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数列压轴题(高考)

高考数列压轴题选讲
一、填空题 1.已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ; 2.首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是______ (答: ? d ? 3 ) 3.函数 f ( x) 由下表定义:若 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an?2 ? f (an ), n ? N * 则 a2008 的值__________. x f (x) 1 3 2 4 3 5 4 2 5 1

8 3

12. 1 4..将正偶数按如图所示的规律排列: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ?? 则第 n(n≥4)行从左向右的第 4 个数为 10. n ? n ? 8 5.根据下面一组等式:
2



s1 ? 1, s2 ? 2 ? 3 ? 5, s3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15, s4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34, s5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65, s6 ? 16 ? 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 111,

???? 可得 s1 ? s3 ? s5 ? ??? ? s2 n ?1 ?
n4



12.本题是课本中的习题.考查推理与证明中归纳猜想,数学能力是观察、归纳意识. 方法一: S1 ? 1, S1 ? S3 ? 16, S1 ? S3 ? S5 ? 81 , 猜想 S1 ? S3 ?
? S2n?1 ? n4 .

方法二:先求出 S2n?1 ? (2n ? 1)(2n2 ? 2n ? 1) ,然后求和(对文科学生要求较高,不必介绍) 6.13.五位同学围成一圈依次循环报数,规定,第一位同学首次报出的数为 2,第二位同学首次 报出的数为 3, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字, 则第 2010 个被报出的数为 13.4
1



1 - 7.把数列{2n}的所有项按照从大到小, 左大右小的原则写成如图所示的数表, 第 k 行有 2k 1 个数, 1 第 k 行的第 s 个数(从左数起)记为(k,s),则 2010可记为 1 2 1 1 4 6 1 1 8 10 1 1 16 18 .

1 1 12 14 1 1 20 22

1 24

?

? (第 7 题图) 8. ( 1) 正整数按下列方法分组: ?1?,?2,3,4?,?5,6,7,8,9?,?10,11,12,13,14,15,16?,..... 记第 n 组
3 3 3 3 3 3 3 3 中各数之和为 An ;由自然数的立方构成下列数组: 0 ,1 , 1 , 2 , 2 ,3 , 3 , 4 ,.... 记第 n

?

??

??

??

?

组中后一个数与前一个数的差为 Bn , 则 An ? Bn ?

2n3
1 n 1 ) ? (3x ? ) n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? an xn ,将 ak (0 ? k ? n) 的最小值 2 3 1 1 1 1 记为 Tn ,则 T2 ? 0, T3 ? 3 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 其中 Tn =__________________ . 2 3 2 3
( 2) 、设 n ? 2, n ? N ,(2 x ?

解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题 13. (10,494)

(3) 13 (4).观察下列等式:

32 ? 42 ? 52 , 102 ? 112 ? 122 ? 132 ? 142 ,
2

212 ? 222 ? 232 ? 242 ? 252 ? 262 ? 272

362 ? 372 ? 382 ? 392 ? 402 ? 412 ? 422 ? 432 ? 442

* 由此得到第 n n ? N 个等式为

?

?

.

3 15 1 9.数列 {an } 中, an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 =_____, 2 2 2 n =_____ (答: a1 ? ?3 , n ? 10 );
10. 设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , a4 ? 6 , S3 ? 12 ,则

a2010 =__ _.
12. 【4020】 11 . 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 1 ≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 , 则 S6 的 取 值 范 围 是 11. ? ?12, 42? 【解析】由题知 1 ? a1 ? 4d ? 4, 2 ? a1 ? 5d ? 3 则 S6 ? 6a1 ? 15d ? 15 ? a1 ? 4d ? ? 9 ? a1 ? 5d ? 由不等式性质知 S6 ?? ?12, 42? 或线性规划知识可 得? ;

?1 ? a1 ? 4d ? 4 ,令 z ? S6 ? 6a1 ? 15d 同样得 S6 ?? ?12, 42? . 2 ? a ? 5 d ? 3 ? 1
(答: 2 n ? 10 );

12.等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ?

13.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___________。

n ? n ? 1? ?1 2
14. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 Sn ( n ? N ) . 若
?

a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,则通项公式 an ? ____________
n+1
a1 ? 2,an ? 1 ? 1 (n ? 2, 3, 4, ???) , 15.数列 ?an ? 满足: 若数列 ?an ? 有一个形如 an ? A sin(? n ? ? ) ? B a
n ?1

π 的通项公式,其中 A、B、?、? 均为实数,且 A ? 0,? ? 0,? ? ,则 an ? 2
3

.(只要写出

一个通项公式即可)

2π n ? π ? 1 14. 3 sin 3 3 2
解: a1 ? 2 , a2 ?

?

?

1 1 , a3 ? ?1 , a5 ? , a6 ? ?1??? 故周期为 3 2 2

14.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? pan ? 2n n ? N* ,其中 p 为常数.若存在实数 p ,使得数列 ?an ? 为 等差数列或等比数列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? .

?

?

14. 2 n 【解析】本题是等差等比数列的综合问题,可采用特殊化的方法来解决。由题意可知:
a2 ? 2 p ? 2,a3 =p(2p+2)+4 。若 ?an ? 是等差数列,则 2a2=a1+a3,得 p2-p+1=0;若 ?an ? 是等比数列,

则(2p+2)2=2[p(2p+2)+4],解得 p=2.故 an=2n. 点评:对于客观题可以采用特殊化的方法,避免复杂的计算。 求前 n 项和 Sn 16.设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn ?


