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高二数学圆锥曲线的应用题苏教版知识精讲

刘可可 17

高二数学圆锥曲线的应用题
【典型例题】
例 1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此彗星离地球相距 m 万千米和 直线与椭圆的长轴夹角分别为

4 m 万千米时,经过地球和彗星的 3

π π 和 ,求该彗星与地球的最近距离. 2 3
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分析:本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路:由直线与椭圆的关系,列方程组解之;或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解 同时,还要注意结合椭圆的几何意义进行思考 仔细分析题意,由椭圆的几何意义可知:只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时,彗星与地球的距离才 达到最小值即为 a-c,这样把问题就转化为求 a,c 或 a-c.
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解:建立如图所示直角坐标系,设地球位于焦点 F(-c,0)处,椭圆的方程为

x2 y2 + =1, a2 b2

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

π π π 时,由椭圆的几何意义可知,彗星 A 只能满足∠xFA= (或∠xFA′= ) . 3 3 3

作 AB⊥Ox 于 B,则|FB|= 故由椭圆的第二定义可得

1 2 |FA|= m, 2 3

a2 a2 c 4 c 2 ( -c)① 且 m= ( -c+ m)② c c 3 3 a a 1 c 2 两式相减得 m= ? m,∴a=2c 3 3 a 1 3 代入①,得 m= (4c-c)= c, 2 2 2 2 ∴c= m ∴a-c=c= m 3 3 2 答:彗星与地球的最近距离为 m 万千米. 3
m=
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点评: (1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地 点,这两点到恒星的距离一个是 a-c,另一个是 a+c. (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想 另外,数学应用问题的解决在数学化 的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质.
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例 2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 AP、BP 运到 P 处(如图所示) .已知 PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试 说明怎样运土最省工. 分析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类: (1)沿 AP 到 P 较近; (2)沿 BP 到 P 较近; (3)沿 AP、BP 到 P 同样远 显然,第三类点是第一、二类的分界点,设 M 是分界线上的任意一点 则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|. 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 从而发现第三类点 M 满足性质:点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50,由双曲线定义知,点 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,故问题 转化为求此双曲线的方程. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系 xOy,设 M(x,y)是沿 AP、BP 运土同样远的点,则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB 中,由余弦定理得 |AB| 2=|PA| 2+|PB| 2-2|PA||PB|cos60°=17500, 且 50<|AB|.
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由双曲线定义知 M 点在以 A、B 为焦点的双曲线右支上,
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设此双曲线方程为

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) . a2 b

∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2, 解之得 a2=625,b2=3750.

y2 x2 - =1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧. 625 3750 于是运土时将双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工. 点评: (1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系,利用点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定 出最优化区域. (2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象;②进行合理的分类;③逐类逐级讨论;④归纳各类结果.
∴M 点轨迹是 例 3. 根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高 3 m,宽 1.6 m 现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交通管 理规定汽车进入隧道后必须保持距中线 0.4 m 的距离行驶 已知拱口 AB 宽恰好是拱高 OC 的 4 倍,若拱宽为 a m,求能使卡车安全通过的 a 的最小整数值
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分析:根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线 0.4 m 到 2 m 间的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于 距隧道中线 2 m(即在横断面上距拱口中点 2 m)处隧道的高度是否够 3 m,据此可通过建立坐标系,确定出抛物线的方程后求得. 解:如图,以拱口 AB 所在直线为 x 轴,以拱高 OC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 由题意可得抛物线的方程为 x2=-2p(y-

a ) , 4

a ,0)在抛物线上, 2 a a a ∴(- )2=-2p(0- ) ,得 p= . 2 4 2 a ∴抛物线方程为 x2=-a(y- ) . 4
∵点 A(- 取 x=1 6+0 4=2,代入抛物线方程,得
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a 2 ? 16 a ) ,y= . 4a 4 a 2 ? 16 由题意,令 y>3,得 >3, 4a
22=-a(y- ∵a>0,∴a2-12a-16>0. ∴a>6+2 13 . 又∵a∈Z,∴a 应取 14,15,16,?. 答:满足本题条件使卡车安全通过的 a 的最小正整数为 14 m. 点评:本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得到距拱口中点 2 m 处 y 的值;二是由 y>3 通过解不等式,结合 问题的实际意义和要求得到 a 的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的. 变式:如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 m,要求通行车辆限高 4 5 m,隧道全长 2 5 km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 m,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
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(半个椭圆的面积公式为 S=

