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2012年 - 河北 - 衡水市 - 高三 - 省市模拟(质量检测) - 理科 - 数学


河北衡水市普通高中 2011—2012 学年度高三年级教学质量监测

数 学 试 题(理)
说明: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分。 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 3.选择答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题纸上,在试卷和草稿纸上作答无效, 做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选涂答案擦干净,再选涂其他答案。 4.考试结束后,将本试题卷、答题卡及答题纸一并交回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.复数

1? i i ? 的共轭复数是 1? i 2
( )

A. ?

1 2

B.

i 2
2

C. ?

i 2

D.

1 2

2.设全集 U 是实数集 R, M ? {x | x ? 4}, N ? {x | x ? 3或x ? 1} ,都是 U 的子集,则图 中阴影部分所表示的集合是 ( ) A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | x ? 2}

3.已知等差数列 {an } 的公差为 d (d ? 0) ,且 a2 ? a3 ? a13 ? a14 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m 为 ( ) A.12 B.8 C.6 D.4

? ? 4 . 已 知 向 量 a ? ( 3 , 4b )? ,
( A. ?

? ? ? 如 ? ( 2 ,, 1 ) 果 向 量 a ? xb与 ? b 垂 直 , 则 x 的 值 为


2 5

B.

23 3

C.

3 23

D. 2

5.如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 处的关系式可以是 ( )

1 ,则空白框 3

A . y ? x3

B. y ? 3? x

C. y ? 3x

D. y ? x 3

1

6.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如上图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.

2? 3

B.

4 ? 3

C. 2?

D.

8? 3

7 . 已 知 抛 物 线 x 2 ? ay(a ? 0) 的 焦 点 恰 好 为 双 曲 线 y 2 ? x2 ? 8 的 焦 点 , 则 a= ( ) B.4

A.1

C.8
2

D.16

8.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? ( A. )

y2 ?1的离心率是 m

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

D.

3 或 5 2

9.如图,一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内的随机爬行,则其恰在离三个顶 点距离都大于 1 的地方的概率为 ( ) A.

? 12

C. 1 ?

? 6

10.将函数 y ? sin(4 x ?

?
3

? 3 ? D. 1 ? 12
B. 1 ?

) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移

? 个单 6

位,所得函数图像的一个对称中心是 ( ) A. ?

?? ? ,0? ?6 ?

B. ?

?? ? ,0? ?3 ?

C. ?

?? ? ,0? ?2 ?

D. ?

?? ? ,0? ?4 ?

11 .设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

?

y2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 4 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? OP ? OF2 ? F2 P ? 0 ,且 | PF2 |? ? | PF1 | ,则 ? 的值为

?

( A.



1 3

B.

1 2

C.2

D.3

12.以下正确命题的个数为 (
x


x

①命题“存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是: “不存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ” ;
x ②函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内 1 3

1 4

1 1 4 3

③某班男生 20 人,女生 30 人,从中抽取 10 个人的样本,恰好抽到 4 个男生、6 个女 生,则该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率; ④ (1 ? x )8 展开式中不含 x 项的系数的和为 1。
4

A.1

B.2

C.3

D.4

第 II 卷(共 90 分,答案写在答题纸相应位置)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸中横线上) 13.若

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ,则 a 的值是 x



14 . 等 比 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, a8 ? 2, 函 数 f ( x)? x( x ? 1 a) ( ? x

2

? a)

(? x8 , a )则

f ' ( 0= )



15.当对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象至少经过区域

? ? M ? ? ( x, y ) ? ?

? ?x ? y ? 0 ? ? ? x ? y ? 8 ? 0 ( x, y ? R) ? 内的一个点时,实数 as 的取值范围为 ?y ?3 ? 0 ? ? ?



16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底 面面积是这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的 16

比值为 。 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,并且

cos 2 A ? cos 2 B ? sin( ? B) cos( ? B). 3 6
(1)求角 A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 6 3 ,求边 a 的最小值。

?

?

18. (本小题满分 12 分) 衡水某房地产公司售楼部, 对最近 100 位采用分期付款的购房者进行统计, 统计结果如 下表所示: 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

已知分 3 期付款的频率为 0.2,售楼部销售一套某户型的住房,顾客分 1 期付款,其利 润为 10 万元;分 2 期、3 期付款其利润都为 15 万元;分 4 期、5 期付款其利润都为 20 万元。用? 表示销售一套该户型住房的利润。 (1)求上表中 a,b 的值; (2)若以频率分为概率,求事件 A: “购买该户型住房的 3 位顾客中,至多有 1 位采用 分 3 期付款”的概率 P(A) ; (3)若以频率作为概率,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,侧棱 PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形, PB=PC,AB=1, BC ? 2 ,E,F 分别是 BC,PC 的中点。 (1)求证: AC ? 平面 PAB; (2)当平面 PDC 与底面 ABCD 所成二面角为

? 时,求二面角 F—AE—C 的余弦值。 3

20. (本小题满分 12 分) 请考生注意 :重点高中学生只做(1) 、 (2)两问,一般高中学生只做(1) 、 (3)两问。 .....
2 2 已知 P 是圆 F ,直线 m 分别与 1 : ( x ? 1) ? y ? 16 上任意一点,点 F2 的坐标为(1,0)

线段 F1P、F2P 交于 M、N 两点,且 MN ? (1)求点 M 的轨迹 C 的方程;

???? ?

? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 1 ???? ( MF2 ? MP),| NM ? F2 P |?| NM ? F2 P | . 2

(2)斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若 OP ? OQ ? 0 (O 为坐标原点) 。 试求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围;

??? ? ????

??? ? ???? 1 的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,使得 OP ? OQ ? 0 (O 为坐 2 标原点) ,若存在求出直线 l 的方程,否则说明理由。
(3)是否存在斜率为

21. (本小题满分 12 分) 请考生注意 :重点高中学生做(2) (3) 。一般高中学生只做(1) (2) 。 ..... 已知函数 f ( x) ? (1 ? a) x ? ln x ?

a ? 1(a ? R) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (3)当 a ?

3 2 时,设 g ( x) ? x ? bx ? 1,若对任意 x1 ? ? 0,2? ,都存在 x2 ? ? 0, 2? ,都 4

存在 x2 ?[1, 2] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?BAC ? 90? ,直线 l 与以 AB 为直径的圆相切于点 B,点 E 是圆上异于 A、B 的任意一点,直线 AE 与 l 相交于 D 点。 (1)如果 AD=10,AB=8,求 DE 的长;

(2)连接 CE,过点 E 作 CE 的垂线交线段 AB 于点 F,求证:

AC AB ? . BF BD

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。且两个坐标系取 相等的单位长度。已知直线 l 经过点 P ( 1 , 1 ) ,倾斜角 ? ?

?
6

;圆的极坐标方程

? ? 2cos ? ? 6sin ?
(1)写出直线 l 的参数方程;将圆的极坐标方程化成直角坐标方程; (2)设 l 与圆相交于 A、B 两点,求弦 AB 的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1|, g ( x) ?| x | ?a ? 1 (1)当 a=1,解不等式 f ( x) ? g ( x); (2)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围。


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