17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为 an?1

数列{ Tn }的最大项,则 n0 =

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题。

17a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2)2 n ] ? 1 ( 2)2 n ? 17( 2)n ? 16 1 ? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2)n 1? 2 ( 2)n
? 1 16 ? [( 2)n ? ? 17] 1? 2 ( 2)n
n

因为 ( 2) ?

16 ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 n ( 2)

【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值,求解时为便于运算可以对 ( 2)n 进行换 元,分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

17.设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
4 7 10

3n?10

(n ? N ) ,则 f (n) 等于

4

18.在等差数列 ?an ? 中,若 a1005 ? a1006 ? a1007 ? 3 ,则该数列的前 2011 项的和为 2011 19 . 在 数 列 ?an ? 中 , 若 对 任 意 的 n 均 有 an ? an?1 ? an?2 为 定 值 ( n ? N ), 且
?

a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则此数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ?
解:此数列只有三个数:2;9;3 循环

.299

20..已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答:
2 * ? ?12n ? n (n ? 6, n ? N ) Tn ? ? 2 ). * n ? 12 n ? 72( n ? 6, n ? N ) ? ?

开始 等 差 数 列 , 设 输入 n











{an }



Tn ?| a1 | ? | a2 | ?

某学生设计了一个求 Tn 的部分 ? | an | (n ? N? ) .

n≤5
Y

N

算法流程图(如图) ,图中空白处理框中是用 n 的表达式对 Tn 赋值, 则空白处理框中应填入: Tn ← 10. n ? 9n ? 40
2



Tn←-n2+9n

输出 Tn

21.设 {an } 是等差数列, 求证: 以 bn=
项公式的数列 {bn } 为等差数列。

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通 n

结束 (第 10 题图)

22. 等差数列 {an } 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? ?2011, _____________ 13. ? 2011 ;

S 2012 S 2010 ? ? 2 ,则 S 2011 的值为 2012 2010

23.已知 a, b, c(a ? b ? c) 成等差数列,将其中的两个数交换, 得 到的三数依次成等比数列, 则

a2 ? c2 的值为 b2
14.20



24.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 S 2n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) , a1a 2 a3 ? 8 则 an = _________.

5

分析:本题要求等比数列 ?an ? 的通项 an ,可以先由 a1a 2 a3 ? 8 求出 a2 ,再利用

S 2n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) 求出公比 q..思路正确,问题在怎样求出 q?如果将 S 2n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) 的两边分别求和,得到 q 的方程,再解方程求出 q,显然计算量大,
容易出错.如果仔细观察命题,可以发现 S 2 n 是等比数列前 2n 项的和,

S 2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ?a2n ) 其中 a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 是前 2n 项中所有奇数
项的和, a2 ? a4 ? ?a2n 是前 2n 项中所有偶数项的和,从整体考虑,可以发现在等比数列中

a2 ? a4 ? ?a2n =( a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 )q,利用这个关系可使结构简单,便于求解.
2 解:由 ?an ? 是等比数列,得 a1a3 ? a2 ,因为 a1a 2 a3 ? 8 ,所以 a2 =2.

由 S 2n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ,得 a2 ? a4 ? ?a2n =2( a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ,因为

a2 ? a4 ? ?a2n =( a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 )q,所以 q=2. an ? 2 n?1 .

25.若数列

?an ? 满足:对任意的 n ? N ? ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 m 的

? ? ? 个数为 (an ) , 则得到一个新数列 ( an ) . 例如, 若数列 ?an ? 是 1, 2,3…,n, … , 则数列 ( an )

?

?

?

?

是 0,1, 2,…,n ?1,… .已知对任意的 n ? N , an ? n2 ,则 (a5 )? ? .

?

, ((an )? )? ?

6

26.已知数列 {an } 满足: a1

? 1 , a2 ? x ( x ? N ? ), an?2 ? an?1 ? an ,若前 2010 项中恰好
.

含有 666 项为 0 ,则 x 的值为 14、 8 或 9

解:必然存在一个 n0 ? N * ,当 n ? n0 时,数列 ?an ? 为 0,1,1, 0,1,10,1,1,0,1,1 ??? , 若 a2010 ? 0, a2009 ? 1, a2008 ? 1 ,则 a2010?665?3 ? a15 ? 0 , a2 ? 9 ? x ; 若 a2010 ? 1, a2009 ? 1, a2008 ? 0 , a2 ? 1,不成立; 若 a2010 ? 1, a2009 ? 0 , a2009?665?3 ? a14 ? 0 , a2 ? 8 ? x ; 27.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 【答案】

an 的最小值为__________. n

21 2

【命题立意】 本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性, 考 查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n2-n

an 33 ? ? n ?1 n n 33 ?33 ? n ?1 , 设 f ( n) ? 令 f ( n) ? 2 ? 1 ? 0 , 则 f ( n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增, 在 (0, 33) n n
所以 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。

7

又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 ? ? ? , ,所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 n 6 2 6 6 2
100

28.数列 {an } 满足下列条件:a1 ? 1 , 且对于任意的正整数 n , 恒有 a2 n ? an ? n , 则 a2 值为 14.



