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高三第二轮专题复习《平面向量》

高三第二轮专题训练—《平面向量》

高三第二轮专题训练— 平面向量 平面向量》 高三第二轮专题训练—《平面向量
2009 年 5 月 5 日星期二

一、本章知识结构: 本章知识结构:

二、重点知识回顾: 重点知识回顾 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示; ②用字母 a 、 b 等表示;

r

r
r

③平面向量的坐标表示:分别取与 x 轴、x 轴方向相同的两个单位向量 i 、

r r j 作为基底. 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 r r r r r
x、y,使得 a = x i + yj ,(x,y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a =(x,y), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,

r

r

r

r

r

特别地, i =(1,0), j =(0,1), 0 =(0,0).

uuu r r a = x 2 + y2 ;若 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),则 AB = (x 2 ? x1,y 2 ? y1 ) ,

| A B |=

(x 2 ? x 1 ) 2 + (y 2 ? y 1 ) 2 .
r

3.零向量、单位向量:①长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ;
1 北大附中深圳南山分校高三数学组

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r a ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.(注: r 就是单位向量) |a|
4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;

r

②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a//b//c . 共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算, 叫做向量的加法。 向量加法的三角形法则和平行四 边形法则. ②向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即: a ? b = a + ( ? b) ; 差向量的意义: OA = a ,

r

r

r

r r r

r

r

r

r

r r

r

r

uuur

r

uuur r r uuu r r OB = b , 则 BA = a ? b ;
r b r r a+b r b r r a?b

r r a+b

r b

r r r a a a r r ③平面向量的坐标运算:若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则

r r r r r a + b =(x1+ x2,y1+y2), a ? b =(x1- x2,y1-y2), λa = (λx,λy) ;
④向量加法的交换律: a + b = b + a ; : 向量加法的结合律: (a + b) + c = a + (b + c) ; 7.实数与向量的积:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a r r r r r r (1)|λ a |=|λ|| a |;(2)λ>0 时 λ a 与 a 方向相同;λ<0 时 λ a 与 a 方向相反;λ=0 时 λ a = 0 ;(3)运算定律 λ(? a )=(λ?) a ,(λ+?) a =λ a +? a , λ( a + b )=λ a +λ b

r r

r r
r

r r

r

r r r

r

r r

r

r

r

r

r

r r

r

r

r

8.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线(也是平行)的充要条件是: 有且只有一个非零实数 λ,使 b = λ a .
2 北大附中深圳南山分校高三数学组

r

r

r

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ur
r

uu r
r

9.平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么

ur

uu r

对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e 2 .

ur

uu r

(1)不共线向量 e1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线;

r

ur

uu r r ur uu r

(3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e 2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量.

r
r r r

r

10.向量 a 和 b 的数量积: ① a ? b =| a | ? | b | cos θ ,其中θ∵[0,π]为 a 和 b 的夹角; r

r

r

r

b r a

r r r ② | b | cos θ 称为 b 在 a 的方向上的投影;

③ a ? b 的几何意义是: b 的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积,是一个实 数(可正、可负、也可是零),而不是向量; ④若 a =(x1,y1), b =(x2,y2), 则 a ? b = x1x 2 + y1 y 2 ; ⑤运算律 a ? b = b ? a ,(λa) ? b = a ? (λ b) = λ (a ? b) ,(a + b) ? c = a ? c + b ? c ;

r r

r

r

r

θ bcosθ

r

r

r r
r

r r

r r

r r

r

r r

r r r

r r r r

r r r r a ?b ⑥ a 和 b 的夹角公式: cos θ = r r = a×b
⑦ a ? a = a 2 =| a |2 =x2+y2,或| a |= | a |= ⑧ | a ? b |≤| a | ?| b | .

x 1x 2 + y1y 2
2 x 12 + y 1 ?

