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高中数学二项式定理练习题

选修 2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1.二项式(a+b)2n 的展开式的项数是( A.2n C.2n-1 B.2n+1 D.2(n+1) ) )

2.(x-y)n 的二项展开式中,第 r 项的系数是( A.Cr n
r-1 C.Cn r+1 B.Cn
-1 D.(-1)r-1Cr n

3.在(x- 3)10 的展开式中,x6 的系数是( A.-27C6 10
6 C.-9C10 4 B.27C10

)

D.9C4 10 )

3 4.(2010· 全国Ⅰ理,5)(1+2 x)3(1- x)5 的展开式中 x 的系数是( A.-4 C.2 B.-2 D.4

1? ? 5.在?2x3+x2?n(n∈N*)的展开式中,若存在常数项,则 n 的最小值是( ? ? A.3 C.8 B.5 D.10 )

)

6.在(1-x3)(1+x)10 的展开式中 x5 的系数是( A.-297 C.297 B.-252 D.207

1? ? 7.(2009· 北京)在?x2-x?n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的一个值可以是 ? ? ( ) A.3 C.5 B.4 D.6

a 8.(2010· 陕西理,4)(x+x)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于 ( ) A.-1 1 B.2 C.1
1

D.2

9.若(1+2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值范围是 ( ) 1 1 A.12<x<5 1 2 C.12<x<3 1 1 B.6<x<5 1 2 D.6<x<5 )

?3 1? 10.在? 2x- ?20 的展开式中,系数是有理数的项共有( 2? ? A.4 项 C.6 项 二、填空题 B.5 项 D.7 项

11.(1+x+x2)· (1-x)10 的展开式中,x5 的系数为____________. 12.(1+x)2(1-x)5 的展开式中 x3 的系数为________. 1? 5 ? 13. 若?x2+ax?6 的二项展开式中 x3 的系数为2, 则 a=________(用数字作答). ? ? 1 14.(2010· 辽宁理,13)(1+x+x2)(x-x )6 的展开式中的常数项为________. 三、解答题 15.求二项式(a+2b)4 的展开式.

16.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中 x 的系数为 19,求 x2 的系 数的最小值及此时展开式中 x7 的系数.

1 n 3 17.已知在( x- ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 2 x
2

(1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

1 ? ? x+ ?n 18.若? 4 ? 展开式中前三项系数成等差数列.求:展开式中系数最 ? 2 x? ? 大的项.

3

1.[答案] [解析]

B 2[答案] ∵Tr+1=Cr 10x

D 3 [答案]

D

10-r

(- 3)r.令 10-r=6,

4 解得 r=4.∴系数为(- 3)4C4 10=9C10.

4[答案] [解析]

C 3 3 (1+2 x)3(1- x)5=(1+6 x+12x+8x x)(1- x)5,

3 3 3 0 故(1+2 x)3(1- x)5 的展开式中含 x 的项为 1×C3 所以 x 的系数为 5(- x) +12xC5=-10x+12x=2x, 2. 5[答案] [解析] B
3 n Tr+1=Cr n(2x )
-r

(x1 ) =2
2 r

n-r

3n · Cr nx

-5r

.

令 3n-5r=0,∵0≤r≤n,r、n∈Z. ∴n 的最小值为 5. 6[答案] [解析] D x 应是(1+x)10 中含 x5 项与含 x2 项.
5

2 ∴其系数为 C5 10+C10(-1)=207.

7[答案] [解析]

D 1 - r r 2n-3r 通项 Tr+1=C10 (x2)n r(- )r=(-1)rCn x ,常数项是 15,则 2n=3r,且 Cr n=15,验证 n=6 x

时,r=4 合题意,故选 D. 8[答案] [解析] D a - r 5-r 2r-5 Cr xr( )5 r=C5 · a x ,令 2r-5=3,∴r=4, 5· x

由 C4 a=10,得 a=2. 5· 9[答案] [解析] 10[答案] [解析] A
1 ?T2>T1 ?C62x>1 1 1 由? 得? 1 2 ∴12<x<5 . ?T2>T3 ?C62x>C2 (2 x ) 6