24950

29.. 设函数 f ( x) ? x 1 2
n

? ? ? x 1?1 , A0 为坐标原点,An 为函数 y=f(x)图象上横坐标为 n(n ? N )
x
*
n

5 的点,向量 an ? ? Ak ?1 Ak ,向量 i=(1,0) ,设 ? n 为向量 a n 与向量 i 的夹角,则满足 ? tan ? k ? 3 k ?1 k ?1

的最大整数 n 是 13.3 解 :
n



an ?

n ? 1 ? ?1? A A ? OA ? n , n ? ? ? ? k ?1 k n ? ? ? ? 2 ? n ?1 ? k ?1 ? ? n





t

n 1 1 1 ?1? ?1? ?1? ,又 ? ? ? 是关于 n 的单调递减函数, ?k ? ? a ? ? n , ? tan ?k ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? n ? 1 k ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2 ? n ?1
n n

n

n

1 1 5 ?1? ?1? 所以 2?? ? ? 单 调 递 增 , 当 n = 1,2,3 时 2 ? ? ? ? ? ,满足题意,当 n =4 ? 2 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 3
时 , 2?? ? ?

?1? ?2?
k

n

1 1 5 ?1? 1 5 ?1? ? 2?? ? ? ? , 从 而 当 n ? 4 时 2?? ? ? ? ,所以满足 n ?1 ? 2 ? n ?1 3 ?2? 5 3

4

n

? tan ?
k ?1

n

?

5 的最大整数 n 是 3. 3

?an? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1,令 bn ? an ? 1(n ? 1,2, ) 若数列?bn? 有连续 四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q ? .【答案】 ?9
30.设 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解. 31.设首项不为零的等差数列 {an } 前 n 项之和是 Sn ,若不等式 an ?
2

Sn 2 ? ? a12 对任意 {an } 和 2 n

正整数 n 恒成立,则实数 ? 的最大值为 12.

.

1 5
8

? n(a1 ? a2 ) ? 2 ? ? 2 ? ? ? 5 a 2 ? a1an ? a1 ? ?a 2 2 解:由不等式得 an ? n 1 4 2 4 n2
5?a ? 1 a 1 5?a 1? 1 1 由于 a1 ? 0 ,所以 ? ? ? n ? ? ? n ? ? ? n ? ? ? ,所以 ? ? 5 4 ? a1 ? 2 a1 4 4 ? a1 5 ? 5
* 32.在数列 ?an ? 中, a1 ? 11 ,且 3an?1 ? 3an ? 2(n ? N ) ,则该数列中相邻两项乘积的最小值
2 2

2

为__________. 33 .从等腰直角三角形纸片 ABC 上,按图示方式剪下两个正方形,其中

BC ? 2 , ?A ? 90o ,则这两个正方形的面积之和的最小值为
13.6 34 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 恒 不 为 0 的 单 调 函 数 , 对 任 意 的 x , y ? R , 总 有

f ?x ? f ? y ? ? f ?x ? y ? 成 立 . 若 数 列 {an } 的 n 项 和 为 S n , 且 满 足 a1 ? f ( 0 ),

f ? an ?1 ? ?

f ?3

1

n ?1

? 2an ?
n?2

(n ? N ? ) ,则 Sn =
? 11

.

14、 Sn ? 5 ? 2

n ?1 3

-

2

.

35 . 已 知 等 差 数 列

{an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 (a2 ?1)3 ? 2010(a2 ?1) ? 1 ,
.

(a2009 ?1)3 ? 2010(a2009 ?1) ? ?1,则下列四个命题中真命题的序号为
① S2009 ? 2009 ; ② S2010 ? 2010 ; ③ a2009 ? a2 ; 36. 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an?1 ? ④ S2009 ? S2

1 2 2 2 , 记 S n ? a1 ,若 ? a2 ? ? ? an ? 4 ? 1 ( n ? N? ) 2 an

S 2 n ?1 ? S n ?
18. 10

m ? 对 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为 30
' 则f 0 ( x ? a6 ) , () ?

37、 等比数列 ?an ? 中, 函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) a1 ? 3 , a6 ? 3 3 ,
2 2

38、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 m ? n , Sm ? m , Sn ? n ,则 Sm? n ?

9

二、解答题 1、已知函数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ,记 an ? 3 f ( n) , n ? N *. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? m(m ? Z ) ,求 m 的最小值; 2n

(3)求使不等式 (1 ? 1 )(1 ? 1 )?(1 ? 1 ) ? p 2n ? 1 对一切 n ? N * 均成立的最大实数 p . a1 a2 an 解:(1)由题意得 ?

?log 3 ( 2a ? b) ? 1 ?a ? 2 ,解得 ? , b ? ? 1 ?log 3 (5a ? b) ? 2 ?

? f ( x) ? log3 (2x ? 1)
(2)由(1)得 bn ?

an ? 3log3 ( 2n?1) ? 2n ?1, n ? N *
① ②

2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 , ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2
? 2 2 2 n ?1 ? n ? n ?1 n ?1 2 2 2

1 1 2 2 ①-②得 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2n ? 1 3 1 2n ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? n ?2 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 ? n?1 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 2n ? 3 ? Tn ? 3 ? n?2 ? n ? 3 ? , 2 2 2n ? 2n ? 3 , n ? N * ,则由 f (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2n ? 5 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 设 f ( n) ? n 2 2n ? 3 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2 5 f ( n)
2n 2n ? 5

得 f ( n) ?