x2 + y2 2 2



r r

r

r

r

r2 a = x 2 + y2 ;

r r

r uu r

11.两向量平行、垂直的充要条件: 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2), ① a ⊥ b ? a ? b = 0 , a ⊥ b ? a ? b = x1x 2 + y1 y 2 = 0 ; ② a//b (a ≠ 0) 充要条件是:有且只有一个非零实数 λ,使 b = λ a .
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r

r

r

r

r r
r

r

r

r r

r r r

r

r

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r r a//b ? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0 .
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆. 12.中点坐标公式: (

x1 + x 2 y1 + y 2 , ), 2 2 x + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y3 三角形重心公式: ( 1 , ). 3 3
三、方法总结与考点剖析 方法总结与考点剖析 (一)方法总结 一 方法总结 1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点,再 进行向量运算会非常方便; 2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想,转化为函数或方程 方法求解; (二)考点剖析 二考 考点一:向量的概念、 考点一:向量的概念、向量的基本定理 【命题规律】 有关向量概念和向量的基本定理的命题, 主要以选择题或填空 题为主,考查的难度属中档类型. 考点二: 考点二:向量的运算 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为 模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相 结合. 考点三:向量与三角函数 向量与解析几何 向量与三角函数、 解析几何的综合问题 考点三 向量与三角函数、向量与解析几何的综合问题 【命题规律】 命题以三角函数作为坐标, 以向量的坐标运算或向量与解三角 形、 向量与解析几何的的内容相结合, 也有向量与三角函数图象平移结合的 问题,属中档偏易题. 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知 识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求;向量与解析几何 的综合问题也是高考经常出现的问题,一定注重向量坐标化. ..... 四、典型试题演练: 典型试题演练 选择题: 一、选择题:

uuu r
A. (2,5) B.(3,–3)

r
D.以上都不是

1.已知 A (3,7),B (5, 2),向量 AB 按 a = (1,2)平移后的得向量是

r r 2.设 a , b 为非零向量,下列命题中假命题的是 .
A. | a | + | b |=| a + b |

C.(1, –7)

r

r

r r

r r a 与 b 同向共线
4 北大附中深圳南山分校高三数学组

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B. | a | + | b |=| a ? b |

r

r

r r

r r a 与 b 反向共线
r r r
A F E M B

r
r

r
r

C. a 与 b 不共线

若 λ1 a + λ 2 b = 0 ,则 λ1=λ2=0

D. pa = pb (P∵R)

r r a=b uuuu uuur uuur r
uuuu r C. 4MD

3.如图,M 是△ABC 的重心,则 MA + MB ? MC 为

r A. 0
r r

uuur B. 4MF

uuur D. 4ME

D

C

4.设 | a |= 2 , | b |= 1 , a 与 b 夹角为 60°,要使 kb ? a 与 a 垂直,则 k 的值 为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知 A、B、C 三点共线,且 A (3,–6),B (–5,2),若 C 点横坐标为 6, 则 C 的纵坐标是 A.–13 B.9 C.–9 D. 13

r

r

r r

r

4 3 5 5 uuuuu r r l 的射影分别是 O1, A1,则 O1A1 = λ e 其中 λ=
A.–
11 5

6.已知平面上直线 l 的方向向量 e = ( ? , ) ,点 O(0,0) 和 A(1, –2)在

r

B.

11 5

C.–2

D.2

r r 7.(2007 上海)直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位 向量.在直角三角形 ABC 中,若 AB = 2 i + j, = 3 i + k j ,则 k 的可 AC 能值个数是 A.1

uuu r

r r r uuu

r

r

B.2

C.3

D.4

r r r r r r 8.(2008 湖北文、理)设 a =(1,-2), b =(-3,4), c =(3,2),则 (a + 2b)c =
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11

9.(2008 广东文)已知平面向量 a = (1 2), = ( ?2,m) ,且 a // b ,则 , b

r

r

r r

r r 2a + 3b =
A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)

5 北大附中深圳南山分校高三数学组

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r r
与 a 垂直,则λ是

r

r r

10.(2008 海南、宁夏文)已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) λa + b , ,

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 11.(2008 广东理)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段

uuu r
1r 1r a+ b 4 2 2r 1r a+ b 3 3 2r 1r b+ c 3 3

r

uuu r
1r 3

r
2r b 3

uuu r

OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC = a , BD = b ,则 AF = A. B. C. D. a +

r x π π 12.(2007 湖北)将 y = 2cos( + ) 的图象按向量 a = (? , 2) 平移,则平移后 ? 3 6 4 所得图象的解析式为 x π A. y = 2cos( + ) ? 2 3 4 x π C. y = 2cos( ? ) ? 2 3 12 x π B. y = 2cos( ? ) + 2 3 4 x π D. y = 2cos( + ) + 2 3 12

13.在△ABO 中, OA = (2cosα, 2sinα) , OB = (3cosβ, 3sinβ) , 若 OA ? OB = ?3 ,则 S△ABO 等于
3 3 3 C. D. 3 3 2 2 14.如图,在平面斜坐标系 xoy 中,∠xoy = 60°,平面上任一点 P 关于斜坐

uuur

uuu r

uuur uuu r

A. 3

B.