A 1 r 3 - 20-r?- ? ? 2?r ( 3 2)20-rCr20· Tr+1=Cr x20 r, 20( 2x) ? 2? =?- 2 ? ·

∵系数为有理数, ∴( 2)r 与 2
20-r 3

均为有理数,

∴r 能被 2 整除,且 20-r 能被 3 整除, 故 r 为偶数,20-r 是 3 的倍数,0≤r≤20. ∴r=2,8,14,20. 11[答案] 12[答案] [解析] -162 5 解法一:先变形(1+x)2(1-x)5=(1-x)3· (1-x2)2=(1-x)3(1+x4-2x2),展开式中 x3 的系数为-

1+(-2)· C1 3(-1)=5;
3 1 2 2 1 解法二:C3 C2 5(-1) +C2· 5(-1) +C2C5(-1)=5.

4

13[答案] [解析] 14[答案] [解析]

2 1 2 3 C3 6(x ) · ax -5 1 (1+x+x2) x-x
6 6 6

5 x = x ,∴a=2. ( ) =20 a 2
3 3 3 3

( ) 1 1 1 =(x-x ) +x(x- x ) +x (x-x ) , 1 1 1 ∴要找出(x-x ) 中的常数项, 项的系数, 项的系数,T x x
2 6 6 2

- r 6-r r 6-2r (-1)rx r=Cr , r+1=C6x 6(-1) x

令 6-2r=0,∴r=3, 令 6-2r=-1,无解. 令 6-2r=-2,∴r=4.
4 ∴常数项为-C3 6+C6=-5.

15[解析]
n

根据二项式定理
- -

n 1 n 1 n k k n (a+b) =C0 b+…+Ck b +…+Cn na +Cna na nbn得 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4 (a+2b)4=C0 4a +C4a (2b)+C4a (2b) +C4a(2b) +C4(2b) =a +8a b+24a b +32ab +16b .

16[解析]

由题设 m+n=19,∵m,n∈N*.

?m=1 ?m=2 ?m=18 ∴? ,? ,…,? . ?n=18 ?n=17 ?n=1 1 2 1 2 2 2 x2 的系数 C2 m+Cn=2(m -m)+2 (n -n)=m -19m+171.
7 ∴当 m=9 或 10 时,x2 的系数取最小值 81,此时 x7 的系数为 C7 9+C10=156.

17[解析]

1 r - r 3 (1)Tr+1=Cn · ( x)n r· (- ) 3 2 x

1 - 1 1 =Cr (x )n r· (- · x- )r n· 3 2 3 n-2r 1 =(- )r· Cr x . n· 2 3 ∵第 6 项为常数项, ∴r=5 时有 (2)令 n-2r =0,∴n=10. 3

n-2r 1 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2

1 2 45 ∴所求的系数为 C2 10(-2) = 4 .

? 3 ∈Z (3)根据通项公式,由题意得:? 0≤r≤10 ?r∈Z
10-2r 令 10-2r =k(k∈Z),则 10-2r=3k, 3 10-3k 3 =5- k. 2 2 5

即 r=

∵r∈Z,∴k 应为偶数,∴k 可取 2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项. 1 2 15 它们分别为 C2 (- )2· x ,C5 10· 10(-2 ) , 2 1 -2 C8 (- )8· x . 10· 2 [解析] 1 ? - ? 通项为:Tr+1=Cr ( x)n r· ? 4 ?r. n· ?2 x?

1 2 1 由已知条件知:C0 =2C1 ,解得:n=8. n+Cn· n· 22 2 记第 r 项的系数为 tr,设第 k 项系数最大,则有: tk≥tk+1 且 tk≥tk-1.
1 又 tr=Cr 2 8 ·
- - - + -r+1

,于是有:


k 1 k 2 k 1≥C8 · 2 k ?C8 · ? k-1 -k+1 k-2 -k+2 2 ≥C8 · 2 ?C8 ·

×2≥ , ?(k-1)!· (9-k)! k!(8-k)! 即? 8! 8! ≥ ×2. ?(k-1)!· (9-k)! (k-2)!· (10-k)! 8! 8!

? 2 ≥1 ?9-k k, ∴? 1 2 ? ?k-1≥10-k.

解得 3≤k≤4.

∴系数最大项为第 3 项 T3=7· x5和第 4 项 T4=7· x4.

3

7

6


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