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2.2.圆锥曲线的参数方程1


1.椭圆的参数方程

一、知识回顾
思考题:动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

? x ? 1 ? 5t 所以,点M的轨迹参数方程为 ? y ? 2 ? 12t ? 参数方程求法: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y) (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

问题:圆( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2的参数方程是什么? 是怎样推导出来的?
? x ?a ? ? y ?b? ? ? ?? ? ?1 ? r ? ? r ?
2 2

? x ? a ? r cos? 得: ? (? 为参数) ? y ? b ? r sin ? x ? r ? r cos? r 3、圆{ (?为参数,r ? 0)的直径 y ? ? r sin ? 2 (2,1) 是4,则圆心坐标是__________ ___

?x?a ? cos? ? ? r 令:? ? y ? b ? sin ? ? ? r

x2 y2 问题:你能仿此推导出椭圆 2 ? 2 ? 1 的参数方程吗? a b

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?

? x? ? y? ? ? ?? ? ?1 ?a? ?b?

2

2

?x ? a ? cos? 令? y ? ? sin ? ?b

? x ? a cos? (?为参数) ? ? ? y ? b sin ?

这就是椭圆的参数方程

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连 接OA,与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋 转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M

ì x = acos j ? 由此:? (φ为参数) í ? y = bsinj ? ? 即为点M轨迹的参数方程.

O

N

x

x2 y2 消去参数得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M轨迹的普通方程. a b

1 .参数方程 数方程.

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ?.

? x ? b cos ? , 焦点在Y 轴 ? ? y ? a sin ?.

知识归纳
x2 y2 ? 2 ?1 椭圆的标准方程: 2 a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ 的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

y A
B O M N

φ
x

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

O

A x

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 x ? ? 1 (2) (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) y ? 3sin ? (2) y ? 4sin ?

2

2

?
2

?

(3)

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8 cos ? (4) ? y ? 10 sin ? ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x 9

? ?1
y 25

2

(4)

x 64

2

?

y 100

2

?1

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.

分析1
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

?x ? 2 y ? m ? 0 ? 2 2 ?4 x ? 9 y ? 36
消元,利用 ? 0, 求出m, 及切点M( x0 , y0 )
d? 5
O

y

x

x0 ? 2 y0 ? m

P

3 4 (? ? ?0) -10| 5 cos ? ? sin ?) -10| ? | 5cos | 3cos ? ? 4sin ? -10| | ( 则d ? 5 5 ? 5 5 5 3 4 其中?0满足 cos ?0 ? ,sin ?0 ? 5 5 ?当? ? ? =0时,d取最小值 5,
0

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. ? x ? 3cos ? (?为参数) 分析2 椭圆参数方程为: ? ? y ? 2sin ? 设M(3cos ? , 2sin ? ),

9 8 此时3 cos ? ? 3 cos ?0 ? , 2sin ? ? 2sin ?0 ? 5 5 9 8 ? M( , )时,点M 与直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。 5 5

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

x2 y 2 例2.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,求椭圆内接矩形面积 a b

的最大值.

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(a cos ? , b sin ? )
S矩形 ? 4 a cos? ? b sin ? ? 2ab sin 2? ? 2ab
?当? ? k? ?

?
4

(k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。

所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.

? ?1 例3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9
2

y2 4

解 :由椭圆参数方程,设点P(3cos? ,2sin? )

S

ABC

面积一定, 需求 S?ABP 最大即可

即求点P到直线AB的距离的最大值。 x y 直线AB的方程为: ? ? 1 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 3 2

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | ? 6 d ? 13 2 2 ? 32

2 sin(

?
4

? ? ) ?1

?当? =

?

3 2 这时点P的坐标为( , 2) 2

4

时, d 有最大值, 面积最大.

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值 最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 . x ? 3cos ? , y ? 2sin ? ? 2 x ? 3 y ? 6cos? ? 6sin ? ? 6 2 sin(? ? 4 )
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, B 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆
2

练习4

B. 椭圆
2

设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x y ? ?2 4 9

练习5
1、当参数? 变化时,动点P(3cos ? , 2sin ? )所确定的曲线必过 A.点(2,3) B.点(3, 0) C.点(1,3) D.点(0, ) 2

?

它的焦距是多少?

2 5

B

? x ? 3 ? 17 cos ? 2.椭圆 ? (? 为参数)的中心坐标为 _____, ? y ? 8sin ? ? 2 准线方程为 _____ . 289

(3, ?2)

x ? 3?

15

3.已知圆的方程为x2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0,
2 (? 为参数),那么圆心的轨迹的普通方程为 ___________? x

4

? y2 ? 1

解:方程x2 ? y 2 ? 4x cos? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0

可化为( x ? 2cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1
? x ? 2cos ? ?圆心的参数方程为? (? 为参数) ? y ? sin ? x2 化为普通方程是 ? y 2 ? 1 4

小结
(1)椭圆的参数方程与应用

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

? x ? a cos? ?? (?为参数) ? y ? b sin ?

注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。

(2)椭圆与直线相交问题

3.抛物线的参数方程

抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程为y2 ? 2 px......(1)
y ?MOX ? ? 由三角函数的定义可得 ? tan ? .............(2) x 2p ? x? 由(1),(2)解出x, y, ? ? tan 2 ? 得到 ? (? 为参数) y
?y ? 2p ? tan ? ?

抛物线上任意点M (x,y)

这就是抛物线(1)(不包括顶点)的参数方程
1 如果令t ? , t ? (??, 0) (0, ??), tan ?
? x ? 2 pt 则有 ? ? y ? 2 pt

o
2

?

M(x,y)

x
(t为参数)

? x ? 2 pt 2 ?当t ? (??, ??)时,参数方程 ? (t为参数)就表示抛物线。 ? y ? 2 pt 参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)

抛物线y ? 2 px (p ? 0)的参数方程为:
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt

参数t的几何意义-----抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

思考:怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0)的参数方程 ?
? x ? 2 p tan ? (?为参数) ? 2 ? y ? 2 p tan ?

如果令t ? tan ? , t ? (??, ??)
? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

抛物线的参数方程

y ? 2 px (p ? 0)
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt ? x ? ?2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? ?2 pt

y 2 ? ?2 px (p ? 0)
参数t的几何意义:

抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

抛物线的参数方程

x ? 2 py( p ? 0)
2

? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt ? x ? ?2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? ?2 pt

x2 ? ?2 py( p ? 0)

参数t的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。

? x ? 2 pt 2 1、若曲线 ? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是t1 , t2 , 则弦M 1M 2 所在直线的斜率是(

练习:

c



1 1 A、t1 ? t2,B、t1 ? t2,C、 ,D、 t1 ? t2 t1 ? t2
2 解:设M1 (2 pt12 , 2 pt1 ), M2 (2 pt2 , 2 pt2 )

? kM1M 2

2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 t1 ? t2 2 pt1 ? 2 pt2

练习:
2、设M 为抛物线y 2 ? 2 x上的动点,给定点M 0 (?1, 0), 点P为线段M 0 M 的中点,求点P的轨迹方程。

解:设P( x, y)

M为抛物线y2 ? 2x上的动点,
2

?可设M (2 pt , 2 pt ) 又定点M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,
? 2 pt 2 ? 1 消参数t , x ? ? ? 2 (t为参数) 得点P的轨迹方程: ?? ? y ? 2 pt p 2 y ? px ? . ? ? 2 2

小结:
1、抛物线的参数方程的形式

2、抛物线参数的意义


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