标系的斜坐标这样定义的,若 OP = xe1 + ye 2 (其中 e1 , e 2 分别是与 x 轴 y 轴同方向的单位向量),则 P 点的斜坐标 为(x, y),则以 O 为圆心,1 为半径的圆 A.x2 + y2 = 1 B.x2 + y2 + xy = 1 C.x2 + y2 – xy = 1 D.x2 + y2 + 2xy = 1 15.设 F (x) = f (x) + f (–x),x∵R, [ ? π, ? y 60° 1

uuu r

ur

uu r

ur

uu r

O

x

π ] 是函数 F (x)的单调递增区间将 2

F(x)的图象按 a = (π, 平移得到一个新的函数 G (x)的图象, G (x)的单调 1) 则 递减区间必定是 A. [ ? , 10]

r

π 2

B. [ ,π]

π 2

C. [π, π]

3 2

D. [ π,π] 2

3 2

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二、填空题: 填空题: 16.直线 l 的方向向量为(–1,2),直线的倾斜角为 α,则 tan2α=______. 点 且 17.在△ABC 中, AB = a ,AC = b , D 在线段 BC 上, BC = 3DC , 设 则 AD 用 a, 表示为_______. b 18.已知向量 a = ( 3, ,向量 b = (sin α ? m,cos α ) ,α∵R 且 a // b ,则 1) m 的最小值为 ____. 19.在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A (0, 1)和点 B (–3, 4), 若点 C 在∠AOB

uuu r

r

uuu r

r

uuu r

uuu r

uuur

r r
r

r

r r

uuu r

uuu r

的平分线上,且 | OC |= 2 ,则 OC =_______. 20.在△ABC 中,A =

π a +b+c ,b = 1 S?ABC = 3 , , 则 = __ . 3 sinA + sinB + sinC uuur uuu uuu r r uuur 21(2007 陕西)如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与

uuu r uuur uuu r uuur uuu r OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| | OA |=| OB |= 1 , , 且
uuu r uuu r uuur uuu r | OC |= 2 3 , 若 OC = λ OA + ?OB (λ,?∵R),
则 λ+? 的值为 . C B A

O r r r r r r 0 22.(2008 江苏)已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ,a |= 1,b |= 3 ,5a ? b |= | | |



三、解答题: 解答题: 1. (2008 深圳福田)已知向量 a = ( 3sinx,cosx) , b = 函数 f(x) = 2a ? b ? 1 . (1)求 f(x)的最小正周期;(2)当 x ∈ [ , ] 时, 若 f(x)=1 求 x 的值.

r

r

(cosx,cosx) ,

r r

π π 6 2

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2.(2007 山东文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tanC= 3 7 .(1)求 cosC; (2)若 CB ? CA =

uuu uuur r

5 ,且 a+b=9,求 c. 2

3.(2008 广东六校联考)已知向量 a = (cos

3 3 x,sin x) , 2 2 r 1 1 π v v b = (?cos x,sin x) ,且 x ∈ [0, ] . (1)求 | a + b | ; 2 2 2 v v v v (2)设函数 f (x) = a + b + a ? b ,求函数 f(x)的最值及相应的 x 的值. r

4.如图在 Rt ? ABC 中, 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点, PQ 问 与 BC 的夹角θ取何值时, BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值. C a A B

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

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高三第二轮专题训练— 平面向量》 高三第二轮专题训练—《平面向量》答案 一、选择题答案: 选择题答案: 答案 1 题号 答案 题号 答案 题号 答案 B 6 C 11 B

2 D 7 B 12 A

3 B 8 C 13 C

4 D 9 C 14 B

5 C 10 A 15 D

3.解:∵ MA + MB + MC = 0 ,∴ MA + MB = ? MC , ∴ MA + MB ? MC = ?2MC = 2CM = 4MF . 4.解:∵ (kb ? a) ? a = kb ? a ? | a | = k ? 4 = 0 ,∴k = 4.
2

uuuu uuur uuur r

r

uuuu uuur r uuur

uuur

uuuu uuur uuur r
r r r

uuur

uuuu r

r r

r

5.解:A 分 BC 的比为 ,代入公式即得 C (6, –9),故选 C.

