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高中三角函数公式总表


三角公式汇总

⒈L 弧长= ? R=

nπ R 180

S 扇= LR= R2 ? =

1 2

1 2

n? ? R 2 360

⒉正弦定理:

b c a = = = 2R(R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
2

⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b

+c 2 -2bc cos A

b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc

c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C ⒋S⊿= a ? ha = ab sin C = bc sin A = ac sin B = =
1 2 1 2 1 2 1 2

abc =2R 2 sin A sin B sin C 4R

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin B 2 sin C 2 sin A
1 2

(其中 p ? (a ? b ? c) , r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴商的关系: ① tg? = = ③ sin ? ? ⑤ cos ? ?
y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r y x sin ? x cos? ? cos? ? csc ? = sin? ? sec ? ② ctg? ? ? cos ? y sin ?

④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?

r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc? ? cos? ? sec? ? tg? ? ctg? ? 1 ⑶平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1 ⑷ a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 一象限,且 tg? ? ) ⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 )
1

(其中辅助角 ? 与点(a,b)在同

b a

2? 1 , 频率 f= , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ? ? T ? 3? ⒎五点作图法令 ?x ? ? 依次为 0 , ? , ,2? 求出 x 与 y, 依点 ?x, y ? 作图 2 2

振幅 A,周期 T=

⒏诱导公试 sin -?
? -?
? +?

cos

tg

ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

三角函数值等于 ? 的同名三 角函数值,前面加上一个把
? 看作锐角时,原三角函数

- sin ? + cos? - tg? + sin ? - cos? - tg? - sin ? - cos? + tg? - sin ? + cos? - tg? + sin ? + cos? + tg?

值的符号; 即: 函数名不变, 符号看象限

2? -? 2k ? + ?

sin
?
2 ?? ??

con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

tg + ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ?

ctg + tg? - tg? + tg? - tg?

三角函数值等于 ? 的异名三 角函数值,前面加上一个把
? 看作锐角时,原三角函数

+ cos? + cos? - cos? - cos?

?

2 3? ?? 2 3? ?? 2

值的符号;即:函数名改变, 符号看象限

⒐和差角公式 ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tg (? ? ? ) ?
tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ④ tg? ? tg? ? tg(? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

⑤ tg (? ? ? ? ? ) ?

tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 其中当 A+B+C=时,有: 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg?
2

i). tgA ? tgB ? tgC ? tgA? tgB ? tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2 sin ? cos? ?
2tg? 1 ? tg 2?

ii). tg tg

A 2

B A C B C ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2

② cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ③ tg 2? ?
2tg? 1 ? tg 2?

1 ? tg 2? 1 ? tg 2?

④ sin 2 ? ?

tg 2? 1 ? cos 2? ? 2 1 ? tg ? 2

⑤ cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
3tg? ? tg 3? ③ tg 3? ? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) ① sin ? ?
2

? 2

?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos ? ?
2

?

1 ? cos? 2

④ cos 2

?
2

?

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin 2
? ? ?

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

⑦ 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin
2 2 2

?
2

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:
3

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2

⒕和差化积公式: ① sin ? ? sin ? ? 2 sin
???
2 2 ??? ??? cos ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos 2 2 cos

???

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
???
2 2

④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

⒖反三角函数: 名称 函数式 定义域 值域
? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

性质
arcsin(-x)? -arcsinx 奇

反 正 弦 函 y ? arcsin x 数 反余弦函 数 反正切函 数 反余切函 数 ⒗最简单的三角方程 方程
sin x ? a
y ? arccos x

?? 1,1? 增

?? 1,1? 减

?0, ? ?

arccos(? x) ? ? ? arccosx

y ? arctgx

R



? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

arctg(-x)? - arctgx 奇

y ? arcctgx

R



?0, ? ?

arcctg(? x) ? ? ? arcctgx

方程的解集
a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsin a, k ? Z ?
k

4

cosx ? a

a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? k? ? arctga, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arcctga, k ? Z ?

tgx ? a ctgx ? a

5


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