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高中数列知识大总结(绝对全)


第一课时
知识要点
一、 数列的概念

数列

1.数列是按一定顺序排列的一列数,记作 a1 , a2 , a3 ?an ,?, 简记 2.数列

?an ?.

?an ?的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式 an ?
?

f (n) 给出,则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3.数列可以看做定义域为 N (或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图像是一群 孤立的点。 二、数列的表示方法 数列的表示方法有:列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示) 。 三、 数列的分类 1. 按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。 2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。 3. 从函数角度考虑分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系 1. S n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ai
i ?1

n

2. a n

? S1 ?? ?S n ? S n ?1

n ?1 n?2

课前热身
1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式为 ( A. an ) C. a n ? )

? n 2 ? (n ? 1) B. an ? n 2 ? 1

n(n ? 1) 2

D. a n ?

n(n ? 1) 2

,34,55,? 中, x 的值为( 2.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21
A.10 3.数列 B.11 C.12 D.13

?an ?的通项公式为

an ? 3n 2 ? 28n ,则数列各项中最小项是(
C.第6项 D.第7项

)

A.第4项 4.已知数列 5.数列

B.第5项

?an ?是递增数列,其通项公式为 an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是

?an ?的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1,,则

典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,…

1



2 4 6 8 ,? , ,? , ? 3 15 35 63

⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9… 题型二 应用 a n

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列 ⑴ Sn

?an ?的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式.

? 3n ? 2
1 ( a n ? 2) 2 8 ( a n ? 0)

⑵ Sn ?

三、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 ⑴ a1 ? (2) a1

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式
1 4n ? 1
2

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

? 1,

an ? 0, (n ? 1)an?1 ? nan ? an ? an?1 ? 0 ,
a n ?1 ? 1 an ? 1 2

2

2

⑶ a1 ? 1,

数学门诊
已知 S n 是数列 通项公式。

?an ?的前 n 项和,且满足 Sn 2 ? 3n 2 an ? S n?12 ,其中 an ? 0, n ? 2,3,4?,又 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的

课堂演练
1. 若数列 A. a n

?an ?的前 n 项的 S n
B. a n

?

3 a n ? 3 ,那么这个数列的通项公式为( ) 2
C. an

? 2 ? 3n?1

? 3 ? 2n

? 3n ? 3
?

D. an

? 2 ? 3n

2.已知数列

?an ?满足 a1 ? 0 , a n ?1 ?
B. ?

an ? 3 3a n ? 1
D.

(n? N ) ,则 a 20

?( )

A. 0

3

C.

3

3 2

4.已知数列

?an ?满足 a1 ? 1,
⑵证明: a n

an ? 3n?1 ? an?1 , (n ? 2) ,⑴ 求a2和a3

?

3n ? 1 2

2

6.2 等差数列
知识要点
1. 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列,这个常 数叫等差数列的公差,用 d 表示。 2.递推关系与通项公式 是数列

?an ? 成等差数列的充要条件。 ?an ?的基本性质 (其中m, n, p, q ? N ? )
p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反

5. 等差数列

⑴ 若m ? n ? 之,不成立。 ⑵ an

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a ? a1 d? n n ?1 an ? am d? n?m
由此联想到点 (n, an ) 所在直线的斜率。

? am ? (n ? m)d ? an ?m ? an ? m ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。

⑶ 2an

⑷ S n , S 2n

6.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

特征:an ? dn ? (a1 ? d ), 即:an ? f (n) ? kn ? m , (k , m为常数)
an ? kn ? m,(k , m为常数) 是数列 ?an ? 成
等差数列的充要条件。 3.等差中项: 若 a, b, c 成等差数列, 则 b 称 a与c 的等差中项, 且b ?

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ? ?an ? 是等
差数列 ②中项法:

2an?1 ? an ? an?2
列 ③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数

an ? kn ? b


(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数

a?c ; a, b, c 成等差数列是 2b ? a ? c 的充 2

④前 n 项和公式法:

要条件。 4.前 n 项和公式

S n ? An2 ? Bn
差数列 课前热身: 1.等差数列

( A, B为常数) ? ?an ? 是等

(a ? a n )n n(n ? 1)d Sn ? 1 ; S n ? na1 ? 2 2
变式:

?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39,

a1 ? a n S n a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 n n d d ? a1 ? (n ? 1) ? a n ? (n ? 1) ? (? ); 2 2 S a n ? 2 n ?1 2n ? 1
d d 特征:S n ? n 2 ? (a1 ? )n, 2 2 2 即S n ? f (n) ? An ? Bn S n ? An2 ? Bn ( A, B为常数)

a2 ? a5 ? a8 ? 33, 则a3 ? a6 ? a9 ? ( )
A.30 2.等差数列 B.27 C.24 D.21

?an ? 中,

a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 1 则a9 ? a11的值为( C ) 3
A.14 B.15 C.16 D.17

3. 等差数列
3

当 a1,d 变化时, ?an ?的前 n 项和为 S n ,



a2 ? a8 ? a11 是一个定值,那么下列各数中也

②设 bn ?

