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高一数学必修2直线与圆的位置关系优质课件


直线与圆的位置关系 实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响? y 为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度. 港口 O 轮船 x 实例引入 这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为: x ? y ?9 2 2 轮船航线所在直线 l 的方程为: y 港口 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点. O 轮船 x 直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. (1) (2) (3) 直线与圆的位置关系 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关 系?现在,如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系? 先看几个例子,看看你能否从例子中总结 出来. (1) (2) (3) 代数法: 1.将直线方程与圆方程联立成方程组; 2.通过消元,得到一个一元二次方程; 3.求出其判别式△的值; 4.比较△与0的大小关系: 若△>0,则直线与圆相交; 若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离. 几何法: 1.把直线方程化为一般式,并求出 圆心坐标和半径r; 2.利用点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离d; 3.比较d与r的大小关系: 若d>r,则直线与圆相离; 若d=r,则直线与圆相切; 若d<r,则直线与圆相交. 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系. 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得: ?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0. 消去y,得: x 2 ? 3x ? 2 ? 0 因为: ? ? (?3) 2 ? 4 ? 1? 2 =1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共 点. 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0可化为 x ? ( y ?1) ? 5. 2 2 2 2 其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离 5,点C (0,1)到 d? | 3? 0 ?1? 6 | 32 ? 12 5 ? ? 5 10 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点. 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0

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