π lh,柱体体积为底面积乘以高 本题结果均精确到 0 1 m) 4
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(1)解:如下图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5) ,椭圆方程为

x2 y2 + =1. a2 b2

用心

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将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得

44 7 88 7 ,此时 l=2a= ≈33.3. 7 7 因此隧道的拱宽约为 33 3 m
a=
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(2)解法一:由椭圆方程

x2 y2 112 4.5 2 + 2 =1,得 2 + 2 =1. a2 b a b

因为

112 4.5 2 2 ? 11 ? 4.5 + 2 ≥ , 2 ab a b

即 ab≥99,且 l=2a,h=b,所以 S=

π π ab 99π lh= ≥ . 4 2 2

当 S 取最小值时,有

112 4.5 2 1 = 2 = , 2 a2 b

得 a=11 2 ,b=

9 2 . 2
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此时 l=2a=22 2 ≈31 1,h=b≈6.4.
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故当拱高约为 6.4 m、拱宽约为 31.1 m 时,土方工程量最小. 解法二:由椭圆方程

x2 y2 112 4.5 2 + 2 =1,得 2 + 2 =1. a2 b a b

于是 b2=

a2 1212 81 81 81 ? 2 .a2b2= (a2-121+ 2 +242)≥ (2 1212 +242)=81?121, 4 4 4 a ? 121 a ? 121
9 2 1212 .得 a=11 2 ,b= ,以下同解法一. 2 2 a ? 121

即 ab≥99,当 S 取最小值时,有 a2-121=

例 4. A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 km,C 在 B 正北偏西 30°,相距 4 km,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由 于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s,A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. 解:如下图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则 B(-3,0) 、A(3,0) 、C(-5,2 3 ) .

因为|PB|=|PC|, 所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 因为 kBC=- 3 ,BC 中点 D(-4, 3 ) , 所以直线 PD 的方程为 y- 3 =

1 3

(x+4) .



又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上.

y2 x2 - =1(x≥0) . 4 5 5 3 所以 P(8,5 3 ) 因此 kPA= = 3. 8?3 故炮击的方位角为北偏东 30°.
设 P(x,y) ,则双曲线方程为
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② 联立①②,得 x=8,y=5 3 ,

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【模拟试题】 (满分 100 分,时间 60 分钟)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 一抛物线型拱桥,当水面离桥顶 2 m 时,水面宽 4 m,若水面下降 1 m 时,则水面宽为??(
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A.

6m

B. 2 6 m

C. 4.5 m

D. 9 m

2. 某抛物线形拱桥的跨度是 20 m,拱高是 4 m,在建桥时每隔 4 m 需用一柱支撑,其中最长的支柱是???( ) A. 4 m B. 3.84 m C. 1.48 m D. 2.92 m 3. 天安门广场,旗杆比华表高,在地面上,观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是???( ) A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 4. 1998 年 12 月 19 日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信卫星 卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆, 近地点为 m km,远地点为 n km,地球的半径为 R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于???( )
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A. 2 (m ? R)(n ? R)

B.

(m ? R)(n ? R)


C. 2mn D. mn 5. 如图,花坛水池中央有一喷泉,水管 OP=1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水 m,P 距抛物线对称轴 1 m,则在水池直径的下列可选值中,最合算的是???( ) A. 2.5 m B. 4 m C. 5 m D. 6 m

2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 6. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是____ cm 7. 在相距 1400 m 的 A、B 两哨所,听到炮弹爆炸声音的时间相差 3 s,已知声速 340 m/s 炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________. 8. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 x2=2y(0≤y≤20) .在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围为 ________.
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9. 河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一小船宽 4 m,高 2 m,载货后船露出水面上的部分高 线拱顶相距____________m 时,小船不能通航.

