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2016-2017学年高中数学选修4-1(人教版)练习:第二讲2.4弦切角的性质 Word版含解析

第二讲 2.4 直线与圆的位置关系 弦切角的性质 A级 基础巩固 一、选择题 1.如图所示,MN 与⊙O 相切于点 M,Q 和 P 是⊙O 上两点, ∠PQM=70°,则∠NMP 等于( ) A.20° B.70° C.110° D.160° 解析:根据弦切角定理: ∠NMP=∠PQM=70°. 答案:B 2.如图所示, 过圆内接△ABC 的顶点 A 引切线交 BC 的延长线于 点 D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D 等于( ) A.45° C.55° B. 50° D.60° 解析:因为 AD 是圆的切线, 所以∠DAC=∠B=35°. 又因为∠D+∠DAC=∠ACB, 1 所以∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°. 答案:A 3.如图所示,AB 为圆的直径,弦 AC 与 AB 成 30°角,DC 切圆 于点 C,AB=5 cm,则 BD 等于( ) A.10 cm 5 C. cm 2 B.5 cm D.1 cm 解析:连接 BC(如图),则∠ACB=90°, 5 ∠BCD=30°=∠D,故 BD=BC= cm. 2 答案:C 4.如图所示,△ABC 内接于⊙O,EC 切⊙O 于点 C.若∠BOC =76°,则∠BCE 等于( ) A.14° B.38° C.52° D.76° 解析:因为 EC 为⊙O 的切线, 1 所以∠BCE=∠BAC= ∠BOC=38°. 2 答案:B 2 5.如图所示,CA 为⊙O 的切线,切点为 A,点 B 在⊙O 上,如 图所示∠CAB=55°,那么∠AOB 等于( ) A.55° C.110° B.90° D.120° 解析:延长 AO 交⊙O 于 D, 连接 BD(如图), 因为 AC 切⊙O 于 A, AB 是弦,所以∠D=∠CAB. 1 又∠D= ∠AOB, 2 所以∠AOB=2∠CAB=110°. 答案:C 二、填空题 6.如图所示,EB,EC 是圆 O 的两条切线,B,C 是切点,A, D 是圆 O 上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A=____. 3 解析:连接 OB,OC,AC(如图),根据弦切角定理, 1 ∠A=∠BAC+∠CAD= (180°-∠E)+∠DCF=67°+32°= 2 99°. 答案:99° 7.如图所示,已知圆 O 的直径 AB=5,C 为圆周上一点,BC =4,过点 C 作圆 O 的切线 l,过点 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则 CD=________. 解析:由弦切角定理,有∠ACD=∠B, CD BC 所以 =cos∠ACD=cos B= . AC AB 所以 4 12 = .故 CD= . 5 52-42 5 CD 12 5 答案: 8.如图所示,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点 C, AD⊥CE 于 D, 若 AD=1, ∠ABC=30°, 则圆 O 的面积是________. 4 解析:由弦切角定理, 有∠ACD=∠ABC=30°, 所以 AC=2AD,AB=2AC, 即 AB=4,圆 O 的面积 4 S=π·( )2=4π. 2 答案:4π 三、解答题 9.如图所示,PA 切⊙O 于点 A,PBC 是⊙O 的割线,在 PC 上 截取 PD=PA,求证:∠1=∠2. 证明:因为 PA=PD, 所以∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠C+∠1, ∠PAD=∠PAB+∠2, 所以∠C+∠1=∠PAB+∠2. 又 PA 切⊙O 于点 A,AB 为弦, 所以∠PAB=∠C.所以∠1=∠2. 5 10.如图所示,已知 AB 切⊙O 于 B,BC 是⊙O 的直径,AC 交 ⊙O 于 D,DE 是⊙O 的切线,CE⊥DE 于 E,DE=3,CE=4,求 AB 的长. 解:因为 CE⊥DE 于 E, DE=3,CE=4, 所以 CD=5. 连接 BD(如图). 因为 DE 切⊙O 于点 D, 所以∠EDC=∠DBC. 又因为 BC 为⊙O 的直径, 所以∠BDC=90°. 所以 Rt△BDC∽Rt△DEC. 5 4 3 CD CE DE 所以 = = ,即 = = . BC CD BD BC 5 BD 所以 BC= 25 15 ,BD= . 4 4 又因为 AB 与⊙O 相切于点 B, 6 所以 AB⊥BC. 所以 AC= 125 75 .所以 AB= . 16 16 B级 能力提升 1.如图所示,已知 AB,AC 与⊙O 相切于点 B,C,∠A=50°, 点 P 是⊙O 上异于点 B,C 的一个动点,则∠BPC 的度数是( ) A.65° B.115° C.65°或 115° D.130°或 50° ︵ 解析:当点 P 在优弧BC上时,由∠A=50°,得∠ABC=∠ACB =65°. 因为 AB 是⊙O 的切线, 所以∠ABC=∠BPC=65°. ︵ 当 P 点在劣弧BC上时,∠BPC=115°. 答案:C 2.如图所示,已知 AB 和 AC 分别是⊙O 的弦和切线,点 A 为切 点,AD 为∠BAC 的平分线,且交⊙O 于点 D,BD 的延长线与 AC 交于点 C,AC=6,AD=5,则 CD=________. 7 解析:由弦切角定理,有∠CAD=∠B. 又∠C=∠C,则△ACD∽△BCA, CD AC 所以 = , AC BC 又∠BAD=∠CAD=∠B, 则 BC=CD+BD=CD+AD. 6 x 设 CD=x,则 = , 6 x+5 x=4 或-9(舍去), 故 CD=4. 答案:4 3.如图所示,BD 是⊙O 的直径,AB 与⊙O 相切于点 B,过点 D 作 OA 的平行线交⊙O 于点 C,AC 与 BD 的延长线相交于点 E. (1)试探究 AE 与⊙O 的位置关系,并说明理由. (2)已知 EC=a,ED=b,AB=c,请你思考后,选用以上适当的 数据,设计出

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