是定值的是)

Sn ,一个新数列 ? bn ? ,若 ?bn ? 也 n?c

A.S13 B.S 20

B.S15 C.S8

是等差数列,求非零常数 c ; ③求

f ( n) ?

5. 设 Sn , Tn 分别为等差数列

?an ?与 ?bn ?的前 n

bn ? ( n ? N )的最大 (n ? 25)bn?1



值 数学门诊 若数列



an 4n ? 2 S ? ,则 19 ? bn 2n ? 5 T19

?an ?是等差数列,数列 ?bn ? 满足

典例精析 一、等差数列的判定与基本运算 例 1:⑴已知数列 ①求证:

,?bn ? 的前 n 项和为 bn ? an ? an?1 ? an?2 ( n ? N ? )

?an ?前 n 项和 Sn ? n

2

? 9n
的前 n 项

S n ,已知 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 为何值时, S n 取
得最大值?并证明你的结论。

?an ?为等差数列;②记数列 ?an ?
Tn 的表达式。

和为 Tn ,求 ⑵数列

课堂演练 1.设

?an ? 中, S n 是前 n 项和,当 n ? 2 时,

S n 是 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 若

?1? 1 2 S n ? a n ( S n ? ) ①求证: ? ? 是等差数列, 2 ? Sn ?

S3 1 S ? ,则 6 ? () S6 3 S12
A.

Sn ②设 bn ? ,求 ? bn ? 的前 n 项和 Tn 2n ? 1
二、公式的应用 例 2:设等差数列 前 n 项和为 S n ①若 a11 ②若 a1 数列 求数列 ?an ? 的通项公式 ? 0,S14 ? 98,

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9


2.在等差数列

?an ?中 a1 ? 2,a2 ? a3 ? 13,

?an ?的首项 a1 及公差 d 都为整数,

a4 ? a5 ? a6 等于( )
A.40 3.等差数列 B.42 C.43 D.45

?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前____ ?an ? 的前 10 项和为 100,前 100 项和 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

项的和最大。 4.已知等差数列

? 6,a11 ? 0,S14 ? 77 ,求所有可能的

?an ?的通项公式 ?an ?中,公差 d >0
前 n 项和为

为 10,则前 110 项和为 6.设等差数列

三、性质的应用 例 3:已知等差数列

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围,

S n ,且满足: a2 a3 ? 45 ,a1 ? a4 ? 14 ,
①求数列的通项公式;
4

?,S12 中哪一个值最大,并说明理 ②指出 S1,S 2,

6.3 等比数列
知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的公比,记为 q,(q ? 0) 。 2. 递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
3. 等比中项:若三个数 a, b, c 成等比数列,则称 b 为 a与c 的等比中项,且为 b ? ? 的必要而不充分条件。 4. 前 n 项和公式

ac,注:b 2 ? ac 是成等比数列

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

(q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ① 若m ? n ?
n?m

?

)

p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反之不真!

②q

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am



?an ?为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
? S n,S3n ? S 2n, ?仍成等比数列。

④ q ? ?1 时,S n,S 2n

6. 等比数列与等比数列的转化 ① ②

?an ?是等差数列 ? ?c a ?
n

(c ? 0,c ? 1) 是等比数列; (c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

?an ?是正项等比数列 ? ?logc an ?


?an ?既是等差数列又是等比数列 ? ?an ?是各项不为零的常数列。
an?1 ? q(常数) ? ?an ? 为等比数列; an
2

7. 等比数列的判定法 ①定义法:

②中项法: an?1

? an ? an?2

(an ? 0) ? ?an ? 为等比数列;

③通项公式法: an

? k ? q n (k , q为常数) ? ?an ? 为等比数列;④前 n 项和法:
5

S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ? ?an ? 为等比数列。
课前热身 1. 如果-1, a, b, c ,-9 成等比数列,那么( A. b =3, ac =9 2. 在等比数列 B. b =-3, ac =-9 C. )

b =3, ac =-9

D. b =-3, ac =-9 )

?an ?中,若 a4 ? a7 ? a5 ? a6 ? 20 ,则此数列的前 10 项之积等于(
B. 20 10 D. 10 10

A. 50 C. 10 5
3.

设f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10
(n ? N ? ),则f (n)等于 ( D ) 2 2 A. (8 n ? 1) B. (8 n ?1 ? 1) 7 7 2 n ?3 2 C. (8 ? 1) D. (8 n ? 4 ? 1) 7 7

4. 已知数列 5. 在数列 若 a1

?an ?是等比数列,且 S m ? 10,S 2m ? 30,则S3m ?

