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圆锥曲线参数方程的应用


课题 :圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用
授课人:马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

复习提问: 回答下列曲线的参数方程
(1)圆:(x-x0)2+(y-y0)2= r2
? x = x 0 + r cos θ ? ? y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

? x = a cos θ ? ? y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆: 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线:2 ? b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

? x = a sec θ ? ? y = btgθ
? x = 2 pt 2 ? ? y = 2 pt

(4)抛物线:y2= 2px (p>0)

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( ?- θ )。 4 π 其中 ? = arctg 显然?- θ=2kπ+ k∈Z
3π 4 + arctg 时,u最大,umax=5 θ= 2 3

3

2

说明 此题应用了椭圆参数方程的设法,以及 化一个角的一个三角函数的方法求出最值。

例2、已知P(x,y) ? x = cos θ 是圆x2+y2=2y上的 ? y = 1 + sin θ ? 动点。 (1)2x+y= 2cosθ+sinθ+1 ∴1 ? 5 ≤ 2 x + y ≤ 1 + 5 (1)求2x+y的 取值范围; (2)若 x+y+c ≥ 0恒成立 即c ≥-( cosθ+sinθ+1) (2)若x+y+c≥0 对一切θ∈R成立,又 恒成立,求实数c -( cosθ+sinθ+1)最大值 是 2 ? 1 ∴当且仅当c ≥ 2 ? 1 取值范围。 时 , x+y+c ≥ 0恒成立。

解 圆的参数方程是

有公共点,试求圆的半径的最大值和最小值。

x2 2 例3、已知椭圆 + y = 1和圆(x-1)2+y2=R2 4

解 ∵椭圆和圆有公共点; ∴设这个公共点是( 2cos θ ,sin θ )θ∈[0,2π) R2=( 2cosθ -1)2+sin2 θ = 4 cos2θ - 4 cosθ +2 - cos2θ
2 2 2 =3(cosθ- ) + 3 3 2 2 6 2 ∴当cosθ= 时, R min= ,Rmin= 3 3 3

当cosθ= -1时, R2max=9,Rmax=3。

说明 本例的一般解法是消y2,转化为R2

的二次函数f(x),因为|x|≤2,所以可转化 为闭区间上二次函数的最值问题,但没有用 椭圆的参数方程设点更简捷。

例4、直线l: 3 x + 2 y ? 6 = 0 与抛物线 y 2 = 2 3 x 交于A、B 两点,求∠AOB 的值。

设抛物线 y 2 = 2 3x 解 的参数方程是
? x = 2 3t 2 ? ? (t是参数) ? y = 2 3t ?

将它代入直线l的方程

3 x + 2 y ? 6 = 0 整理得 3t 2 + 2 3t ? 3 = 0 (1)

∵ A、B对应的参t1、t2分别是方程(1)的两根, y B ∴t1t2=-1,∵t表示抛物线上的点与原点连线斜率 的倒数。 x 1 1O ? = ?1 即kOAkOB=-1。 ∴∠AOB=900 ∴ kOA kOB A

y 例5、如图 设椭圆 B2 2 2 P C: 2 x + ky = 1(k > 0) 的焦点在x轴上,P是椭 R Qx o 圆上一点(非顶点), B1 B1,B2为短轴两端点, PB1、PB2分别交x轴于 解 椭圆的C的方程是 R、Q。求证:|OQ|·|OR| x 2 y 2 + = 1 ∵焦点在x轴上 1 为定值。 2

2

k

2 1 ∴ > > 0, 2 k

设 P(

1 1 B1 (0,? ), B2 (0, ). k k 2 1 cosθ , sin θ ), Q(x1,0) k 2

∵ B2、P、Q三点共线 ∴

y B2

P Qx

1 1 2 sin θ ? 0 ?0 cos o θ R k 2 = k , ∴x1 = B1 , 0 ? x1 1 ? sin θ 2 cosθ ? x1 2
2 cosθ 2 1 ? sin θ 2 cosθ 1 2 1 B2 (0, 1 ( 0, ? 同理B|OR|= k ),+ sin θ k ). 1

即 |OQ|=

2 1 P( cos , sinθ), θ 2 2 k cos2 θ 2 为定值。 2 = ∴ |OQ|·|OR|= Q(x1,0) 2
1 ? sin θ 2

l2

Y Q

l1 P X

例6、如图 设P是双 x2 y2 曲线 2 ? 2 = 1 上的任意一 点,过P作双曲线两条渐近 线的平行线,分别与另一条 渐近线交于Q、R。求证: |PQ|·|PR|= 1 (a2+b2)。
4
a b

OR

分析 若设P(x0,y0),则运算相当复杂, 若用双曲线的参数方程设点,则可以转化为 三角运算。

Y 证明 设P点坐标是(a secθ,btgθ),双曲线 l2 l1 提问 经过P0(xo,y0) 两条渐近线方程分别是 YQ 倾斜角为α的直线参数方程是 l l1 l1x0 + t cos α :bx-ay=0, l2: bx+ay=02 P ?x = ? O RQ X (t是参数) b b α ∴ ? y kl 2y=+ t sin 且 PQ‖l2, k PQ = ? ∵= 0 ? , P a a OR b X a ? 30 提问经过Psec θ ?,y20),斜率为k= (xo t, ?x = a 0 2 a a +b ∴PQ的方程是 ? 0P的参数方程是 (t为参数) 且参数t表示P ? 10
?b 2 2 a +b ? 斜率为k= 1的参数方程是 (t是参数) 将它代入l 的方程,则有 ?a b ? at= y0 + t ? x = x0 + y at 2 bt 2 ? ? (t是参数) θ + a )+ b (btg ?a θ ) =0 ? b(a sec? y = y0 + bt a 2 + b 2 a 2 + b2 ?
b ? y = btg θ + t, 0 提问 ? 经过P (xa,y ) 2 2 2 o 0t a + b ? x = x0 ? 0 +

1 2 l2 ∴t = a + b 2 (sec θ ? tgθ ) 2 1 2 ∴ PQ = t = a + b2 sec θ ? tgθ , 2 1 2 2 a + b sec θ + tgθ 同理得 PR = 2

Y Q

l1 P X

OR

a 2 + b2 1 2 2 2 ∴ PQ ? PR = sec θ ? tg θ = ( a + b 2b ) 4 ∵ PR‖l1∴k4 =kL1= PR

a 直线PR的参数方程是 说明 这里既运用了双曲线的参数设点P a ? t ? x = a sec θ + 2 2 a +b ? 的坐标,又用了直线参数方程,因而化简了 (t是参数) ? b ? y = btgθ + t 2 运算。 2 ?
? a +b

说明 这里既运用了双曲线的参数方程设点 P的坐标,又用了直线参数方程,因而化简了 运算。 小结 通过本节课的学习,我们应该 知道不仅要掌握圆锥曲线的参数方程,还 要运用圆锥曲线 的 参数方程解决其它问 题。特别注意要掌握参数的几何意义或物 理意义。

? x = x0 + t cosθ 当t为常数, 练习 1、曲线的方程是 ? ? y = y0 + t sin θ

θ为参数时曲线是

圆(x-x0)2 +(y-y0)2 = t2 ;

当θ为常数,t为参数时,它表示 0=tgθ(x-x0) ; 直线y-y 2、已知双曲线的参数方程是
? x = 2tgθ ? ? y = 3 sec θ

± (θ为参数),则它的焦点坐标是 (0, 13 )。

作业 P146 8、9、10

谢 再 见
2000年4月4 日




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