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16.2012年全国高中数学联赛模拟卷(八)(一试+二试,附详细解答)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷 八)第一试 年全国高中数学联赛模拟卷(八 第一试
(考试时间:80 分钟 考试时间: 满分: 考试时间 满分:120 分) 姓名: 考试号: 得分: 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 考试号 得分
一、填空题(共 8 题,每题 8 分,64 分) 填空题(

2 x 2 + bx + c (b < 0) 的值域为 [1,3] ,则 b + c = 。 x2 +1 ? 2 2 x 2 + bx + c ? x + bx + c ? 1 ≥ 0 解:0, 将 y = (b < 0) 代入 1 ≤ y ≤ 3 得不等式 ? 2 x2 +1 ? x ? bx + 3 ? c ≥ 0 ?
1、已知函数 y =
2 ? ?? 1 = b ? 4(c ? 1) ≤ 0 ∴? 又函数的值域为 [1,3] ,函数值能取到 1 和 3,即 ?? 1 = b 2 ? 4(3 ? c) ≤ 0 ? 2 ? 2 x 2 + bx + c 2 x 2 + bx + c ?? 1 = b ? 4(c ? 1) ≥ 0 = 3, = 1 有解,故 ? 得 c=2,b=2。 x2 +1 x2 +1 ?? 1 = b 2 ? 4(3 ? c) ≥ 0 ?

2、已知 a ∈ R, 并且 a ? 2 x > x + a (a > 0) ,则 a 的取值范围是
2 2



?a 2 ? 2 x 2 ≥ 0 解: (1) ? ?x + a < 0

?a 2 ? 2 x 2 ≥ 0 ? ( 2) ? x + a ≥ 0 ? 2 2 2 ?a ? 2 x > ( x + a )

2 2 2 a > 0, 解集为(? a,0), a = 0, 解集为Φ,a < 0, 解集为[ a ,? a] 。 3 2 2 1 3、设在 xOy 平面上, 0 < y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 所围成图形的面积为 ,则集合 3 2 M = {( x, y ) y ? x ≤ 1}, N = {( x, y ) y ≥ x + 1} 的交集 M I N 所表示的图形面积
为 。 解: M I N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M I N 的图形面积只要算出在第 一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得,

M I N 的图形在第一象限的面积为 A=
4、 f ( x ) =

1 1 1 2 ? = 。因此 M I N 的图形面积为 。 2 3 6 3


x 2 ? 2 x + 2 x 2 ? 3 x + 3 的最小值为

解:定义域为 ( ?∞,0] U [ 2,+∞) ,

x 2 ? 2 x , 2 x 2 ? 3 x + 3 在 (?∞,0] 上是减函数,在 , [2,+∞) 上

是增函数,故 f nin ( x) = min{ f (0), f ( 2)} =

3。
4 3 + i .则 tan(α + β ) 5 5

5、已知复数 z = cos α + i sin α , u = cos β + i sin β ,且 z + u = = 。 解: (1)依题设,有

z + u = (cos α + i sin α ) + (cos β + i sin β ) = (cos α + cos β ) + i (sin α + sin β ) =

4 3 + i. 5 5

第1页

4 ? ?cos α + cos β = 5 , ① 根据复数相等的充要条件,知 ? 3 ? sin α + sin β = .② 5 ? α +β α ?β 4 α +β α ?β 3 由 ① 得 2 cos cos = .③ 由 ② 得 2 sin sin = .④ 2 2 5 2 2 5 α +β 2 tan α +β 3 24 2 ④ ÷ ③ 得 tan = . 所以 tan (α + β ) = = 。 2 4 7 2α +β 1 ? tan 2 2 2 x y 6、过椭圆 C: + = 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 PH 到点 Q, 3 2
使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围 。 为 解: [

3 ,1) ,设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。 3 3(1 + λ ) ? x ? ?1 HP ? x1 = = ,所以由定比分点公式,可得: ? , 又∵HQ=λPH,所以 λ PQ 1 + λ ? y1 = y ?