2n ? 3 , n ? N * 随 n 的增大而减小?当n ? ?? 时, Tn ? 3 n 2

又 Tn ? m(m ? Z ) 恒成立,? mmin ? 3 (3)由题意得 p ? 记 F (n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )对n ? N * 恒成立 a1 a2 an 2n ? 1

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ,则 a1 a2 an 2n ? 1

10

F (n ? 1) ? F ( n)
? 2(n ? 1) ?1 2(n ? 1)

1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) a a a a 2n ? 2 2(n ? 1) 2n ? 3 1 2 n n ?1 ? ? 1 1 1 1 (2n ? 1)(2n ? 3) 4(n ? 1) 2 ? 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

? F (n) ? 0,? F (n ? 1) ? F (n),即F (n) 是随 n 的增大而增大
F (n) 的最小值为 F (1) ?
2 2 2 3 ,? p ? 3 ,即 p max ? 3. 3 3 3
*

2、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 ? n, Sn ? 都在函数 f ( x ) ? x ? ? ?
? n ?

an 的图象 2x

上. (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值,猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明; (Ⅱ)将数列 {an } 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ), ( a2 , a3 ), ( a4 , a5 ,

a6 ),( a7 , a8 , a9 , a10 );( a11 ),( a12 , a13 ),( a14 , a15 , a16 ),( a17 , a18 , a19 , a20 );( a21 ),?,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺
序构成的数列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值;

? a ? 1? (Ⅲ)设 An 为数列 ? n ? 的前 n 项积,是否存在实数 a ,使得不等式 An an ? 1 ? f (a) ? an ? 3 2a ? an ?
对一切 n ? N 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
*

解:(Ⅰ)因为点 ? n, 故

? ?

an Sn ? ? 在函数 f ( x ) ? x ? 2 x 的图象上, n?

Sn a 1 ? n ? n ,所以 S n ? n 2 ? an . n 2n 2 1 令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ; 2 1 令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 4 ? a2 ,所以 a2 ? 4 ; 2 1 令 n ? 3 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? a3 ,所以 a3 ? 6 . 2
由此猜想: an ? 2n .

11

用数学归纳法证明如下: ① 当 n ? 1 时,有上面的求解知,猜想成立. ② 假设 n ? k (k ? 1) 时猜想成立,即 ak ? 2k 成立,

1 an ( n ? N * ) , 2 1 1 2 2 故 S k ?1 ? ( k ? 1) ? ak ?1 , S k ? k ? ak . 2 2 1 1 两式相减,得 ak ?1 ? 2k ? 1 ? ak ?1 ? ak ,所以 ak ?1 ? 4k ? 2 ? ak . 2 2
则当 n ? k ? 1 时,注意到 S n ? n ?
2

由归纳假设得, ak ? 2k , 故 ak ?1 ? 4k ? 2 ? ak ? 4k ? 2 ? 2k ? 2(k ? 1) . 这说明 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由①②知,对一切 n ? N , an ? 2n 成立 .
*

(Ⅱ) 因为 an ? 2n( n ? N ) , 所以数列 ?an ? 依次按 1 项、 2 项、 3 项、 4 项循环地分为 (2) ,
*

(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32), (34, 36,38,40); (42) ,?. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号, 故

b100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数
组成的数列是等差数列,且公差为 20. 同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为 20. 故各组第 4 个括号中 各数之和构成等差数列,且公差为 80. 注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68, 所以 b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988 .又 b5 =22,所以 b5 ? b100 =2010. (Ⅲ)因为

an ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? 1 ? ,故 An ? ?1 ? 1 ??1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? , an an ? a1 ?? a2 ? ? an ?
? ? 1 ?? 1? ??1 ? ? ? a1 ?? a2 ? ? 1? ? ? 1 ? ? 2n ? 1 . ? an ?

所以 An an ? 1 ? ?1 ? 又 f (a) ? 故 An

an ? 3 a a ?3 3 , ?a? n ? n ? a? 2a 2a 2a 2a a ?3 * 对一切 n ? N 都成立,就是 an ? 1 ? f (a ) ? n 2a

? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? ? ? a1 ?? a2 ?

? 1? 3 * ? ?1 ? ? 2n ? 1 ? a ? 对一切 n ? N 都成立. 2a ? an ?
12

设 g ( n) ? ? 1 ?

? ?

1 ?? 1? ??1 ? ? ? a1 ?? a2 ?

3 ? 1? 即可. ? ?1 ? ? 2n ? 1 ,则只需 [ g (n)]max ? a ? 2 a a n ? ?

由于

4 n 2 ? 8n ? 3 g (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1, ? ?1 ? ? ? ? ? g ( n) 4 n 2 ? 8n ? 4 ? an?1 ? 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1

所以 g (n ? 1) ? g (n) ,故 g (n) 是单调递减,于是 [ g (n)]max ? g (1) ?

3 . 2



(a ? 3)(2a ? 3) 3 3 3 ? 0 ,解得 ? ? a ? ,即 ? a ? 0 ,或 a ? 3 . a 2 2a 2
*

综上所述,使得所给不等式对一切 n ? N 都成立的实数 a 存在, a 的取值范围是

(?

3 , 0) ( 3, ??) . 2

3 、 已知点列 An ?xn ,0? 满足: A0 An ? A1 An ?1 ? a ? 1 ,其中 n ? N ,又已 知 x0 ? ?1 ,

x1 ? 1 ,a ? 1 .
(1)若 xn?1 ? f ?xn ? n ? N ? ,求 f ? x ? 的表达式; (2)已知点 B

?

?

? a, 0? ,记 a

n

? BAn ?n ? N ? ?,且 an?1 ? an 成立,试求 a 的取值范围;
a ?1 。 2? a

(3)设(2)中的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,试求: Sn ?