3 8

uuur uuur r uuur r uuur uuur r | OA | ?(OA ? e) OA ? e r = r = ?2 . e 6.解: λ =| λ =| OA | cos < OA, > = uuur | OA | × | e | |e|
7.解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1), y C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知, 只可能 A、B 为直角,C 不可能为直角.所以 k 的 A 可能值个数是 2,选 B 点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法, 点评 巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想, 8.解: a + 2b = (1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), B 3 C2 x

r

r

C1

r r r (a + 2b)c = (-5,6)(3,2)=-3,选 C
点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法 点评 运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字.

r r
9.解:由 a // b ,得 m=-4,所以,

r r 2a + 3b =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故选(C) 。
点评: 其实是一个向量是另一个向量的λ倍, 也是共线向量, 点评 两个向量平行,
9 北大附中深圳南山分校高三数学组

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注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆. 10.解:由于 λa + b = ( λ + 4, 3λ ? 2 ), = (1, 3), + b ⊥ a ? a ? λa

r r

r

r r

r

∴(λ+4)-3(-3λ-2)=0,即 10λ+10=0,∴λ=-1,选A 点评: 注意不要出现运算 点评 本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算, 出错,因为这是一道基础题,要争取满分. 11.解: AO =

B A 而满足此条件的选择支只有 B,故选 B. 点评: 点评 用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的 一个难点,体现数形结合的数学思想. 12.解:由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点 P′(x′,y′),P(x,y),则 r uuu r π ' π ' a = (? , 2) = P′P =(x′-x,y′-y) ? x = x + , y = y + 2 , ? 4 4 代入到已知解析式中可得选A 点评: 以平移公式切 点评 本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识, 入,为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先 向右平移

1 r uuur uuur uuur 1 r 1 r a , AD = AO + OD = a + b , 2 2 2 uuu 1 uuur uuur 1 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r r AE = (AO + AD) = ( a + b + a) = a + b , 2 2 2 2 2 2 4 uuu r uuu r 由 A、E、F 三点共线,知 AF = λAE ,λ>1,

uuur

D E

F O

C

π 个单位,再向下平移 2 个单位,误选C. 4 uuur uuu r 13.解: OA ? OB =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β)=-3
3 , 2

∴cos(α-β)=-0.5,sin(α-β)= ∴S△ABC =

uuu r uuu r 1 uuur 1 uuur | OA | × | OB | sin∠ADB= | OA | × | OB | sin(α-β) 2 2

=

1 3 3 × 2 × 3× = 3 ,选 C. 2 2 2

14.【解析】设圆上动点 M 的斜坐标为(x, y),则 | OM |=| xe1 + ye 2 |= 1 ,

uuuu r

ur

uu r

∴x2 + 2xy e1 ? e2 + y2 = 1,∴x2 + y2 + xy = 1,故选 B.
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ur uu r

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15.解:F (x) = f (x) + f (–x)为偶函数,[ ? π, ?

π ] 为 F (x)的单调增区间,那么 2

r π [ ,π] 为 F (x)的单调减区间,按 a = (π, 平移得 G (x),那么 G(x)在 1) 2 π 3 [ + π,π + π] 上即 [ π, 上必为单调递减,故选 D. 2π] 2 2
二、填空题: 填空题:

2 2tanα 4 = ?2 ,∴ tan2α = = . 2 ?1 1 ? tan α 3 uuu r uuu r uuu r uuu r uuur AB + 3AC 1 uuu 3 uuu r r 1r 3r 17.解: 因为 BC = 3DC , 所以 AD = = AB + AC = a + b . 4 4 1+ 3 4 4 r r 18.解:∵ a // b ,∴ 3cosα ? 1× (sinα ? m) = 0 ,
16.解:由已知 tanα = ∴ m = sinα ? 3cosα = 2sin(α ? ) ,又∵α∵R, ∴ sin(α ?