3 m,问水面上涨到与抛物 4

三、解答题 10. (本题满分 10 分) 如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处, 容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑 已知镜口圆的直径为 12 m,镜深 2 m, (1)建立适当的坐标系,求抛物线的方程和焦点的位置; (2)若把盛水和食物的容器近似地看作点,试求每根铁筋的长度.
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11. (本题满分 10 分) 有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明窗用作通光孔,它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分,灯丝定在某个地方 发出光线反射到卡门上,并且这两物体间距离为 4 5 cm,灯丝距顶面距离为 2 8 cm,为使卡门处获得最强烈的光线,在加工这种灯泡时,应使用何种曲 线可使效果最佳?试求这个曲线方程.
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12. (本题满分 10 分) 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示,已知上部呈抛物线形,跨度为 20 m,拱顶距水面 6 m,桥墩高出水面 4 m,现有一货船欲过此孔, 该货船水下宽度不超过 18 m,目前吃水线上部分中央船体高 5 m,宽 16 m,且该货船在现在状况下还可多装 1000 t 货物,但每多装 150 t 货物,船体吃 水线就要上升 0 04 m,若不考虑水下深度,该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?
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13. (本题满分 10 分) 2003 年 10 月 15 日 9 时, “神舟”五号载人飞船发射升空,于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行 该轨道是以地球的中心 F2 为一个焦 点的椭圆 选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点 近地点 A 距地面 200 km,远地点 B 距地面 350 km 已知地球半径 R=6371 km (如图)
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(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程; (2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约 6? km,问飞船巡天飞行的平均速度是多少?(结果精确到 1 km/s) (注:km/s 即千米/秒)
用心 爱心 专心

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14. (本题满分 15 分) 中国跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据 为已知条件)
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在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 10

2 m,入水处距池边的距离为 4 m,同时,运动员在距水面高度为 5 m 或 5 m 3

以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式. (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3

3 m,问此次 5

跳水会不会失误?并通过计算说明理由. (3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按(1)中抛物线运行,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少?

【试题答案】
1. 解析:建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2Py(P>0) , 由题意知,抛物线过点(2,-2) ,∴4=2p?2 ∴p=1 ∴x2=-2y.当 y0=-3 时,得 x02=6.∴水面宽为 2|x0|=2 6 .答
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案:

B 2. 解析:建立适当坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0) , 由题意知其过定点(10,-4) ,代入 x2=-2py,得 p= ∴x2=-25y.当 x0=2 时,y0=

25 . 2

?4 4 ,∴最长支柱长为 4-|y0|=4- =3.84(m) .答案:B 25 25
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3. 解析:设旗杆高为 m,华表高为 n,m>n 旗杆与华表的距离为 2a,以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为 x 轴、垂直平分线为 y
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轴建立直角坐标系 设曲线上任一点 M(x,y) ,由题意
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( x ? a) 2 ? y 2 ( x ? a) ? y
2 2

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=

m ,即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0. n

答案:B 4. 解析:由题意

m ? n ? 2R -c=m+R, ① 2

m ? n ? 2R +c=n+R, ② 2

∴c=

m ? n ? 2R 2 n?m 2 n?m ) ?( ) =2 (m ? R)(n ? R) . ,2b=2 ( 2 2 2

答案:A 5. 解析:以 O 为原点,OP 所在直线为 y 轴建立直角坐标系(如下图) , 则抛物线方程可设为 y=a(x-1)2+2,P 点坐标为(0,1) , 2 ∴1=a+2 ∴a=-1.∴y=-(x-1) +2.
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令 y=0,得(x-1)2=2,∴x=1± 2 .∴水池半径 OM= 2 +1≈2 414(m) .
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因此水池直径约为 2?|OM|=4 828(m) .答案:C 2 6. 解析:设抛物线方程为 y =2px(p>0) ,点(40,30)在抛物线 y2=2px 上,
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p 45 45 ∴ = . 4 2 8 45 45 因此,光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案: 8 8
∴900=2p?40 ∴p=
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7. 解析:设 M(x,y)为曲线上任一点, 则|MA|-|MB|=340?3=1020<1400 ∴M 点轨迹为双曲线,且 a=

1020 1400 =510,c= =700∴b2=c2-a2=(c+a) (c-a)=1210?190 2 2

∴M 点轨迹方程为

y2 y2 x2 x2 - =1 答案: - =1 1210 ? 190 1210 ? 190 510 2 510 2

8. 解析:玻璃球的轴截面的方程为 x2+(y-r)2=r2 由 x2=2y,x2+(y-r)2=r2,得 y2+2(1-r)y=0,由Δ =4(1-r)2=0,得 r=1 答案:0<r≤1 9. 解析:建立直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0)

8 16 ∴x2=- y 5 5 5 3 3 5 将点(2,y1)代入方程求得 y1=- ∴ +|y1|= + =2(m)答案:2 4 4 4 4
将点(4,-5)代入求得 p= 10. 解: (1)如图,在反光镜的轴截面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于镜口直径.?????2′ 由已知,得 A 点坐标是(2,6) ,?????3′
用心 爱心 专心

刘可可 17

设抛物线方程为 y =2px(p>0) ,?????4′ 则 36=2p?2,p=9 ?????6′ 所以所求抛物线的标准方程是 y2=18x,?????7′
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2
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焦点坐标是 F(

9 ,0)?????8′ 2

(2)∵盛水的容器在焦点处,∴A、F 两点间的距离即为每根铁筋长.

