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高一数学必修四第二章5.1平面向量应用举例_图文

2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法

平面几何中的向量方法
向量概念和运算,都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算, 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。

问题:平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图,你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?

DB ? AB ? AD, AC ? AB ? AD,
猜想:
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系?

D

C

A 2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗?

B

例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 D AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a, AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2

C B

解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b

AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ∴ AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 2 2 2 2

你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗?

用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

例2 如图, ABCD中,点E、F分别 是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
D F T C

猜想: AR=RT=TC
A

E

R

B

解:设 AB ? a, AD ? b , AR ? r ,则 AC ? a ? b
由于 AR 与AC 共线,故设r ? n(a ? b ), n ? R

又因为 ER与EB

共线,
D E R F T B C

1 所以设ER ? mEB ? m(a ? b ) 2

因为 AR ? AE ? ER
1 1 所以 r ? b ? m (a ? b ) A 2 2

1 1 因此n(a ? b ) ? b ? m(a ? b ) 2 2

D E A R

F T

C

即( n ? m )a ? ( n ?

B m ?1

2

)b ? 0

由于向量a , b不共 线,

1 解得:n= m = 3

?n ? m ? 0 ? ? m ?1 n ? ? 0 ? ? 2

1 1 1 所以 AR ? AC ,同理TC ? AC , 于是 RT ? AC 3 3 3

故AT=RT=TC

练习、证明直径所对的圆周角 是直角
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC ? CB,即 AC ? CB ? 0 。

C

b

B O

a

解:设 AO ? a, OC ? b

则 AC ? a ? b, CB ? a ? b , 由此可得: AC ? CB ? a ? b a ? b
2 2 2

? ?? ?
2

? a ?b ? a ? b

思考:能否用向量 坐标形式证明?

? r2 ? r2 ? 0

即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°

小结:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

作业: 课本P125 1,2


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