 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而实现求和. 常见的拆项方法: (1) 2 2 2 2 ? ? n(n+1) n n+1 n(n+2) 2?n n+2? 1 = 1 ? 1?1 - ; = n+1- n, 1 1 1 = - , 1 1 ? 1?1 = - ; ? ? n(n+k) k?n n+k? (2) 1 n+1+ n 1 1 1 1 = ( n+2- n), = ( n+k- n); n+2+ n 2 n+k+ n k 1 1 1 1 (3) = ( - ). (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 题型一 已知 Sn 求 an 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n +3n,试判断数列{an}是不是等差数列. 解 ∵Sn=2n +3n,∴当 n≥2 时, 2 2 an=Sn-Sn-1=2n2+3n-2(n-1)2-3(n-1)=4n+1. 当 n=1 时,a1=S1=5=4×1+1. ∴n=1 时,适合 an=4n+1. ∴数列的通项公式是 an=4n+1.故数列{an}是等差数列. 反思与感悟 (1)an 与 Sn 的关系:an=? ?S1,n=1, ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. * 当 n=1 适合于 an 时,则 a1 可以统一到 an(n≥2,n∈N )的形式中.若 n=1 不适合 an,则通 项公式应写成分段函数形式. (2)等差数列{an}中,若 d≠0,则 Sn 可写成关于 n 的二次函数形式,反之,若 Sn=An +Bn, 那么数列{an}一定是等差数列. 跟踪训练 1 本例中,若 Sn=2n +3n+1,试判断该数列是不是等差数列. 解 ∵Sn=2n +3n+1.∴n≥2 时, 2 2 2 an=Sn-Sn-1=2n2+3n+1-2(n-1)2-3(n-1)-1=4n+1.当 n=1 时,a1=S1=6≠4×1+1. ? ?6,n=1, ∴an=? 故数列{an}不是等差数列. ?4n+1n≥2, ? 题型二 等差数列前 n 项和的最值问题 例 2 在等差数列{an}中,若 a1=25,且 S9=S17,求 Sn 的最大值. 解 方法一 ∵S9=S17,a1=25, 9(9-1) 17(17-1) ∴9×25+ d=17×25+ d, 2 2 解得 d=-2. ∴Sn=25n+ n(n-1) 2 2 ×(-2)=-n +26n 2 =-(n-13) +169. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法二 同法一,求出公差 d=-2. 2 ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, 1 n≤13 , ? ? 2 ?a =-2n+27≥0, ? 由? 得? ? 1 ?a =-2(n+1)+27≤0, n≥12 ? ? 2 n n+1 又∵n∈N ,∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法三 ∵S9=S17, ∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得 a13+a14=0. ∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法四 设 Sn=An +Bn. ∵S9=S17, 9+17 ∴二次函数对称轴为 x= =13,且开口方向向下, 2 ∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 169. 反思与感悟 (1)等差数列前 n 项和 Sn 最大(小)值的情形: ①若 a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,即所有非负项之和. ②若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值,即所有非正项之和. (2)求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法: ①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用 ? ?an≥0, ? ?an≤0, ? 或? 来寻找. ?an+1≤0 ? ?an+1≥0 ? 2 * ②运用二次函数求最值的方法,注意解自然数. 跟踪训练 2 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,数列{an}的前 n 项和取得最大值? 解 (1)由 a1=9,a4+a7=0, 得 a1+3d+a1+6d=0,解得 d=-2, ∴an=a1+(n-1)·d=11-2

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