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福建省三明市2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题

三明市 2010—2011 学年第一学期普通高中期末考试

高一数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,在答题卷相应题目的答题区域内作答. 1.直线 x ? y ? 2 ? 0 的倾斜 角为 A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ?

2.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? A.3 3.如图是一个物体的三视图. B.

1 ,则 a5 的值为 2
C.4 D.

7 2

9 2

则此三视图所描述的几何体是 4.已知等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 等于 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

5.直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点 A.(-2,1) B.(2,-1) C .(0,1) D.(-2,-1)

6.已知直线 a , b 和平面 ? ,下列四个说法 ① a ∥ ? , b ? ? ,则 a // b ;② a ∩ ? = P ,b ? ? ,则 a 与 b 不平行; ③若 a ∥ b , b ? ? ,则 a ? ? ;④ a // ? , b // ? ,则 a // b . 其中说法正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2 2 7.直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 ( x ? 1) ? y ? 2 所截得的弦长为

30 5 8.下列命题中正确 的是
A. A.若 a ? b, 则am2 ? bm2

B.

3 5 5

C.

2 30 5

D.

6 5 5

B.若 a ? b, 则 ?

a c

b c

C.若 a ? b, ab ? 0, 则 <

1 1 a b

D.若 a2 ? b2 , ab ? 0, 则 <

1 1 a b

9.设 A 在 x 轴上,它到点 P(0, 2,3) 的距离等于到点 Q (0,1, ?1) 的距离的两倍,那么 A 点的 坐标是 A.(1,0,0)和( -1,0,0) C.( B.( 2,0,0)和(-2,0,0)

2 2 1 1 ,0,0)和( ? ,0,0) D.( ? ,0,0)和( ,0,0) 2 2 2 2 10.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状 为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
[来源:学科网 ZXXK]

?y ? x ? 11.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
A. ?

3 2

B.

3 2

C.-3

D. 3

12. 已知 f (1,1) ? 1 , f (m, n) ? N ? ( m, n ? N ? ) ,且对任意 m, n ? N ? 都有 ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; ② f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) .则 f (2010, 2011) 的值为 A. 2 C. 2
2010

? 4022 ? 2011

B. 2 D. 2

2010

? 2010 ? 4020

2010

2010

第Ⅱ卷(非选择题

共 64 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.在答题卷相应题目的答题区域内作 答. 13.已知直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? ay ? 0 平行,则 a ? 14. 已知数列{ an }的前 n 项和 S n = 2n 2 ,则 an = 15.在 ?ABC 中, ? C 为钝角, AC ? 2 , BC ? 1 , S ?ABC ? . .

3 ,则 AB = 2



16.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,
SD ? PD ? 6 , CR ? SC , AQ ? AP ,点 S , D, A, Q 及 P , D , C , R

共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P, Q, R, S 四点重合,则 需要 个这样的几何体,可以拼成一个棱长为 6 的正方体.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在 答题卷相应题目的答题区域内作答. 17.(本小题满分 8 分) 已知集合 A = {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} ,集合 B = {x | ( x2 ? 1)( x2 ?1) ? 0} ,求 A ? B .

18. (本小题满分 8 分) 如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果 冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.

4cm _

12 cm _

19. (本小题满分 8 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中. (I) 求异面直线 BD 与 B1C 所成的角; (II) 求证平面 ACB1 ⊥平面 B1D1DB . D1 20. (本小题满分 9 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A (1,0),且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ) 若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的 方程. C1 A1 B1 A D B C

21. (本小题满分 9) 某厂家 2008 年拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量 m 万件(即该厂的年 产量)与促销费用 x 万元 ( x ? 0) 满足 m ? 3 ?

2 .已知 2008 年生产该产品 m 万件的成 x ?1

本 C ? 16m ? 8 万元,厂家将每件产品的销售价定为每件产品成本的 1.5 倍. (Ⅰ)试将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? (利润 ? 销售额 ? 成本 ? 促销费用)

22. (本小题满分 10 分) 已知数列 { an } 有以下的特征: a1 ? 1 , a1 , a2 , … , a5 是公差为 1 的等差数列;

a5 , a6 , … , a10 是公差为 d 的等差 数列; a10 , a11 , … , a15 是公差为 d 2 的等差数列;……;
* (n? N ) , 其中 d ? 0 . 设数列 {bn } a5n , a5n?1 , a5n?2 , … , a5 n ?5 是公差为 d n 的等差数列

满足 bn ? a5n ? a5( n?1) (n ? 2) , b1 ? a5 . (Ⅰ) 求证数列{ bn }为等比数列; (Ⅱ) 求数列{ bn }的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ) 当 d ? ?1 时,证明对所有正奇数 n ,总有 Sn ?