[ x ? 3(1 + λ )]2 y 2 代入椭圆方程,得 Q 点轨迹为 + = 1, 2 3λ2 3λ2 ? 2 2 3 = 1 ? 2 ∈ [ ,1) 。 所以离心率 e= 3 3λ 2 3λ 7、设 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 [log 3 1] + [log 3 2] + [log 3 3] + L + [log 3 500] =
解:设 [log 3 x ] = n ,则 n ≤ log 3 x < n + 1 , 3 ≤ x < 3
n n +1



n = 0时,0 ≤ x < 31 ,符合条件的整数 x 有 2 个 3 n = 1时, ≤ x < 3 2 ,符合条件的整数 x 有 6 个 31 n = 2时,2 ≤ x < 33 ,符合条件的整数 x 有 18 个 3 n = 3时,3 ≤ x < 3 4 ,符合条件的整数 x 有 54 个 3 n = 4时,4 ≤ x < 35 ,符合条件的整数 x 有 162 个 3 n = 5时,5 ≤ x < 36 ,结合 x ≤ 500 ,符合条件的整数 x 有 258 个 3 共 0 × 2 + 1 × 6 + 2 × 18 + 3 × 54 + 4 × 162 + 5 × 258 =2142.
8、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。
2

p ± p 2 + 4n 2 2 2 解:设 k ? pk = n, n ∈ N , 则 k ? pk ? n = 0, k = ,从而 p + 4n 是平方数, 2 2 * 2 设为 m , m ∈ N , 则 ( m ? 2n)( m + 2n) = p
2 * 2 2

第2页

? p2 + 1 m= ? ? m ? 2n = 1 ? 2 Q p是质数,且p ≥ 3, ∴ ? , 解得 ? 2 2 ?m + 2n = p ?n = p ? 1 ? ? 4 2 2 p ± m 2 p ± ( p + 1) ( p + 1) ∴k = = ,故k = 。 (负值舍去). 2 4 4
二、解答题(共 3 题,共 56 分) 解答题( 9、 (本题 16 分) 在△ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a, b, c ,且 c = 10,

cos A b 4 = = ,P 为△ cos B a 3

ABC 的内切圆上的动点,求点 P 到 A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值. ° 解:易证 A+B=90 , a = 6, b = 8 ,内切圆半径为 2,用解析法建系,写出园方程, 设 P(x,y)则点 P 到 A,B,C 的距离的平方和 S=88-4y, 0 ≤ y ≤ 4 ,最大值为 88, 最小值为 72。 10、 (本题 20 分) 数列 {a n } 中,a1 = 8, a 4 = 2 且满足 a n + 2 = 2a n +1 ? a n ( n ∈ N )(1) 求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn =
+

1 , Tn = b1 + b2 + L bn (n ∈ N + ) ,是否存在最大的正整数 n(12 ? a n ) m m ,使得对于任意的 n ∈ N + ,均有 Tn > 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明 32

理由。 解:数列 {a n } 为等差数列, a n = ?2n + 10 ,

bn =

1 1 (1 ? ) ,存在最大正整数 m =7。 2 n +1

11、 (本题 20 分)给定圆 P: x 2 + y 2 = 2 x 及抛物线 S: y 2 = 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述 两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线 l 的方程. 解:圆 P 的方程为 ( x ? 1) + y = 1 ,则其直径长 B C = 2 ,圆心为 P (1, 0 ) ,设 l 的方程为
2 2

第3页

ky = x ? 1 ,即 x = ky + 1 ,代入抛物线方程得: y 2 = 4ky + 4 ,设 A ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 )
有?

? y1 + y 2 = 4k ,则 ( y1 ? y 2 ) 2 = ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 y1 y 2 = ?4 ?
2 2 2 2 2 y12 ? y 2 ) 4

y
A

故 | AD | = ( y1 ? y 2 ) + ( x1 ? x 2 ) = ( y1 ? y 2 ) + (

B P o D
C

y1 + y 2 2 ) ] = 16(k 2 + 1) 2 , 4 2 因此 | AD |= 4( k + 1) 据等差, 2 BC = AB + CD = AD ? BC = ( y1 ? y 2 ) 2 [1 + (
, 所以 AD = 3 BC = 6 即 4( k + 1) = 6 , k = ±
2

x

2 2 ,

则 l 方程为 x =

2 2 y + 1或 x = ? y +1. 2 2

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(八)加试 年全国高中数学联赛模拟 八 加 模拟卷
(考试时间:150 分钟 考试时间: 考试时间 满分: 满分:180 分)
1、 (本题 40 分)联结圆内接等腰梯形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于 E ,已知图中各条线段均 为正整数,且 ∠AED = 2∠ABD = 2∠ACD = 120o , AD = 7 . (1)求证图中存在一个三角形,其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点 A, E , D 染上红色,圆面上的其它点任意染上红蓝色之一,求证圆面上存在一个同色 等边三角形,其边长为素数.
o 证明: 证明:(1)在 AED 中,由 ∠AED = 120 , AD = 7 知, AD 为最长边,

