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高二数学下学期立体几何解析几何导数专项练习

高二数学下学期立体几何解析几何导数专项练习 1、 (无锡市 2014 届高三上学期期中) 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? BC ? 3, AA1 ? 2 , 则四面体 A1 BC1 D 的体积为 2、已知直线 l⊥平面α ,直线 m?平面β ,则下列四个命题:①若α ∥β ,则 l⊥m; α ⊥β ,则 l∥m; ③若 l∥m,则α ⊥β ; ④若 l⊥m,则α ∥β . 其中正确命题的序号是 . ②若

3、设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 ? ?

? , l ? ? , 则l // ? ; ②若 l ? ? ,l // ? , 则? ? ? ; ③若 l 上有两点到 ? 的距离

相等,则 l// ? ; ④若 ? ?

? , ? // ? , 则? ? ? .其中正确命题的序号是___

___.

二、解答题 1、(如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥平面 PAC , AB ? BC , E , F 分别是 PA , P AC 的中点.求证:(1) EF ∥平面 PBC ; (2)平面 BEF ⊥平面 PAC . E F A B (第 15 题图) 2、)在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?ACB ? 90?, PC ? AC, H 为 PA 的 中点, M、N 分别为棱 PA, PB 上的点,且 PN ? 3NB 。 (1)求证: PA ? 平面 BCH ; (2)若 MN / / 平面 HBC ,则 PM : MA 的值。 C

3、如图,四边形 ABCD 为平行四边形,四边形 ADEF 是正方形,且 BD⊥平面 CDE,H 是 BE 的 中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE;

(2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

1、已知过点 (2 , 的直线 l 被圆 C :2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程 x 5) 为 .

2、已知双曲线

x2 y 2 F ? ? 1(a>0 , >0) 的左、右焦点分别为 F1 , 2 ,以 F1F2 为直径的圆与 b a 2 b2 ? 双曲线在第一象限的交点为 P .若 ?PF1 F2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为 .

3、若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点 (2,3) ,则曲 线 C 的方程为 。
2 2

4、直线 y ? kx ? 1 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、B 两点,若 AB ? 4 ,则 k 的取值 范围是 。

5、设圆 x ? ( y ? 1) ? 1 的切线 l 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴分别交于点 A, B ,当 AB 取最
2 2

小值时,切线 l 在 y 轴上的截距为



1、定义在 R 上的函数 f ( x) ,其导函数 f 不等式 f ? x ? ? x ? 1 的解集为 .

'

? x ? 满足 f ' ? x ? ? 1 ,且 f ? 2 ? ? 3 ,则关于 x 的

1、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? 4 ( a ?R ). ⑴ 若函数 y ? f (x) 的图象在点 P 1, f ?1? 处的切线的倾斜角为 最小值; ⑵ 若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

?

?

? ,求 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的 4

3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M : x ? y ? 8 x ? 6 ? 0 ,过点 P(0, 2) 且斜率为 k 的
2 2

直线与圆 M 相交于不同的两点 A, B ,线段 AB 的中点为 N 。 (1)求 k 的取值范围; (2)若 ON / / MP ,求 k 的值。

4、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M (2, 2) , P 是动点,且 ?POM 的三边所在直线的 斜率 满足 kOM ? kOP ? k PM . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) N 在直线 y ? 4 x ? 1 , N 作 点 过 (1) 中轨迹 C 的两切线, 切点分别为 A, B , ?ABN 若 是直角三角形,求点 N 的坐标。

立几 1、6 2、①③ 3、②④ 1 证明:⑴在 ?APC 中,因为 E , F 分别是 PA, AC 的中点,所以 EF ∥ PC , ………2 分 又 PC ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以 EF ∥平面 PBC ; ……………5 分

⑵ 因为 AB ? BC ,且点 F 是 AC 的中点,所以 BF ⊥ AC ,………………………7 分 又平面 ABC ⊥平面 PAC ,平面 ABC ∩平面 PAC ? AC , BF ? 平面 ABC , 所以 BF ⊥平面 PAC , ………………………………………………………11 分 …………………………14 分

因为 BF ? 平面 BEF ,所以平面 BEF ⊥平面 PAC .

3 证明:⑴ G 是 AE , DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点,∴ ?EAB 中,

GH // AB ,
∵ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD ∴ GH // CD , 又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE

∴ GH // 平面 CDE 所以 BD ? ED ,

⑵? BD ? 平面CDE , 又因为四边形 AFED 为正方形,

? ED ? AD , ? AD ? BD ? D , ED ? 面ABCD ,-? ED ? 面AFED
面AFED ? 面ABCD .
解析几何 1、 x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 2、 3 ? 1 3、 x 2 ? y 2 ? 5 4、

1 3? 5 (? , 2) 5、 2 2
题 意 ,

导数 1、 ? ??, 2 ? 1 解:(1) f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax.





f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4

此时, f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x .令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3

x
f ?? x?

