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一个重要极限的简单推广及运用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一个重要极限的简单推广及运用 作者:郭新 来源:《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014 年第 06 期 作者简介:郭新(1977—),女,河南濮阳人,濮阳职业技术学院数学与信息工程系,讲 师,硕士。研究方向: 概率论与高等数学教学。 摘要: 第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位,它是解决未定型极限的一个重 要工具。但它形式变化多样,在学习和使用中不易把握,是学生学习中的一个重点和难点。本 文在分析了 limx→∞(1+1x)x=e 及其常用推广公式的共同特征后,对其解决 00 型未定式求极限 中作了进一步的推广,得到简易公式,并给出相应运用。 关键词: 第二个重要极限;00 型未定式;公式推广;运用 中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1671—1580(2014)06—0153—02 一、第二个重要极限 limx→∞(1+1x)x=e 的特征 在高等数学课本中,一般都有第二个重要极限 limx→∞(1+1x)x=e 的简单推广公式: limx→∞(1+1 口)口=e, limx→0(1+x)1x=e, limx→0(1+口)1 口=e,方框“□”代表任意形式下的同一变量。 如 limx→∞(1+1f(x))f(x)=e limx→0(1+f(x))1f(x)=e.它们的共同特征是: 1.都是 1∞型的未定式; 2.求极限的函数都是幂指函数(幂指函数是指数形式,但底和指数部分都是函数),其形 式皆为底函数为两项之和,且第一项必须为 1,第二项与指数函数互为倒函数; 3.底函数的第二项在趋向下极限为 0。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 但是对于形式不是幂指函数的函数,如对 1∞型的未定式取对数,1∞型就变成了 0·∞型, 0·∞型又可变化为 01∞,即 00 型。转化后的 0·∞型和 00 型表现形式都不再是幂指形式。但其 极限的求法仍需要用第二个重要极限来求。 下面我们给出几个 00 型未定式极限的推广公式。 二、第二个重要极限的推广 推广 1: limx→0loga(1+x)x=logae (00 型未定式) 证明:limx→0loga(1+x)x =limx→0loga(1+x)1x 由复合函数求极限法则 loga(limx→0(1+x)1x)=logae. 特别当 a=e 时 即得 limx→0ln(1+x)x=1 推广 2: limx→0ax-1x=lna(00 型未定式) 证明: 变量代换,令 t=ax-1, 则 x=loga(1+t),且当 x→0 时,t→0. 故 limx→0ax-1x=limt→0tloga(1+t) 由推广 1 得: limx→0ax-1x=1logae=lna 特别当 a=e 时 即得 limx→0ex-1x=1; 当 x=1n 时, 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 有 limn→∞a1n-11n=limn→∞n(na-1)=lna. 推广 3: limx→0(1+x)a-1x=a(a∈R)(00 型未定式) 证明:limx→0(1+x)a-1x =limx→0ealn(1+x)-1aln(1+x)·a·ln(1+x)x =alimx→0ealn(1+x)-1aln(1+x)·limx→0ln(1+x)x 由推广 2 的结论可得 limx→0(1+x)a-1x=a 在求函数极限时,有些时候会化成上述的几种极限形式,而上面几种极限形式的推广式使 用起来简单方便,易于理解。 三、推广公式的应用 例 1.求 limx→01-cosaxx2 解 :limx→01-cosaxx2 =limx→0(1+(cosx-1))a-1cosx-1·1-cosxx2 由推广式 3 可知 limx→0(1+(cosx-1))a-1cosx-1=a 所以 limx→01-cosaxx2=a2 例 2 求 limx→0(ax+bx+cx2)1x(a,b,c>0) 解:原式 limx→0(1+ax+bx+cx-22)2ax+bx+cx·12(ax-1x+bx-1x+cx-1x) =elna+lnb+lnc2=abc [参考文献] 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn [1]刘玉链.数学分析讲义学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2003. [2]常瑞玲.高等数学[M].北京:北京工业大学出版社,2010. [3]辛春元.浅析求极限的类型及其求解方法[J].数学爱好者(教育学术),2008 (02). [4]王绍锋.关于两个重要极限的教学[J].济宁师专学报,1999(03). [5]谈两个重要极限的应用[J].湖南民族职业学院学报,2010(03). An important limit the Simple Extension and ApplicationGUO Xin Abstract:The second important limit occupies very important position in the limit calculation, it is an important tool to solve not finalize the design limit. But its form variety, in learning and using is not easy to grasp, is an important and difficult in students' learning.Based on the analysis of the; 00indeterminate form the advantage and the limit of the promotion, get the simple formula, and gives the corresponding use. Key w

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