解:(1)∵ A0 (?1,0) , A1 (1,0) ,∴ A0 An ? A1 An ?1 ? ( xn ? 1)( xn ?1 ? 1) , ∴ ( xn ? 1)(xn?1 ?1) ? a ?1,∴ xn ?1 ? f ( xn ) ? ∴ f ( x) ?

xn ? a , xn ? 1

x?a . x ?1

(2)∵ BAn ? ( xn ? a ,0) ,∴ an ? BAn ? x n ? a . ∵ an ?1 ? x n ?1? a ? f ( xn ) ? a
? xn ? a ( a ? 1) ? a ? ? xn ? a ? ( a ? 1) ? xn ? a ? ( a ? 1)an xn ? 1 xn ? 1
13

∴要使 an ?1 ? an 成立,只要 a ?1 ? 1 ,即 1 ? a ? 4 ∴ a ? (1,4] 为所求. (3)∵ an ?1 ? ( a ? 1) xn ? a ? ( a ? 1) ? x n ?1? a ? …
2

? ( a ? 1)n ? x1? a ? ( a ? 1)n ?1 ,
∴ an ? ( a ? 1)n ∴ Sn ? a1 ? a2 ? ?? an ? ( a ?1) ? ( a ?1)2 ? ?? ( a ?1)n

?

( a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1)n 2? a

?

?

∵ 1 ? a ? 4 ,∴ 0 ? a ? 1 ? 1 ,∴ 0 ? ( a ? 1)n ? 1 ∴ Sn ?

a ?1 2? a
2

4、已知 f ( x ) 在 (?1,1) 上有定义, f ( 1 ) ? 1 且满足 x, y ? (?1,1) 时有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ),
1 ? xy

若数列 ?xn ? 满足 x1 ?

2 xn 1 。 , xn?1 ? 2 1 ? xn 2

(1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 在 (?1,1) 上为奇函数; (2)探索 f ( xn?1 )与f ( xn ) 的关系式,并求 f ( xn ) 的表达式; (3)是否存在自然数 m,使得对于任意的 n ? N * ,有
1 1 1 ? ? ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? 1 m ? 8 恒成立?若存在,求出 m 的最小值,若不存在, ? f ( xn ) 4

请说明理由。
(1) 令x ? y ? f (0) ? 0, 0? y 令x ? 0 ? f (0) ? f ( y ) ? f ( ) ? f ( y) 1? 0? y ? f (? y ) ? ? f ( y ) ? f ( x)在( ? 11 , )上为奇函数.

14

2x x ? (? xn ) (2) f ( xn ?1 ) ? f ( n 2 ) ? f [ n ] ? f ( xn ) ? f (? xn ) ? 2 f ( xn ) 1 ? xn 1 ? xn (? xn ) ? f ( xn ?1 ) ? 2(常数) ?? f ( xn )? 为等比数列, f ( xn )

1 又f ( x1 ) ? f ( ) ? 1,q ? 2 2 ? f ( xn ) ? 2n ?1.

(3)假使存在自然数m满足题设,则 1 1 1 ? ? ? f ( x 1) f (x 2 ) f (x 3) ? 1 1 1 ? 1 ? ? ( )2 ? f (x n ) 2 2 1 ? ( ) n ?1 2

1 m ?8 =2-( ) n ?1 ? 对于任意的n ? N * 成立, 2 4 8 ? m ? 16 ? n 对于任意的n ? N * 成立, 2 ? m ? 16 即m的最小值为16.

5、数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ?

1 2

1 . 2 ? an

(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,证明 Sn ? n ? ln( 解:(Ⅰ)方法一: an?1 ? 1 ? 所以

a ?1 1 ?1? n , 2 ? an 2 ? an

n?2 ). 2

2 ? an 1 1 . ? ? ?1 ? an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

所以

1 n ? ?n ? 1 ,所以 an ? . an ? 1 n ?1

方法二: a2 ?

2 4 n 3 , a3 ? , a4 ? ,猜测 an ? . 3 5 n ?1 4

下用数学归纳法进行证明.

1 ,命题成立; 2 k ②假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N )时成立,即 ak ? ,那么 k ?1 1 1 k ?1 ? ? 当 n ? k ? 1 , ak ?1 ? , k 2 ? ak 2 ? k?2 k ?1
①当 n ? 1 时,由题目已知可知 a1 ? 也就是说,当 n ? k ? 1 时命题也成立.
15

综上所述,数列 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 则 F ?( x) ?

n . n ?1

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

函数 F ( x) 为 (0, ??) 上的减函数,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ?
S n ? n ? ln( n?2 ) 2

? [1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)]

6、已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x ) ≤0 的解集有且只有 一个元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,设数列{ an }的前

n 项和 Sn ? f (n) .
(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2) 设各项均不为 0 的数列 { bn } 中, 所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 { bn } 的变号数,令 bn ? 1 ?

a ? ( n ? N ),求数列{ bn }的变号数; an

(3)设数列{ cn }满足: cn ? 求出该项,若不存在,说明理由.

? a ?a
i ?1 i

n

1

,试探究数列{ cn }是否存在最小项?若存在,

i ?1

解(1)∵不等式 f ( x ) ≤0 的解集有且只有一个元素 ∴ ? ? a ? 4a ? 0
2

解得 a ? 0 或 a ? 4

2 当 a ? 0 时函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 递增,不满足条件② 2 当 a ? 4 时函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 在(0,2)上递减,满足条件②

16

综上得 a ? 4 ,即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 . (2)由(1)知 Sn ? n2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ≥2时 an ? Sn ? Sn?1 = (n ? 2)2 ? (n ? 3)2 = 2n ? 5 ∴ an ? ?