π 3

π ) = ?1 时,mmin = –2. 3

uuur uuu r uuu r OA OB 3k 9k r 19.解: C 在∠AOB 的平分线上, OC = k( uuur + uuu ) = ( ? , ) , ∵ ∴ 5 5 | OA | | OB |
(k>0),又 | OC |= 2 ,∴ (- k) + ( k) = 2 ,∴ k =
2 2

uuu r

3 5

9 5

10 3

∴ OC = ( ?

uuu r

10 3 , 10) . 5 5 1 1 3 bcsinA ;∴ 3 = × 1× C × ,∴C = 21, 2 2 2

20.解: ∵ S?ABC = ∴a = ∴

b 2 + c2 ? 2bccosA = 13 ,
a +b+c a 2 39 = = . sinA + sinB + sinC sinA 3

uuur

uuu r

21.解:过 C 作 OA 与 OC 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形, 解
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由∠BOC=90°,∠AOC=30°, | OC |= 2 3 得平行四边形的边长为 2 和 4, λ+μ=2+4=6.

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

点评:本题考查平面向量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为 点评 基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则. 22.解: | 5a ? b | = (5a ? b) = 25a ? 10a ? b + b 解
2 2

r r

r r

r2

r r

r2

r r 1 25 × 12 ? 10 × 1× 3 × (? ) + 32 = 49 , | 5a ? b |= 7 . 2
点评:向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容,难度不大,只要 点评 细心,运算不要出现错误即可. 解答题: 三、解答题: 1.解:(1) f(x) = 2 3 sinxcosx+2cos2x-1

π = 3sin2x + cos2x = 2sin(2x + ) . 所以,T=π. 6 π 1 (2) 由 f(x)=1 得 sin(2x + ) = , 6 2 π π π π 7π π 5π ∵ x ∈ [ , ] ,∴ 2x + ∈ [ , ] ∴ 2x + = 6 2 6 2 6 6 6

∴ x=

π . 3

点评:向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一 点评 般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件, 并结合简单的向量运 算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点.

sinC =3 7, cosC 1 又∵sin2C+cos2C=1,解得 cosC = ± . 8 1 ∵tanC=>0,∴C 是锐角. ∴cosC . 8 uuu uuur 5 r 5 (2)由 CB ? CA = ,∴abcosC= ,∴ab=20. 2 2
2.解: (1)∵tanC= 3 7 ,∴ 又∵a+b=9,∴a2+2ab+b2=81,∴a2+b2=41. ∴c2=a2+ b2-2abcosC =36.∴c=6. 点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等 点评 内容. 3.解:(1)由已知条件: 0 ≤ x ≤

π
2

, 得:

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r r 3x x 3x x | a + b |=| (cos ? cos ,sin + sin ) | 2 2 2 2

= (cos

3x x 3x x ? cos ) 2 + (sin + sin )2 = 2 ? 2cos2x = 2sinx 2 2 2 2

(2) f(x) = 2sinx + cos

3x x 3x x cos ? sin sin =2sinx-cos2x 2 2 2 2 1 3 = 2sin 2 x + 2sinx ? 1 = 2(sinx + ) 2 ? 2 2 π 因为: 0 ≤ x ≤ ,所以:0≤sinx≤1 2

所以只有当 sinx=1 时,f(x)max=3;当 sinx=0 时,f(x)min=-1. 点评:本题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经过配方后,变成开口 点评 向下的二次函数图象,要注意 sinx 的取值范围,否则容易搞错. 4.解: 以直角顶点 A 为坐标原点, 两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示 的平面直角坐标系。设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0) ,B(c,0) ,C(0,b). 且|PQ|=2a,|BC|=a.设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x,-y), ∵ BP = (x ? c,y), = ( ? x, y ? b) , CQ ? BC = (?c,b), = (?2x, 2y) PQ ? y uuu uuu r r C Q ∴ BP ? CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by a A O B x

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r BC ? PQ cx ? by r uuu = r ∴ cosθ = uuu , a2 | BC | × | PQ |
∴cx-by=a2cosθ. ∴ BP ? CQ =- a2+ a2cosθ.故当 cosθ=1,

uuu uuu r r

r uuu uuu r uuu uuu r r P 即θ=0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP ? CQ 的值最大,其最大值为 0.
点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与 点评 几何问题的融合.考查学生运用向量知识解决综合问题的能力.

13 北大附中深圳南山分校高三数学组


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