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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3课件:3.1 独立性检验_图文

阶 段 一

阶 段 三

3.1
阶 段 二

独立性检验
学 业 分 层 测 评

1.了解独立性检验的概念,会判断独立性检验事件. 2.能列出 2×2 列联表,会求 χ2(卡方统计量的值). 3.能够利用临界值,作出正确的判断.(重点) 4.应用独立性检验分析实际问题.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 2× 2 列联表的意义 阅读教材 P91~P94“例 1”以上部分,完成下列问题 一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值,即类 A 和类 B(如吸烟 与不吸烟);Ⅱ也有两类取值,即类 1 和类 2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾 病).我们得到如下表所示的抽样数据:

Ⅱ 类1 Ⅰ 类A 类B 合计 a c a+c 类2 b d b+d 合计 a+b c+d a+b+c+d

形如上表的表格称为 2×2 列联表,_____________ 2×2列联表 经常用来判断Ⅰ和Ⅱ之 间是否有关系.

下面是一个 2×2 列联表: y1 x1 x2 合计 a 8 b y2 21 25 46 合计 73 33

则表中 a,b 处的值分别为________.

【解析】 ∵a+21=73,∴a=52. 又 b=a+8=52+8=60.
【答案】 52,60

教材整理 2

独立性检验

阅读教材 P93~P94“例 1”以上部分完成下列各题. 1.独立性检验 2×2 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,结果 并不唯一.因此,由某个样本得到的推断有可能正确,也有可能错误.为了使 不同样本量的数据有统一的评判标准,统计学中引入下面的量(称为卡方统计 量):

n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? (*), χ2=________________________
a+b+c+d 其中 n=_______________ 为样本容量. χ2 用___统计量研究这类问题的方法称为独立性检验(test of independence).

2.独立性检验的基本步骤 要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行: (1)提出假设 H0:Ⅰ与Ⅱ没有关系; (2)根据 2×2 列联表与公式(*)计算 χ2 的值; (3)查对临界值(如下表),作出判断. P(χ2≥x0) x0 P(χ2≥x0) x0 0.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828

1.关于分类变量 x 与 y 的随机变量 χ2 的观测值 k,下列说法正确的是 ________.(填序号) (1)k 的值越大,“X 和 Y 有关系”可信程度越小; (2)k 的值越小,“X 和 Y 有关系”可信程度越小; (3)k 的值越接近于 0,“X 和 Y 无关”程度越小; (4)k 的值越大,“X 和 Y 无关”程度越大.

【解析】 k 的值越大,X 和 Y 有关系的可能性就越大,也就意味着 X 和 Y 无关系的可能性就越小. 【答案】 (2)

2.式子|ad-bc|越大,χ2 的值就越________.(填“大”或“小”) 【解析】 由 χ2 的表达式知|ad-bc|越大,(ad-bc)2 就越大,χ2 就越大. 【答案】 大

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
绘制 2×2 列联表

在一项有关医疗保健的社会调查中,调查的男性为 530 人,女性为 670 人, 发现其中男性中喜欢吃甜食的为 117 人, 女性中喜欢吃甜食的为 492 人, 请作出性别与喜欢吃甜食的列联表. 【精彩点拨】 分成两类,找出不同类情况下的两个数据再列表.

【自主解答】

作 2×2 列联表如下: 喜欢甜食 不喜欢甜食 413 178 591 合计 530 670 1 200

男 女 合计

117 492 609

1.分清类别是作列联表的关键. 2.表中排成两行两列的数据是调查得来的结果. 3.选取数据时,要求表中的四个数据 a,b,c,d 都要不小 于 5,以保证检验结果的可信度.

[ 再练一题] 1.某电视公司为了研究体育迷是否与性别有关,在调查的 100 人中,体育 迷 75 人,其中女生 30 人,非体育迷 25 人,其中男生 15 人,请作出性别与体 育迷的列联表. 【解】
体育迷 男 女 合计 45 30 75 非体育迷 15 10 25 合计 60 40 100

利用 χ2 值进行独立性检验

某矿石粉厂当生产一种矿石粉时,在数天内即有部分工人患职业性 皮肤炎,在生产季节开始,随机抽取 75 名车间工人穿上新防护服,其余仍穿原 用的防护服,生产进行一个月后,检查两组工人的皮肤炎患病人数如下: 阳性例数 新防护服 旧防护服 合计 5 10 15 阴性例数 70 18 88 合计 75 28 103

问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效?并说明你的理由.

【精彩点拨】 通过有关数据的计算,作出相应的判断.

【自主解答】

提出假设 H0:新防护服对预防皮肤炎没有明显效果.

根据列联表中的数据可求得
2 103 × ? 5 × 18 - 70 × 10 ? χ2= ≈13.826. 75×28×15×88

因为 H0 成立时,χ2≥10.828 的概率约为 0.001,而这里 χ2≈13.826>10.828, 所以我们有 99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有 效.

n?ad-bc?2 根据 2×2 列联表, 利用公式 计算 χ2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 的值,再与临界值比较,作出判断.

