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专题三、圆锥曲线的几何性质

专题三、圆锥曲线的几何性质
【基础检测】
1、设椭圆
x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F (c, , 方 程 0) 2 2 a b

a x2 ? b x? c?0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) 必在圆(



A. x2 ? y 2 ? 2 内 C. x2 ? y 2 ? 2 外 2、曲线

B. x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m

(A)焦距相等

(B) 离心率相等

(C)焦点相同

(D)长轴长相等

3、双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
x2 y2 4、设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 a b

?F1 AF2 ? 90? 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为
【变式】 ?F1 AF2 ? 600 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为 5、已知 F 是抛物线 y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, | AF | +|BF |? 3 , 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为

【典例分析】
1、如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向 月球, 在月球附近一点 P 处进入以月球球心 F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入 仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行, 若 用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和
2a 2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①
y A

a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2;
③c1a2>a1c1; ④
c1 c < 2 .其中正确式子的( a1 a2


O B
1

P

x

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

2、在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,以 O 为圆心, a2 b2

? a2 ? a 为半径的圆,过点 P ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ? ? ?

3、已知 F1,F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,动点 P 在椭圆上运动,则 4 3

PF ? PF2 的最小值为 1

; PF ? PF2 的取值范围为 1



4、已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 A.(0,1) B.(0,
1 ] 2

( C.(0,
2 ) 2

C


2 ,1) 2

D.[

【跟踪练习】
1、在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 则该椭圆的离心率 e ? 2、过椭圆 .
7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C , 18

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为 a 2 b2

右焦点,若 ?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
x2 y 2 ?2 ? 2 ? ? 1 的焦点相同,那 3、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 25 9 a b

么双曲线的焦点坐标为

;渐近线方程为



4、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交 于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为 5、 F1F2 是椭圆 E : 设
x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点,P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b

?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为
6、椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1 , a2 b2

2

F2 ,若 AF , F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 1
7、已知椭圆 C1:
x2 y 2 y2 + 2 =1 与双曲线 C2 :x 2 - =1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线 4 a2 b

与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 A. a 2 =
13 2

B. a 2 =13

C. b 2 =

1 2

D. b 2 =2

3