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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛ABCD4题评阅要点


2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点 [说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的 解答,自主地进行评阅。本问题的数据来源于某城市对土壤环境的实 地监测。评阅时,应着重注意数学模型的建立、计算方法(或所选软 件的程序语句)及选择该方法的理由。 (1) 可用插值拟合的方法获得各重金属污染物浓度的空间分布。 再参 考由背景值确定的阈值,定量分析城区各区域的污染程度。由于空间 数据是不规则的, 较好的方法是用散乱数据插值, 例如 Kriging 插值、 Shepard 插值等。也可以用其他方法插值拟合,但应明确所使用的方 法,并作出分析,不能只简单套用软件。各个污染元素浓度的最大值 与插值后浓度的最大值距离不会太远。 (2) 分析污染产生的原因,必须有充分的数据分析以及明确的结论。 例如,可以根据各区域的污染浓度信息进行聚类,考察污染物出现的 相关性,发现某些污染物结伴出现(如 Cr 与 Ni,Cd 与 Pb 的相关性 较高),这与污染物产生的原因是密切相关的,由此可大致确定出产 生这些污染的原因。 (3) 本小题可以在不同的假设下建立相应的模型, 但必须有合理的假 设、建立明确的数学模型,并根据模型和所给的数据进行数值计算。 例如,由于雨水的作用是重金属在土壤表层中传播的主要原因之一, 可以假设传播以对流形式为主,由此建立对流方程,并以给出的重金 属污染物浓度数据作为初始值(实际上是终值),从而得到偏微分方 程的定解问题。类似于(1),采用插值拟合的方法,可以得到地形高

度函数。 利用特征线法,可以得到各区域在各个时间点上的重金属 污染物浓度数据,从而可以得到各时间的污染范围,由此确定出污染 源的位置。 (4) 本问题只给出一个时间点上的数据,信息量明显不足,需要补充 更多的信息。如果学生考虑到多个时间点上的采样信息,给出更好的 演化模式,应予以鼓励。

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点 [说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的 解答,自主地进行评阅。针对这个题目,评阅时请注意“数学模型、 求解方法、结果与分析”这三个方面。数学模型:尽量用数学语言、 符号和公式表述,优化模型要给出明确的决策变量、目标函数和约束 条件,表述准确全面。求解方法:尽量用数学语言对算法的思路、步 骤、数据的处理过程、所使用的软件给出明确的描述。 结果与分析: 要有明确的数值结果,表达简明、清晰。 第一部分:(1)要求明确给出分配各个交巡警服务平台具体管辖范 围的数学模型和具体的管辖范围 (一般指路口, 也可考虑相关道路) 。 合理性主要体现在两个方面:所有平台最长出警时间尽可能短,且它 们的工作量(每天的出警次数)尽量均衡,优秀论文中应该给出这两 个量化指标。参考结果:最大出警时间大于 3 分钟的有 6 个路口,最 长出警时间约为 5.7 分钟;同时应有 工作量均衡性的度量指标。

(2) 要求给出决定对 13 个路口实施封锁的数学模型, 通过求解模型, 具体给出 13 个目标路口各由哪一个平台实施封锁,以及对每个路口 的封锁时间和完成封锁的最大时间。参考结果:最优方案的最大的封 锁时间约为 8 分钟。 (3)模型应该考虑增设平台后,使其减少最大出警时间与各平台间 工作量的均衡性效果, 要具体给出需增加新平台的个数和位置,且 给出其定量依据。 第二部分:(1)应该根据最大出警时间和工作量的均衡性这两个因 素建立模型,求解给出最大出警时间和工作量均衡性的具体指标,分 析现有平台设置方案的合理性。依据这些结果,对明显不合理的提出 改进方案:如增加平台或移动平台,都必须要有具体的平台数量和位 置,且阐述这样做的理由和定量依据。 (2)要求给出能封锁住嫌疑人的数学模型,并给出算法和具体结果。 能封锁住的基本约束条件是: “出事地点到将要封锁的路口所需时间 加 3 分钟大于等于指派 平台到封锁路口的所需时间”。在这个约束 条件之下给出最优封锁方案。

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题评阅要点 [说明]本要点 仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地 进行评阅。命题思路:企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题

是一个热点课题。由于国情的复杂和数据的缺乏,对全国甚至一个地 区的社会统筹基金进行总体规模的预测都是困难的, 所以本题仅限于 在现有制度下,对职工个人的基金和个人账户收支情况进行精算。本 题的数学模型并不复杂, 关键是学生正确理解养老金收支计算办法和 题目的要求。 1 必要的假设 如下一些假设是基本的:1)假