[ 再练一题] 2.在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶; 而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中,有 175 人秃顶.根据以 上数据判断男性病人的秃顶与患心脏病是否有关系? 【解】 提出假设 H0:男性病人的秃顶与患心脏病没有关系.
根据题中所给数据得到如下 2×2 列联表: 患心脏病 未患心脏病 合计 秃顶 不秃顶 合计 214 451 665 175 597 772 389 1 048 1 437

根据列联表中的数据可以求得
2 1 437 × ? 214 × 597 - 175 × 451 ? χ2= ≈16.373. 389×1 048×665×772

因为当 H0 成立时, χ2≥10.828 的概率约为 0.001, 而这里 χ2≈16.373>10.828, 所以有 99.9%的把握认为,男性病人的秃顶与患心脏病有关系.

[ 探究共研型]
独立性检验的综合应用

探究 1 利用 χ2 进行独立性检验,估计值的准确度与样本容量有关吗? 【提示】 利用 χ2 进行独立性检验,可以对推断的正确性的概率作出估计,
样本容量 n 越大,这个估计值越准确,如果抽取的样本容量很小,那么利用 χ2 进行独立性检验的结果就不具有可靠性. 探究 2 在 χ2 运算后,得到 χ2 的值为 29.78 ,在判断变量相关时,

P(χ2≥6.635)≈0.01 和 P(χ2≥7.879)≈0.005,哪种说法是正确的? 【提示】 两种说法均正确.P(χ2≥6.635)≈0.01 的含义是在犯错误的概率
不超过 0.01 的前提下认为两个变量相关;而 P(χ2≥7.879)≈0.005 的含义是在犯 错误的概率不超过 0.005 的前提下认为两个变量相关.

为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响,现统 计数据如下:甲在生产现场时,990 件产品中有合格品 982 件,次品 8 件;甲不 在生产现场时,510 件产品中有合格品 493 件,次品 17 件.试分别用列联表、 独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响.能否在犯错误的概 率不超过 0.001 的前提下, 认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关? 【精彩点拨】 解答本题可先列出 2×2 列联表,然后具体分析. 【自主解答】 (1)2×2 列联表如下:

合格品数 次品数 合计 甲在生产现场 甲不在生产现场 合计 982 493 1 475 8 17 25 990 510 1 500

由列联表可得|ad-bc|=|982×17-493×8|=12 750,相差较大,可在某种 程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”. (2)由 2×2 列联表中数据,计算得到 χ2 的观测值为
2 1 500 × ? 982 × 17 - 493 × 8 ? χ2= ≈13.097>10.828, 990×510×1 475×25

因此在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下, 认为质量监督员甲是否在生产 现场与产品质量有关.

判断两个变量是否有关的三种方法

[ 再练一题] 3. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系, 得到下面的数据: 出生时间在晚上的男婴为 24 人,女婴为 8 人;出生时间在白天的男婴为 31 人, 女婴为 26 人. (1)将下面的 2×2 列联表补充完整; 晚上 男婴 女婴 合计 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为婴儿性别与出生时间有关 系? 白天 合计

【解】

(1) 晚上 男婴 女婴 合计 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89

(2)由所给数据计算 χ2 的观测值
2 89 × ? 24 × 26 - 31 × 8 ? χ2= 55×34×32×57

≈3.689>2.706. 根据临界值表知 P(χ2≥2.706)≈0.10. 因此在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为婴儿的性别与出生时间有关 系.

[ 构建· 体系]

1.在 2×2 列联表中,若每个数据变为原来的 2 倍,则 χ2 的值变为原来的 ________倍.
【解析】
2 n ? ad - bc ? 由公式 χ2= 中所有值变为原来的 2 倍, ?a+b??c+d??a+c??b+d?

2 2 n ? 2 a · 2 d - 2 b · 2 c ? 得(χ2)′= =2χ2, ?2a+2b??2c+2d??2a+2c??2b+2d?

故 χ2 也变为原来的 2 倍.

【答案】 2

2.下列说法正确的是________.(填序号) ①对事件 A 与 B 的检验无关,即两个事件互不影响;②事件 A 与 B 关系越 密切,χ2 就越大;③χ2 的大小是判断事件 A 与 B 是否相关的唯一数据;④若判 定两事件 A 与 B 有关,则 A 发生 B 一定发生.
【解析】 对于①,事件 A 与 B 的检验无关,只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响,故①错.②是正确的.对于③,判断 A 与 B 是否相 关的方式很多,可以用列联表,也可以借助于概率运算,故③错.对于④,两 事件 A 与 B 有关,说明两者同时发生的可能性相对来说较大,但并不是 A 发生 B 一定发生,故④错. 【答案】 ②

3.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取 50 名 学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 男 女 合计 50×?13×20-10×7?2 ≈4.844. 23×27×20×30 则有__________的把握认为选修文科与性别有关. 13 7 20 文科 10 20 30 合计 23 27 50

已知 P(χ2≥3.841)≈0.05 , P(χ2≥5.024)≈0.025 ,根据表中数据得到 χ2 =

【答案】 95%

a 4.在 2×2 列联表中,两个比值 与________相差越大,两个分类变量 a+b 有关系的可能性越大. 【导学号:29440066】 【解析】 a c 根据 2×2 列联表可知,比值 与 相差越大,则|ad-bc| a+b c+d

就越大,那么两个分类变量有关系的可能性就越大. c 【答案】 c+d

5.(2014· 辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一 年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜 品的饮食习惯方面有差异”.

【解】

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

2 n ? ad - bc ? χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

100×?60×10-20×10?2 100 = = 21 ≈4.762. 80×20×70×30 因为 4.762>3.841, 所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜 品的饮食习惯方面有差异”.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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