把 AE , DE 取 {1, 2,3, 4,5, 6} 中的值验证,得 AE , DE 只能取 3,5. 故存在 AED ,其三边长 3,5,7 均为素数且组成一个等差数列. (2) 不妨设 AE = 5, DE = 3 , 由 ∠AED = 2∠ABD = 2∠ACD = 120 知, ABE 是边长为 5 的等边三角形, CDE 是边长为 3 的等边三角形.作边长为 7 的等边 ADF , 等边 BCG ,联结 FG 交 BD 于 H .再联结 BF , FC , DG ,
o

且由余弦定理得 72 = AE2 + DE2 + AE ? DE = ( AE + DE) ? AE ? DE .
2

由 ∠DEC = ∠DBF = ∠ACF = ∠60 得 EC // BF , EB // CF , 四边形 EBFC 为平行四边形, BF = CE = 3 ,
o

又 ∠DBF = ∠GFB = ∠60 ,得 BFH 是边长为 3 的等边三角形. 同理, GHD 是边长为 5 的等边三角形. 当 B, F , C 中有红点时,命题已成立. 当 B, F , C 中无一为红点时,
o

考虑 H ,若 H 为蓝点,则 BFH 是同蓝色的等边三角形,其边长为素数 3;若 H 为红点, 考虑点 G ,若 G 为红点,则 GED 是同红色的等边三角形,其边长为素数 5;若 G 为蓝点,则 GBC 是同蓝色的等边三角形,其边长为素数 7.综上得,圆面上存在一个同色等边三角形,其边 长为素数.

第4页

2、 (本题 40 分)已知实函数 f ( x, y ) 满足① f ( x, 0) = 1,

② f ( f ( x, y ), z ) = f ( z , xy ) + z. 求 ③

解:把①代入②,有 f (1, y ) = f

( f ( x, 0 ) , y ) = f ( y , 0 ) + y = 1 + y , (由③) 进而 f ( x,1) = f (1 + ( x ? 1) ,1) = f ( f (1, ( x ? 1) ) ,1) = f (1,1? ( x ? 1) ) + 1 = ?1 + ( x ? 1) ? + 1 = x + 1 ④ ? ? ⑤ 一方面由④有 f ( f ( x, y ) ,1) = f ( x, y ) + 1, 另一方面由②、③有 f ( f ( x, y ) ,1) = f (1, xy ) + 1 = 1 + xy + 1.
由⑤⑥得 f ( x, y ) + 1 = 1 + xy + 1 ,即 f ( x, y ) = xy + 1 . 检验知 f ( x, y ) = xy + 1 为所求.

f ( x, y ) 的表达式.



3、 (本题 50 分)求不定方程 x1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 + 3 x5 + 5 x 6 = 21 的正整数解的组数. 解:令 x1 + x 2 + x 3 = x , x 4 + x 5 = y , x 6 = z ,则 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 . 先考虑不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解.

Q x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 ,∴ 5 z = 21 ? x ? 3 y ≤ 12 ,∴1 ≤ z ≤ 2 . 当 z = 1 时,有 x + 3 y = 16 , 此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (10, 2), (7, 3), ( 4, 4) . 当 z = 2 时,有 x + 3 y = 11 ,此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (5, 2) . 所以不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解为 ( x, y, z ) = (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .
又方程 x1 + x 2 + x 3 = x ( x ∈ N , x ≥ 3) 的正整数解的组数为 C 2 ?1 , x 方程 x 4 + x 5 = y ( y ∈ N , x ≥ 2) 的正整数解的组数为 C y ?1 ,故由分步计数原理知,原不定方
1

程的正整数解的组数为 C 9 C1 + C 6 C 2 + C 3 C 3 + C 4 C1 = 36 + 30 + 9 + 6 = 81 .
2 1 2 1 2 1 2 1

4、 (本题 50 分)正五边形的每个顶点对应一个整数,使得这 5 个整数和为正。若其中三个相连顶 点相应的整数依次为 x, y , z ,而中间的 y < 0 ,则要进行如下操作:整数 x, y , z 分别换为 x + y, ? y, z + y ,只要所得的 5 个整数中至少有一个负时,这种操作就继续进行,问:是否这 样的操作进行有限次后必定终止。 解:必定终止。变换前后三个数和虽然不变,但是平方和变小,若不终止,整数的平方和为 0,即 各整数均为零,还得终止。

第5页


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