设我国在今后一个较长时间段内社会**经济形势稳定, 工资不会出现 异常动荡。2)假设男女同工同酬。3)假设现有缴费及发放制度在一 个充分长的时间段内不发生变化。4)假设附件 2 中反映的该企业不 同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计算一个普通职 工的养老保险缴费指数。5)假设只有个人账户中的储存额产生利息, 而社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。6)假设附件 1 中的社 会平均工资为缴费工资。7)为便于计算,可以假设第 i 岁参加工作、 退休、死亡均是指在刚满 i 周岁 时,缴费年数为整数。 2 问题一 虽然我国当前正处于经济快速发展期,但考虑到我国发展 的战略目标是在二十一世纪中期达到中等发达国家的经济发展水平, 而发达国家的工资增长率多比较低, 所以应当假设我国未来的工资增 长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法,都可以认为是恰当 的。如 Logistic 模型以及其它阻滞型增长模型均可用,用这些方法 得到的工资上限大约在 2010 年工资水平的 3-4 倍左右。但若假设工 资以固定比例增长或线性增长、以及用线性或多项式拟合 都是不恰 当的,用灰色预测或指数预测也不恰当。

3 问题二 根据附件 2,用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段 的职工工资与企业平均工资的比 值,结果如下: 同年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值: (岁) 40-44 20-24 45-49 25-29 50-54 表 1:该企业不 年龄段 35-39 55-59

30-34

个人工资与 企业平均工资之 比 1.173 0.669 1.267 0.805 1.209 0.983 1.115 1.067

本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的企业职工在不同年龄 段时的缴费指数。如果学生在计算养老金支出时没有利用该数据,只 考虑了一些特殊情况,如缴费指数取固定值,是不合题意的。对于 60-64 岁的职工的缴费指数, 可以基于一些简单合理的假设进行预测。 在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时, 按年或按月缴存的两种 计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型 如下: ∑k 退休前第 k 年缴费额本息=∑k 退休前第 k 年缴费工资× 缴费率× , 其中 r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账

户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息, 所以其中金额的计算模 型如下: ∑k 退休前第 k 年缴费额=∑k 退休前第 k 年缴费工资×缴 费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金, 其中 基础养老金= (退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴 费工资)/2×缴费年限×1%; 个人账户养老金=个人账户储存额÷

计发月数。 其中, 本人指数化月平均缴费工资=

则该职工退休

时实际替换率=退休后第一个月领取的养老金/退休前一个月该职工 的月工资。 4 问题三 由于在领取养老金的过程中,个人账户中的

钱仍然在计算利息,所以比较准确而且简单的计算方法是利用“现 值”理论,即把整个过程中领取的钱数都转化为刚退休时的现值。因 为社会统筹基金账户中的资金不计利息,所以其支出额不必考虑现 值。 假设退休金会随着社会平均工资的增长而同步增长。设 为退休 后第 i 年工资增长率,前面已求得刚退休时第一个月的基础养老金 为,则第 i 年领取的基础养老金为 ,则该职工到去 世时领取的基础 养老金总和为 ,其中 d 为死亡年龄, 为退休年龄。 同理,第 i 年 领取的个人账户养老金为,另设退休后银行一年期银行利率为 r,则 其在刚退 休时的现值为 , 则该职工到去世时个人账户养老金总和在 刚退休时的现值分别为 . 如果学生没有考虑到“现值”方法和养

老金随社会平均工资同步增长等因素,应当酌情扣分。 5 问题四 这里可以考虑的措施有如下几条: 1、 推迟退休年龄; 2、 尽早开始缴纳养老保险;3、提高个人账户缴费率;4、提高社会统筹 基金账户缴费率。 其中前两条对于达到目标替代率和维持养老保险 基金收支平衡均有显著的促进作用。 “提高个人账户缴费率”可以提 高目标替代率,但计发月数不变时,对基金平衡没有帮助,而且会减 少职工工资收入。 “提高社会统筹基金缴费率”对维持基金平衡有帮 助,但对目标替代率没有帮助,而且会增大企业负担。 学生可以根 据自己的假设给出建议,应当有一定的计算结果来支持其建议。

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 D 题评阅要点 [说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的 解答,自主地进行评阅。本题主要有两种解法。 方法一,主要思路为首先求出三种规格成品的最大捆数,然后求出每 捆成品不同长度肠衣的搭配方式。具体做法为: 1,以现有三种规格 对应原料长度和根数为约束, 分别建立求三种规格成品捆数最大的整 数规划模型,利用软件求解。2,建立组合或优化模型,计算步骤 1 得到的各种规格成品每捆中不同原料的搭配方式。 3,根据适当规则 调整步骤 2 得到的各种规格成品每捆中不同原料的搭配方式, 使最短 长度最长的捆数最多。上述三步骤应完整,模型应清晰,算法应合理 实用。 方法二, 主要思路为首先计算三种规格成品的所有可能的不同的原料 搭配方式,然后用捆数最大作为目标,同时求出成品的最大捆数和每 捆成品的捆扎方式。具体做法为: 1,用组合方法计算每种成品对应 的所有可能的原料搭配方式。 组合模型要明确并体现原料根数和总长 度的约束和允许的误差,算法的合理性和可实现性也是重要的。 2,对各种规格成品建立并求解各种搭配的最优组合使成品捆数最多 的整数规划模型。要注意模型中体现原料根数的约束条件的正确 性。 在上述两种方法中均应首先考虑原料最长的成品(第三种规格)

的捆扎,剩余的材料降级后 参与次长的成品的捆扎,再有剩余部分 降级参与最短成品的捆扎。


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