?1

(?1,0)


0

(0,1)
+ ↗

1
1

?7
?1

0
?4

f ? x?

?3
2a ). 3
递 减 . 又

∴当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ?4 .(2)? f ?( x) ? ?3x( x ? ① 若

a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??)







f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.
?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
②若 a ? 0, 则当0 ? x ? 上 单 调 递

2a 2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 从而 f (x) 在 (0, ) 3 3 3 2a ?) 上 单 调 递 + 增 , 在 ( , 3



.

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f ( 4a 3 ? 4 ? 0,即a3 ? 27.? a ? 3. 27
2 2

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题意,

综上, a 的取值范围是 (3, ??) .

3(1)方法一:圆的方程可化为 ( x ? 4) ? y ? 10 ,直线可设为 y ? kx ? 2 ,

即 kx ? y ? 2 ? 0 ,圆心 M 到直线的距离为 d ?

| 4k ? 2 | k 2 ?1



2 2 依题意 d ? 10 ,即 (4k ? 2) ? 10(k ? 1) ,解之得: ?3 ? k ?

1 ; 3

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 2 2 方法二:由 ? 可得: (k ? 1) x ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2
依题意 ? ? [4(k ? 2)] ? 40(k ? 1) ? 0 ,解之得: ?3 ? k ?
2 2

1 . 3

(2)方法一:因为 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ?

1 1 ,故直线 ON : y ? ? x , 2 2

? 由? ?

1 y?? x 4 2 , ) , 又 N 是 AB 中 点 , 所 以 MN ? AB , 即 2 可 得 N (? 2k ? 1 2 k ? 1 y ? kx ? 2

2 2k ? 1 ? ? 1 , 4 k ? ?4 2k ? 1 4 解之得: k ? ? . 3
方法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 2 2 由? 可得: (k ? 1) x ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2
所以 x1 ? x2 ? ?

4(k ? 2) 1 ,又 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ? , 2 k ?1 2

y1 ? y2 2 ? ? 1 ,即 y1 ? y2 ? ? 1 ,也就是 k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 1 , 所以 x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 2 2 4(k ? 2) k (? 2 )?4 4 1 k ?1 所以 ? ? ,解之得: k ? ? . 4(k ? 2) 3 2 ? 2 k ?1
y ? kx ? 2 ? 4 ? 1 方法三:点 N 的坐标同时满足 ? y ? ? x ,解此方程组,消去 x, y 可得 k ? ? . 3 2 ? ? y 1 ?? x?4 k

4 解:(1)设 P( x, y ) ,由 kOM ? kOP ? k PM 得: 1 ?
2

y y?2 2 ,即 x ? 2 y , ? x x?2

所以 P 点的轨迹 C 的方程是: x ? 2 y ( x ? 0 ,且 x ? 2) , (2)因为 y ?

则 k AN

1 1 2 1 2 x ,所以 y ' ? x ,设 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 ) , N (a, b) 2 2 2 1 2 x1 ? b ? x1 , k BN ? x2 , 由 于 AN 是 曲 线 的 切 线 , 所 以 2 ? x1 , 即 x1 ? a
, 同 理
2 x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0

x12 ? 2ax1 ? 2b ? 0















( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 2a ,
①若 AN ? BN ,则 k AN k BN ? ?1 ,所以 x1 x2 ? ?1 ,
2 ? x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 1 1 1 ? 2 由 ? x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 ,得 2b ? ?1, b ? ? ,此时 N ( , ? ) ; ···· 6 分 ···· ···· 2 8 2 ? x x ? ?1 ? 1 2

②若 AN ? AB , k A A 则 N k B 即 2ax1 ? 2 ? 0 , x1 ? ?

1 2 1 2 x2 ? x1 2 ? x ? ?1 化简得:( x ? x ) x ? 2 ? 0 , ? ?1 , 2 即 1 2 1 1 x2 ? x1

1 1 2 ,又 x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ,即 2 ? 2 ? 2b ? 0 a a

1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2b ? 0 1 ?a ? ? 由? a 可得 ? 2 所以 N (? , ?3) , 2 ? ?b ? ? 3 b ? 4a ? 1 ?

1 , ?3) ; 2 1 1 1 综上可得,所求点 N 有两个: N ( , ? ) ,和 N (? , ?3) 8 2 2
③若 BN ? AB ,同理可得 N (?


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