?an ?中,
(n ? 1) ,则通项 an =

?1 ,an?1 ? 2an ? 3

典例精析 一、 等比数列的基本运算与判定 例 1:⑴设首项为 a1 公比。 ⑵设数列

?a

(a ? 0) ,公比为 q 的等比数列的前 n 项和为 80,前 2 n 项的和为 6560,求此数列的首项与

?an ?的首项 a1 ? a ?

1 ,且 4

? 1 ? 2 a n , n为偶数 a n ?1 ? ? 1 ?a n ? , n为奇数 4 ? 1 记bn ? a 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3,? 4
①求 a 2,a3 ②判断数列

?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论。

6

二、性质运用 例 2:⑴在等比数列

?an ?中,

a1 ? a6 ? 33 ,a3 a4 ? 32,an ? an?1
①求 an , ②若 Tn

? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an , 求Tn

例 3:已知 a1

? 3,点(an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上, n ? N ?

①证明数列 ②设 Tn ③记 bn

?lg(1 ? an )? 是等比数列,

? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,求 Tn 及数列 ?an ? 的题项公式,
1 1 ,求数列 ? ? bn ? 的前 n 项和 S n ,并证明: an an ? 2

?

数学门诊: 已知等差数列 项。 ①求数列 ②设数列

?an ?的首项 a1 =1,公差 d >0,且第 2 项,第 5 项,第 14 项分别是等比数列 ?bn ?的第 2 项,第 3 项,第 4

?an ?与 ?bn ?的通项公式; ?an ?对 n ? N ? 均有

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1成立 b1 b2 bn 求:c1 ? c2 ? ? ? c2010

7

6.4 数列求和
知识要点
1. 求数列前 n 项和的基本方法 ⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和; 二、 裂项相消法求和 例 2 : 数 列

?an ?





a1

=8



n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ?
公比含字母时一定要讨论。

a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? )
①求数列

?an ? 的通项公式;
1 n(14 ? a n ) (n ? N ? )

②设 bn

?

?an ?为无穷递缩等比数列时, S ?
式的推导过程。

a1 1? q

⑵求一般数列的前 n 项和,无通法可循,为此平 时要注意掌握某些特殊数列前 n 项和的求法。 ⑶数列求和时,要注意观察它的特点和规律,在 分析数列通项的基础上,或分解为基本数列求和, 或转化为基本数列求和。 课前热身 3 . ( 4.数列

数学门诊
已 知

S n 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且

1 1 1 ? ??? 等 于 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1)


S n ? 2an ? n 2 ? 3n ? 2,n ? N ?
①求证:数列 ②设 bn

?an ? 2n? 为等比数列;

?an ?是等差数列,

? an ? cosn? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Pn 。

a5 ? a6 ? 10,则前20项和S 20 ?
5.已知数列

?an ?中, a1 =1, a2 ? 2+3, a3 =4+5+6,

课堂演练 1.数列 2, 2 项和为(

a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10,则a10 ? 505 。
典例精析 一、 错位相减法求和

1 1 1 1 , 3 , 4 , ?, n ? n ?1 , ? 的前 n 2 4 8 2



1 2 3 n 例 1:求和: S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n a a a a

(n ? 1)n 1 ?2? n 2 2 2 n ?n?4 1 C. ? n ?1 2 2 A.
( )

B.

n(n ? 1) 1 ?1? n 2 2 2 n ?n?4 1 D. ? n ?1 2 2

2.2×3+3×4+4×5+…+( n +1) ( n +2)等于

A.n 2 ? 6n ? 1 B.n(n 2 ? 6n ? 11) n C. (n 2 ? 6n ? 11) D.n 3 3
8

4. 数列

?an ?满足: a1 =1, an

?

2 ,其前 n n(n ? 1)

6. 在等差数列

?an ? 中, a1 =1 ,前 n 项和 S n 满足

项和为 S n ,则 S n

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, 2, ? Sn n ?1
①求数列 ②记 bn 项和 Tn 。

?an ? 的通项公式

? an p an ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n

5. 数列

?an ?满足: a1 =1,
8.设数列

a2 ? 4,an ? an??2 ? 2 ,①求通项公式 ?an ?
②求数列

?an ? 满足
n ? (n? N ) 3

?an ?前 n 项和 S n

a1 ? 3a 2 ? 3 2 a3 ? ? ? 3 n ?1 a n ?
①求数列

?an ?的通项公式 an ;
n ,求数列 ? bn ? 的前 n 项 an

②设 bn

?

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