?1, (n ? 1) ?2n ? 5.(n ? 2)

??3, (n ? 1) 由题设可得 b ? ? 4 ? n 1? .(n ? 2) ? ? 2n ? 5

∵ b1 ? ?3 ? 0, b2 ? 1 ? 4 ? 5 ? 0 , b3 ? ?3 ? 0 ,∴ i ? 1 , i ? 2 都满足 bi ? bi ?1 ? 0 ∵当 n ≥3时, bn ?1 ? bn ?

4 4 8 ?0 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

即当 n ≥3时,数列{ bn }递增, ∵ b4 ? ?

1 4 ? 0 ,由 1 ? ? 0 ? n ? 5 ,可知 i ? 4 满足 bi ? bi ?1 ? 0 3 2n ? 5

∴数列{ bn }的变号数为3. (3)∵ cn ? ?
i ?1 n

1 1 1 = 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4 ai ? ai ?1
?(

?

1 , 由(2)可得: an an?1

1 1 1 1 cn ? ?1 ? (?1) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5

1 1 ? )] 2n ? 5 2n ? 3

3 1 1 1 4 ? 3n ? 2 (2n ? 3) ? 2 3 1 = ?2 ? (1 ? = )? ?? ? 2 2n ? 3 2n ? 3 2n ? 3 2 2(2n ? 3)
∵当 n ? 2 时数列{ cn }递增,∴当 n ? 2 时, c2 ? ?2 最小, 又∵ c1 ? ?1 ? c2 , ∴数列{ cn }存在最小项 c2 ? ?2 〔或∵ cn ?

? a ?a
i ?1 i

n

1

i ?1

= 1 ? 1 ? 1 ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

1 ,由(2)可得: an an?1

1 1 1 1 cn ? ?1 ? (?1) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5

?(

1 1 4 ? 3n 1 1 )? ? )] = ?2 ? (1 ? 2 2n ? 3 2n ? 3 2n ? 5 2n ? 3
17

对于函数 y ?

4 ? 3x 2x ? 3

∵ y' ?

?3(2 x ? 3) ? 2(4 ? 3x) 1 ?0 ? 2 (2 x ? 3) (2 x ? 3)2

3 ∴函数 y ? 4 ? 3 x 在 ( , ??) 上为增函数,∴当 n ? 2 时数列{ cn }递增, 2 2x ? 3
∴当 n ? 2 时, c2 ? ?2 最小, 又∵ c1 ? ?1 ? c2 , ∴数列{ cn }存在最小项 c2 ? ?2

7、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

a (an ? 1) (a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ). a ?1

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an
1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . ? 1 ? an 1 ? an ?1

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 cn ?

1 求证: Tn ? 2n ? . 3
解:(Ⅰ)

S1 ?

a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a, a- 1
a a an ? an?1 , a ?1 a ?1

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

an ? a ,即 {an } 是等比数列. ∴ an ? a ? an?1 ? an ; an ?1
2? a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ? 1 ? an a n (a ? 1)
3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ? 故(

3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 1 ) ? 3? ,解得 a ? , 2 a a 3 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 3 1 所以 a ? . 3
(III)证明:由(Ⅱ)知 an ? ( )n ,所以 cn ?

1 3

1 1 3n 3n?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 3

18

3n ? 1 ? 1 3n ?1 ? 1 ? 1 1 1 ? n ?1 ?1? n ? 1 ? n ?1 n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ? 2?( n ? n?1 ) , 3 ? 1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n?1 ? n?1 得 n ? n?1 ? n ? n?1 , 3 ? 1 3 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 1 3 1 1 所以 cn ? 2 ? ( n ? n?1 ) ? 2 ? ( n ? n?1 ) , 3+ 1 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? c1 ? c2 ? ? cn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? [2 ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( n ? n?1 )] ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 即 Tn ? 2n ? . 3 ?
8 、已知 f ( x) ? ? 4 ?

1 1 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn (a n ,? ) 在曲线 y ? f ( x) 上 2 an?1 x

(n ? N * ) 且 a1 ? 1, an ? 0 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 数列 {bn } 的前 n 项和为且 Tn 满足

Tn?1 T 设定 b1 的值使得数列 {bn } ? 2n ? 16n 2 ? 8n ? 3 , 2 an an?1

是等差数列; 1 (3)求证: S n ? 4n ? 1 ? 1, n ? N * . 2 解:(1) ? 1 ? f (a n ) ? ? 4 ? 1 且a n ? 0 2 a n ?1 an ∴ 1 ? 4? 1 2 a n ?1 an ∴数列 { ∴ 1 ? 1 ? 4(n ? N *) 2 2 an?1 an

1 an
2

} 是等差数列,首项

1 an
2

? 1 公差 d=4
1 4n ? 3



1 an
2

? 1 ? 4(n ? 1)

∴ an ?

2

19

∵ an ? 0

∴ an ?

1 an ? 3
, Tn?1
2

(n ? N *)

(2)由 an ?

1

4n ? 3 an

? 16n 2 ? 8n ? 3

得 (4n ? 3)Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)(4n ? 1) ∴

Tn ?1 Tn ? ?1 4n ? 1 4n ? 3



Tn ? T1 ? n ? 1 4n ? 3

∴ Tn ? (4n ? 3)(T1 ? n ? 1) 若 {bn } 为等差数列,则 T1 ? 1 ? 0, T1 ? 1 即b1 ? 1 ∴ bn ? 8n ? 7 (3) a n ? ∴ an ?

n?N *

1 4n ? 3

2 2 4n ? 3

?

