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2018版高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法(二) 新人教A版必修5_图文

第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(二)

学习 目标
1.理解数列的几种表示方法,能用函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.

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知识点一 数列的函数性质 1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,…,n} )为定义域 的函数an=f(n),当自变量按照 从小到大 的顺序依次取值时所对应的 一列函数值. 2.在数列{an}中,若an+1>an,则{an}是 递增 数列;若an+1<an,则{an} 为 递减 数列;若an+1=an,则{an}为 常数列 . 思考1 从定义上看,数列是特殊的函数,因此,表示数列除可以用通 项公式外,还可以有哪些方法?
答案 还可以用列表法,图象法.
答案

思考2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么?
答案

知识点二 数列的表示方法 1.数列的递推公式:如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an} 的任一项an与它的 前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个式子就叫做这个数列的 递推 公式. 2.数列的表示方法:数列的表示方法有 通项公式法 、图象法 、列表法、 递推公式法 .
答案

思考1 已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,则数列的第5项a5= ______,由此归纳出{an}的一个通项公式为____,可以求得a8=_____. 答案 ∵a1=3,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31, a5=2a4+1=63,∴a5=63.可以看出an=2n+1-1,∴a8=29-1=511.
思考2 由思考1,体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别? 答案 通项公式直接反映了an与n之间的关系,即知道n值,即可代入通 项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列 任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,须将前面的各项依次 求出才行.

答案

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题型探究

重点突破

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 求例题中的数列{an}的最大项.
解析答案

题型二 递推公式的简单应用

16

4

A.15

B.3

8

8

C.15

D.3

解析 由a1=1知a2a1=a1+(-1)2,得a2=2;

由 a3a2=a2+(-1)3,得 a3=12;

2 同理得 a4=3,a5=23,故aa53=31=43,选 B.
2

B
解析答案

an=n+2 1(n∈N*)

解析

a1=1=22,a2=21× +12=23,a3=232+ ×223=12=24,

a4=122+ ×212=25,a5=252+ ×225=13=26.

故数列的一个通项公式为 an=n+2 1(n∈N*).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0. (1)写出数列的前5项; 解 由已知可得 a1=1=11,a2=13 a3=15,a4=17,a5=19. (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式. 解 由(1)可得数列的每一项的分子均为 1,分母分别为 1,3,5,7,9,…,
所以它的一个通项公式为 an=2n1-1.
解析答案

例 3 (1)已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+n1),求 an.
解析答案

(2)已知数列{an}中,a1=1,且an+1=2an(n∈N*),写出前3项,猜想an并加 以证明.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3 已知数列{an}中,a1=1,aan+n 1=12,则数列{an}的通项公式

是( )

A.an=2n

B.an=21n

C.an=2n1-1

D.an=21n

解析答案

易错点 忽略n的正整数范围致误 例4 求数列{-2n2+29n+3}中的最大项.

解析答案

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当堂检测

123456

1.下列四个命题: ①如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的 任何一项;

②数列23,34,45,56,…的通项公式是 an=n+n 1;

③数列的图象是一群孤立的点;

④数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列.

其中真命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析答案

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2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是( C ) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) 解析 A,B中没有说明某一项,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8, 不合题意.
解析答案

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3.数列{xn}中,若 x1=1,xn+1=xn+1 1-1,则 x2 017 等于( D )

A.-1

B.-12

1

C.2

D.1

解析答案

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n- 2 011 4.数列{an}中,an=n- 2 012,则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别 是( )

A.a1,a50 C.a45,a44

B.a1,a44 D.a45,a50

解析答案

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5.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=2(n≥2),则数列的通项an等于( C )

A.2n+1

B.2n

C.2n-1

D.2(n-1)

解析 当n≥2时,∵an-an-1=2, ∴(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)=2+2+…+2=2(n-1),

∴an=2n-1.当n=1时,an=1适合上式,

(n-1)个

∴an=2n-1(n∈N*).

解析答案

4
解析 由已知得 a1+a1=a1+1=a2,∴a2=29, 同理 a4=49,a8=89, ∴a9=a8+1=a8+a1=89+19=1, ∴a36=2a18=4a9=4.

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解析答案

课堂小结
1.{an}与an是不同的两种表示,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数 列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体” 与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:①图象法;②列表法;③通项公式法; ④递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别:通项公式直接反映an 和n之间的关系, 即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;而 递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项 之间的推导关系,不能由n直接得出an.
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