5 . 2

三明市 2010—2011 学年第一学期普通高中阶段性考试

高一数学参考答案
一、选择题(把选项代号填入下表,每题3分,满分36分) 题号 选项 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10
[来源:学

11 D

12 A

科网]

C

二、填空题(本大共 4 小题.每小题 3 分,共 12 分) 13.6 14. 4n ? 2 15. 7 16. 3.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分)
2 解:? x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 4 ;

……………………………………3 分

由 ( x2 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,又 x 2 ? 1 ? 0 , 所以 x 2 ? 1 ? 0 , 解得 x ? ?1, 或x ? 1 ; …………………………………6 分 ∴ A ? B =(1,4) 18. (本小题满分 8 分) 解: 由图可知 V半球 ? ? ? R3 ? ? ? ? 43 ? ………………………………………8 分

1 4 2 3

1 4 2 3

128 ? (cm3 ) ;……………………3 分 3

1 1 V圆锥 ? ? r 2 h ? ? ? 42 ?12 ? 64? (cm3 ) ; 3 3
因为 V半球 ? V圆锥 ,

……………………………………6 分

所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子.…… ……………………………………8 分 19. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)如图, DB ∥ D1 B1 , 则 ?D1B1C 就是异面直线 BD 与 B1C 所成的角. 连接 D1C ,在 ?D1 B1C 中, D1 B1 ? B1C ? CD1 , 则 ?D1B1C ? 60? , 因此异面直线 BD 与 B1C 所成的角为 60 .………4 分
[来源:Z#xx#k.Com]

D O A B

C

D1 C1
?

A1

B1

(Ⅱ) 由正方体的性质可知 DD1 ? 面AC , 故 DD1 ? AC , 又 正方形 ABCD 中, AC ? BD , ∴ AC ? 面B1 D1 DB ; 又 AC ? 平面ACB1 , ∴ 平面 ACB1 ? 平面B1D1DB . …………………………………………8 分 20. (本小题满分 9 分) 解: (Ⅰ)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. …………………1 分 ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即
[来源:学§科§网]

3k ? 4 ? k k2 ?1

?2

…………………………… ……………………………………4 分

解之得 k ?

3 . 4

所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . …………………………………… 5 分 (Ⅱ)依题意设 D(a, 2 ? a) ,又已知圆的圆心 C (3, 4), r ? 2 , 由两圆外切,可知 CD ? 5 ∴可知

(a ? 3)2 ? (2 ? a ? 4)2 = 5 ,

……………………………………… 7 分

解得 a ? 3, 或a ? ?2 , ∴

D(3, ?1)或 D(-2, 4) ,

∴ 所求圆的方程为 (x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9或(x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 9 .…… 9 分 21. (本小题满分 9 分) 解: (Ⅰ)依题意得: y ? 0.5C ? x ? 8m ? 4 ? x ? 8(3 ?

2 )?4? x x ?1

? 28 ?

16 ? x( x ? 0) x ?1

…………………………………… 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? 29 ? (

16 16 ? x ? 1) ? 29 ? 2 ? ( x ?1) ? 21 x ?1 x ?1

当且仅当

16 ? x ? 1 ,即 x ? 3 时取等号, x ?1

所以厂家 2008 年的促销费用投入 3 万元时 ,厂家的最大利润为 21 万元 ………9 分 22. (本小题满分 10 分)
n ?1 解: (Ⅰ)证明:当 n ? 2 时, bn ? a5n ? a5( n?1) ? 5d ,



bn ?1 5d n ? n ?1 ? d bn 5d

(d ? 0) .

…………………………………… 2 分

又 b1 ? a5 ? a1 ? 4 ?1 ? 5, b2 ? a10 ? a5 ? 5d , ∴

b2 ? d ,……………… 3 分 b1

b ∴ 当 n ? 2时, n ? d 都成立, bn ?1
故数列{ bn } 是以 5 为首项, d 为公比的等比数列. ……………………………4 分 (Ⅱ)∵ Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 5 ? 5d ? 5d 2 ? ? ? 5d n?1

? 5(1 ? d n ) ,(d ? 1) ? ? ? 1? d ?5n , ( d ? 1) ?

…………………………7分

(Ⅲ) 当 d ? (0,??) 时, Sn ? 5 ? 5d ? 5d 2 ? ? ? 5d n?1 ? 5 显然成立
n 当 d ? (?1,0)时 , 1 ? 1 ? d ? 2 ,又 n 为正奇数 ,∴ 1 ? 1 ? d

…………8 分



1? d n 1 5 ? ,∴ Sn ? . 1? d 2 2

……………………………………… 10 分

或当 d ? (?1,0)时 ,又 n 为正奇数,则 1 ? d ? 0 ? 2d n ,所以 2 ? 2d n ? 1 ? d ? 0 . 因此

1? d n 1 5 ? ,∴ Sn ? . 1? d 2 2

……………………………………… 10 分

[来源:学科网]

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