2 4n ? 3 ? 4n ? 1

?

4 n ? 1 ? 4n ? 3 2

∴ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

1 ( 5 ? 1) ? ( 9 ? 5 ) 2

1 1 4n ? 1 ? 1 ? 4n ? 1 ? 1 n? N * 2 2 9、已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,且同时满足:对任意 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 2 , f (1) ? 3 ; 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (1)求 f (0) 的值; ? ? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3 ) ?
(2)试求 f ( x) 的最大值; (3)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , S n ? ? 求证: f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a n ) ?

1 (a n ? 3) 2

n? N *,

3 1 . ? 2n ? 2 2 ? 3 n ?1

解:(1)令 x1 ? x2 ? 0 ,则 f (0) ? 2 ,又由题意,有 f (0) ? 2

? f (0) ? 2 ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 (2)任取 且 x1 ? x 2 ,则 0< x2 ? x1 ? 1 ? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x) 的最大值为 f (1) ? 3

20

1 (3)由 a1 ? 1 , S n ? ? (a n ? 3) 2

n? N *

1 ? S n ?1 ? ? (a n ?1 ? 3) 2

n?2

又由 an ? S n ? S n?1

(n ? 2)

? an ?

1 a n ?1 3

( n ? 2)

1 1 ? 数列 {an } 为首项为 1,公比为 的等比数列, ? a n ? n ?1 3 3
当 n ? 1 时, f (a1 ) ? f (1) ? 3 ? 当 n ? 2 时, f ( a 2 ) ? f ( )

3 1 ,不等式成立, ?2? 2 2 ? 31?1

1 3

1 7 1 1 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f ( ? ? ) ? f ( ) ? f ( ? ) ? 2 ? 3 f ( ) ? 4 , ? f ( ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 7 3 1 不等式成立 ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (1) ? f ( ) ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 2 ? 32?1 假设 n ? k 时,不等式成立。 3 1 即 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a k ) ? ? 2k ? 2 2 ? 3 k ?1 则 当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 1 1 f (a k ?1 ) ? f ( k ) ? f ( k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ) ? 3 f ( k ?1 ) ? 4 3 3 3 3 3 1 1 1 4 1 1 1 4 ? f ( k ?1 ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? k ? 1,2,3,4 ,? 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 4 1 1 4 4 4 ? f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? ? ? k ?1 f ( ) ? k ?1 ? ? 2 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 2 1 ? k ? 2 ? k ?1 ? 2 ? k 3 3 3 3 ? f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a k ?1 ) ? ? 2k ? 1 k ?1 ? 2 ? 1k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 k 2 2 2?3 3 2?3 即 n ? k 时,不等式成立 故 对 n ? N * ,原不等式成立。
10、已知函数 y ? 1 ?

1 的图象按向量 m ? (2,1) 平移后便得到函数 f ( x) 的图象,数列 {an } 满 x?2
*

足 an ? f (an?1 ) (n≥2,n?N ). (Ⅰ)若 a1 ? (Ⅱ)若 a1 ?

1 3 ,数列 {bn } 满足 bn ? ,求证:数列 {bn } 是等差数列; an ? 1 5

3 ,数列 {an } 中是否存在最大项与最小项,若存在,求出最大项与最小项,若 5

不存在,说明理由; (Ⅲ)若 1 ? a1 ? 2 ,试证明: 1 ? an ?1 ? an ? 2 .

21

解: f ( x) ? 1 ?

1 * 1 1 (n≥2,n?N ). ? 1 ? 2 ? ,则 an ? 2 ? an ?1 x?2?2 x
?

(Ⅰ) b ? 1 n

an ? 1

1 a 1 ? n?1 , bn ?1 ? a ? 1 , 1 n ?1 2? ? 1 an?1 ? 1 an?1

∴ bn ? bn ?1 ? an ?1 ?

* 1 ? 1 (n≥2,n?N ).∴数列 {bn } 是等差数列. an ?1 ? 1 an ?1 ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 {bn } 是等差数列,首项 b1 ? 则其通项公式 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , 由 bn ?

1 5 ? ? ,公差为 1, a1 ? 1 2

5 2

7 2

1 2 得 an ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,故 an ? 1 ? . 7 an ? 1 2n ? 7 bn
n? 2

构造函数 y ? 1 ?

4 2 ? 0. ,则 y ? ? (2 x ? 7) 2 2x ? 7

2 7 7 在区间 (??, ) , ( , ??) 上为减函数. 2x ? 7 2 2 7 7 2 ∴当 x ? 时, y ? 1 ? ? 1,且在 (??, ) 上递减,故当 n ? 3 时, bn 取最小值 b3 ? ?1 ; 2 2 2x ? 7 7 7 2 当x? 时, y ? 1 ? ? 1 ,且在 ( , ??) 上递减, 2 2 2x ? 7
函数 y ? 1 ? 故当 n ? 4 时, bn 取最大值 b4 ? 3 .故存在. (Ⅲ)先用数学归纳法证明 1 ? an ? 2 ,再证明 an?1 ? an . ①当 n=1 时, 1 ? a1 ? 2 成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 1 ? ak ? 2 ,

1 1 1 3 则当 n=k+1 时, ? ? 1 , ak ?1 ? 2 ? ? (1, ) ,则 1 ? ak ?1 ? 2 ,故当 n=k+1 时也成立. 2 ak ak 2
综合①②有,命题对任意 n?N 时成立,即 1 ? an ? 2 .下证 an?1 ? an .
*

∵ an?1 ? an ? 2 ?