9 13 9 13 |AF|= (2 ? ) 2 ? 6 2 = (或|AF|= +2= )?????9′ 2 2 2 2
故每根铁筋的长度是 6 5 m ?????10′ 11. 分析:由于光线从灯丝发出,反射到卡门上光线应交于一点,这就是光线聚焦,只要把灯丝、卡门安在椭圆的 2 个焦点上,反射面采用旋转椭球 面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处,因而可获得强光. 解:采用椭圆旋转而成的曲面,如图建立直角坐标系,中心截口 BAC 是椭圆的一部分,
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设其方程为

x2 y2 + =1,?????2′ a2 b2

灯丝距顶面距离为 p,由于△BF1F2 为直角三角形, 因而,|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2,?????4′ 由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a,所以 a= a=
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1 (p+ p 2 ? 4c 2 ) ,?????6′ 2
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1 (2 8+ 2.8 2 ? 4.5 2 )≈4 05 cm,b= a 2 ? c 2 ≈3 37 m?????9′ 2
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∴所求方程为

y2 x2 + =1?????10′ 4.05 2 3.37 2

12. 解:如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2,?????1′

则 A(10,-2)在抛物线上, ∴-2=ax2,a=- 方程即为 y=-

1 ,?????2′ 50

1 2 x ?????3′ 50 1 ?82=1.28 m,?????4′ 50

让货船沿正中央航行 ∵船宽 16 m,而当 x=8 时,y=-

∴船体在 x=±8 之间通过 由 B(8,-1.28) ,?????5′ ∴B 点离水面高度为 6+(-1.28)=4.72(m) ,而船体水面高度为 5m,????6′ ∴无法直接通过 又 5-4.72=0.28(m) ,0.28÷0.04=7,而 150?7=1050(t) ,??8′ ∴用多装货物的方法也无法通过,只好等待水位下降?????10′ 13. 解: (1)设椭圆的方程为

x2 y2 + =1 ?????1′ a2 b2
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由题设条件得 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+200=6571, a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721?????3′ 解得 a=6646,c=75,所以 a2=44169316,?????4′ b2=a2-c2=(a+c) (a-c)=6721?6571=44163691?????5′ ∴所求椭圆的方程为

y2 x2 + =1?????6′ 44169316 44163691
用心 爱心 专心

刘可可 17

(注:由 44163691≈6645 5768 得椭圆的方程为
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y2 x2 + =1,也是正确的) 6646 2 6645.6 2

(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时,即 21?3600 s 减去开始的 9 分 50 s,即 9?60+50=590(s) ,再减去最后多计的 1 分钟,共减去 590+60= 650(s) ,得飞船巡天飞行的时间是 21?3600-650=74950 (s) ,?????8′ 平均速度是

600000 ≈8(km/s)?????9′ 74950

所以飞船巡天飞行的平均速度是 8 km/s?????10′ 14. 解: (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c?????1′ 由题意知,O、B 两点的坐标依次为(0,0)(2,-10) 、 ,且顶点 A 的纵坐标为

2 , 3

4ac ? b 2 2 = ,4a+2b+c=-10?????2′ 4a 3 10 3 25 解之得 a=- , b= ,c=0 或 a=- ,b=-2,c=0?????3′ 2 3 6 b ∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴- >0 又∵抛物线开口向下, 2a ∴a<0 ∴b>0,后一组解舍去 10 25 ∴a=- ,b= ,c=0 3 6 25 2 10 ∴抛物线的解析式为 y=- x+ x?????6′ 3 6
所以有 c=0,
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(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 y=(-

3 3 8 m 时,即 x=3 -2= 时,???7′ 5 5 5

8 10 8 16 25 )?( )2+ ? =- ,?????8′ 5 5 3 3 6

∴此时运动员距水面的高为 10-

16 14 = <5?????9′ 3 3
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因此,此次跳水会出现失误 ?????10′ (3)当运动员在 x 轴上方,即 y>0 的区域内完成动作并做好入水姿势时,当然不会失误,但很难做到?????11′ ∴当 y<0 时,要使跳水不出现失误, 则应有|y|≤10-5,即-y≤5?????12′
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∴有

25 2 10 x- x≤5,?????13′ 3 6

解得 2- 34 ≤x≤2+ 34 ?????14′ ∴运动员此时距池边的距离至多为 2+2+ 34 =4+ 34 m?????15′

用心

爱心

专心


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