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统计学习题——置信区间


2003 年,在一项对高校扩招的态度调查中,10 所北京市院校对高校扩招的态度数据如下表 (分数越高态度越积极) :
院校名 北京外国语学院 中国人民公安大学 中国青年政治学院 北京农学院 北京大学 清华大学 北方交通大学 北京航空航天大学 对外经济贸易大学 北京医学院 态度平均值 3.81 4.32 4.08 3.98 3.58 3.78 4.26 4.12 3.88 4.07 标准差 0.67 0.55 0.68 0.65 0.64 0.71 0.66 0.74 0.57 0.63 人数 48 50 52 50 50 49 50 42 48 44

求:1) 中国人民公安大学、清华大学、北京大学的总体平均态度分的 95%置信区间; 2) 中国人民公安大学和北京大学的总体平均态度分之差的 95%置信区间; 3) 清华大学和北京大学的总体平均态度分之差的 95%置信区间。 (提示:要先从 S 求得

∑(X ? X )

2

)

解: (1)因为表中样本数都大于 30,所以认为样本均值的抽样分布服从正态分布。x ~N(u,

?2 ) ,用 s 近似代替σ,根据样本数据的样本均值和标准差:置信水平 1-α=95%,查标准 n
正态分布表 z a / 2 =1.96 中国人民公安大学总体态度分的 95%置信区间为(x1- z a / 2 *

s1 n1

, x1+ z a / 2 *

s1 n1

) ,将表中

数据代入(4.32-1.96*

0.55 50

,4.32+1.96*

0.55 50

)=(4.17,4.47)

清华大学总体态度分的 95%置信区间为(x2- z a / 2 * (3.58,3.98) 。 北京大学总体态度分的 95%置信区间为(x3- z a / 2 * (3.40,3.76) 。

s2 n2

, x2+ z a / 2 *

s2 n2

) ,同理计算求得

s3 n3

, x2+ z a / 2 *

s3 n3

) ,同理计算求得

(2)两个样本都为大样本,所以根据抽样分布的知识可知,两样本均值之差( x 1 - x 2 )的

抽样分布服从(u1- u2) 、方差为(

?1 ? 2 + )的正态分布。中国人民公安大学和北京大 n1 n2

2

2

学的总体平均态度分之差的 95%置信区间为{( x 1 - x 2 )- z a / 2 * (
2 2

?1 ? + 2 ) , x1 - x 2 ) ( n1 n1

2

2

?1 ? + 2 ) }。用样本方差代替总体方差。所以求得两者总体均值方差的置信区 + za/ 2 * ( n1 n1
间(0.51,0.97) 。 (3)同(2) ,可以求得清华大学和北京大学的总体平均态度分之差的 95%置信区间为 (-0.066,0.466) 。


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