1 1 1 ? an ? 2 ? (an ? ) ? 2 ? 2 an ? ? 0 ,∴ an?1 ? an .综上所述: 1 ? an?1 ? an ? 2 . an an an

【总结点评】本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体,充分展示了《考试大纲》 “构
22

造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,体现思维的发散性”的题目,这需 要我们加强这一方面的训练,需要从多层次、多角度去思考问题.
3 2 11、设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且当 n ? N 时, an ? an (1 ? an?1 ) ? 1 ? an?1

?

(1) 比较 an 与 an ?1 的大小,并证明你的结论;
2 ? (2) 若 b ? (1 ? an ) 1 ,其中 n ? N ,证明: 0 ? ? bk ? 2. n 2

n

an?1 an

k ?1

3 2 3 2 解:(1)由于 an ? an (1 ? an?1 ) ? 1 ? an?1 ,则 an?1 ? an ? an 2? 1 , 1 ? an

1 2 3 3 2 2 an ? an ?1 an ? an ? 1 (an ? 2 ) ? 4 ∴ an ?1 ? an ? ? an ? ? ? 0 ,∴ an?1 ? an 2 2 2 1 ? an 1 ? an 1 ? an
2 2 2 (2)由于 b ? (1 ? an ) 1 ,由(1) an?1 ? an ,则 an ? 1 ,1 ? an ? 0 , n 2 2 2

an?1 an

an?1

an?1

而 an?1 ? an

? a1 ? 1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,∴ ? bk ? b1 ? b2 ?
k ?1

n

? bn ? 0.

2 2 2 又 b ? (1 ? an ) 1 ? an?1 ? an ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2an?1 (an?1 ? an ) n 2 2 2 2

an?1 an

an an?1

an an?1

an an?1

∴ bn ? 2(an?1 ? an ) , bn ? 2( 1 ? 1 ) an an?1 an an?1 ∴ ? bk ? b1 ? b2 ?
k ?1 n

? bn ? 2[(

1 1 1 1 ? )?( ? )? a1 a2 a2 a3

?(

1 1 1 1 , ? )] ? 2( ? ) an an?1 a1 an?1

而 an?1 ? an ,且 a1 ? 1 ,故 an?1 ? 0 ∴ ? bk ?
k ?1 n
n n 2 ,因此 ? bk ? 2 ,从而 0 ? ? bk ? 2. a1 k ?1 k ?1

12、已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 是定义在 R 上的奇函数,且当 x=1 时 f(x)取最大值 1. x2 ? c

(1)求出 a,b,c 的值并写出 f(x)的解析式; (2)若 x1∈(0,1),xn+1=f(xn),试比较 xn+1 与 xn 的大小并加以证明; (3)若 x1 ?
2 2 1 , xn ?1 ? f ( xn ) ,求证 ( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? 2 x1 x2 x2 x3

?

( xn ? xn?1 )2 5 . ? xn xn?1 16

解:(1)∵ f ( x ) ?

ax ? b 的定义域为 R,∴c>0 x2 ? c
ax ? b ?ax ? b ? ? 0 , b=0 , x2 ? c x2 ? c

又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,

23

∴ f ( x) ?

ax ,又 f(1)=1,∴a=1+c>0,∴当 x>0 时, f ( x) ? c ? 1 ? c ? 1 x ?c c 2 c x? x
2

∴ c ? 1 ? 1,? c ? 1 2 c

∴a=2,b=0,c=1,

f ( x) ?

2x x ?1
2

(2) xn ?1 ?

2 xn * ,∵x1∈(0,1),∴xn+1>0(n∈N ) 2 xn ? 1

又 xn?1 ? f ( xn ) ? 1且xn?1 ? 1, 则xn ? 1从而x1 ? 1与x1 ? (0,1) 矛盾,∴xn+1<1
3 ∴ xn?1 ? xn ? 2 xn ? xn ? xn ? xn ? xn (1 ? xn )(1 ? xn ) ? 0 2 2 xn ?1 xn 2 ? 1 xn ?1

∴xn+1>xn。

(3)∵0<xk<1, ∴ xk ?1 ? xk ? xk (1 ? xk ) 1 ? xk ? 1 2

1 2 ?2 xk ? 1

xk ? 1

4 x ?1? k

?

1 1 2 ?1 ? 4 2 2 ?2 8

2 ∴ ( xk ? xk ?1 ) ? xk ?1 ? xk ( xk ?1 ? xk ) ? 2 ? 1 ( 1 ? 1 ) xk xk ?1 xk xk ?1 8 xk xk ?1

( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 ? ? x1 x2 x2 x3

?

( xn?1 ? xn )2 2 ?1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? xn xn?1 8 x1 x2 x2 x3

?(

1 1 ? )] xn xn?1

?

2 ?1 1 1 2 ?1 1 ( ? )? (2 ? ) 8 x1 xn?1 8 xn?1
∵ x1 ?

1 1 1 , xn?1 ? xn ? ? xn?1 ? 1,?1 ? ?2 2 2 xn?1

3 ?1 ( xk ? xk ?1 ) 2 2 ?1 5 ?? ? (2 ? 1) ? 2 ? x x 8 8 16 k ?1 k k ?1
n

24


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