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高中数学探究性教学案例及反思——谈“简单的线性规划问题”教学设计

高中数学探究性教学案例及反思——谈“简单的线性规划问题”教学设计 探究式教学是新课程改革课堂教学的主要方式之一, 本文试图通过 “简单的线性规划问题” 教学案例, 对探究活动中的问题进行讨论。 1、问题的提出 1. 新课程必修 5 课本第 91 页的“阅读与思考”——错在哪里? 若实数 x , y 满足 ? ?1 ? x ? y ? 3 (i) ??1 ? x ? y ? 1 求 4 x +2 y 的取值范围. 0 ≤4 x ≤8 ③ ④ 错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 x ≤4 即 由②得 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析. —1≤ y — x ≤1 将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 (2)[辨析]通过讨论,上述解法中,确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的,但用 x 的最大(小)值及 y 的 最大(小)值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的.x 取得最大(小)值时,y 并不能同时取得最 大(小)值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确.(其中有小部分学生仍处于迷惑之 中。) (3)[激励]此例有没有更好的解法?怎样求解? (4)[提问 1] (2)中的描述能否从形(即从几何)方面直观得到解释?请同学们想一想:不等式组(i)的几何 意义是什么? (许多同学心头一亮,跃跃欲试。) 教师趁机把动手的机会让给学生,要求他们打开几何画板进行探 究。(教师巡视,指点,并注意收集信息的返馈。) 最后利用展示台交流,达成共识:不等式组(i)表示的 平面区域是一个以 A(1,0),B(2,1),C(1,2),D(0,1)为顶点的正方形区域,而由不等式组(i)得到 0≤x≤2,0 ≤y≤2 表示的区域是一个以 O(0,0),E(2,0),F(2,2),G(0,2)为顶点的正方形区域,显然由原不等式组(i) 导出 x,y 范围,使得区域变大了。确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 独立表示时是对的,但合起来求其交 集时所表示的可行域的范围明显变大了,在错误的可行区域求 4x+2y 的取值范围,难怪做错了。(学生沉 浸在做数学的快乐中。) 此时趁热打铁,继续探究: (5)[提问 2]既然我们已经完成了把不等式组(i)从数向形的转化,那么这个问题能不能从数形结合上 得到完整的解决呢?也就是说:问题转化为:求 4x+2y 在约束条件不等式组(i)下的值域。(学生开始寻找 4x+2y 的几何意义) 有些同学做了这样的尝试:f(x,y)=4x+2y 关于 x 和 y 的二元一次函数。函数在直角坐标系里又表示什 么呢?学过的有关二元一次的只有二元一次方程表示直线了。终于,经过学生的一番思考探究之后,找到 了条件与结论之间的内在联系,把问题提问 2 转化为: 求 Z=4x+2y 在约束条件不等式组(i)下的最大值和最小值。 而 y ? ?2 x ? Z ,此时 Z 的几何意义是直线 Z=4 x +2 y 的纵截距的一半。 故截距越大, Z 的值越大。 (有 2 些思维比较活的,省去 f(x,y)=4x+2y 这一步的思考,有些基础比较差的虽想到了 f(x,y)=4x+2y 这一步, 1 就无法更进一步了。此时教师巡堂,及时发现问题,加强个别指导。) 探究到此,后面的解答过程学生通过平移直线不难得到。 现在让学生们相互交流、补充,总结出此类问题的一般解法即: 图解法:画---移---求----答 2、教学过程 2.1 合作探究归纳出线性规划的有关概念: 经过上面的探究过程,再来合作探究归纳出本节课的概念,是相当自然的: ①线性约束条件;②线性目标函数;③线性规划问题;④可行解、可行域和最优解。 2.2 知识的应用 课堂练习:课本练习 1 先引导设问: ① 指出线性约束条件和线性目标函数; ② 用几何画板画出图形,要求学生指出可行域; ③ 说出三个可行解; ④ 求出最优解。 例一、某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产 一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: (2)画出不等式组所表示的平面区域: (3)若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大? 教师巡视,引导:把实际问题 文字语言 转化 数学问题:确定未知变量(决策变量)。 转化 符号语言(建立线性规划模型) 运用图解法求解。 (利用实物投影显示列不等式组中的各种错误,由学生找出,并指正。) 如:学生易忽视 x≥0 和 y≥0 的 关系。 解答:(实物投影显示参考答案) 变式 探究:课本第 89 页的探究活动 (1)在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,应当如何安排生 产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗? 教师引导学生利用几何画板来进行自我探究,如右图。学生在换了好几组 a、b 的值之后,都得到了 在多边形(可行域)的顶点 A 或 B 处取到。于是有些学生得出了这样的结论:当 a>0,b>0 时,最优 解在表示可行域的多边形顶点处取到,且唯一。 但不用多久,马上有同学指出:不全面,因为 当目标函数的斜率和直线 AB 平行时,最优解有 无穷多个。教师抓住机会,表扬了这两位学生的 优点,鼓励学生继续探索。最终,经过交流讨论, 得出下列结论: 2 ① 可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开 放的无限大的平面区域. ② 如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值,最优解一般就 是

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