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第二章 第3节 第1课时 平面向量基本定理_图文

第1课时

平面向量基本定理

[课前反思] (1)平面向量基本定理: ; (2)基底: ; (3)基向量: ; (4)向量的夹角: .

平面向量基本定理
不共线向量 条 e1、e2 是同一平面内的两个



件 结 这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数λ1,λ 2,使 λ1e1+λ2e2 论 a= . 基 不共线 的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 底 组基底.

[问题思考] (1)0 能与另外一个向量 a 构成基底吗?

提示:不能.基向量是不共线的,而 0 与任意向量 是共线的.
(2)平面向量的基底是唯一的吗?

提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以 作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用 这一基底唯一表示.

(3)如果 e1,e2 是共线向量,那么向量 a 能否用 e1,e2 表示?为什么?
提示: 不一定, 当 a 与 e1 共线时可以表示, 否则不能表示.

问题
(1)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点,它们 存在夹角吗?

提示:存在.
(2)两个非零向量夹角 θ 的取值范围是什么?当非零向量 a 与 b 共线时,它们的夹角是多少?
提示:两个非零向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180°.当非 零向量 a 与 b 共线时,它们的夹角是 0°或 180°.

[课前反思] (1)平面向量基本定理: ; (2)基底: ; (3)基向量: ; (4)向量的夹角: .

讲一讲 1.如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M, N 分别是 DC 和 AB 的中点,若 试用 a,b 表示

[尝试解答] 是平行四边形.

如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD

用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有 两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转 化,直至能用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程 组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.

练一练 1.如图所示,已知在?ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 边上的中点.若 ,试用 a,b 为基底表示向量

解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别是 BC,DC 边上的中点,

讲一讲 2.已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60°,则 a+b 与 a 的夹角是多少?a-b 与 a 的夹角又是多少?

两个向量夹角的实质及求解的关键 (1)实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起 点出发的两个非零向量构成的角. (2)关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移 的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二 证三算”的步骤,并结合平面几何知识求出两个向 量的夹角.

练一练 2.如图,已知△ABC 是等边三角形.

(1)求向量

的夹角; 的夹角.

(2)若 E 为 BC 的中点,求向量

解:(1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°. 如图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD,

∵∠DBC=120°,

(2)∵E 为 BC 的中点, ∴AE⊥BC, ∴ 的夹角为 90°.

讲一讲 3.如图,在矩形 OACB 中,E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点, 满足 AC=3AE, BC=3BF, 若 其中 λ,μ ∈R,求 λ,μ 的值. ,

(1)平面向量基本定理唯一性的应用 设 a, b 是同一平面内的两个不共线向量, 若 x1a+y1b=x2a
? ?x1=x2, +y2b,则? ? ?y1=y2.

(2)重要结论 设 e1,e2 是平面内一组基底,

练一练 3.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求证: AP∶PM=4∶1.

所以

?1 ?2 ? 1 ? λ?2b+2c?-μ?3c-b?=b, ? ? ? ?

?1 ? ?1 2 ? 即?2λ+μ?b+?2λ-3μ?c=b. ? ? ? ?

?1 ?2λ+μ=1, 又因为 b 与 c 不共线,所以? ?1λ-2μ=0. 3 ?2 ? 4 ?λ=5, 解得? ?μ=3. 5 ?

即 AP∶PM=4∶1.

———————[课堂归纳· 感悟提升]———————— 1.本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向 量的夹角,难点是平面向量基本定理的应用. 2.本节课要重点掌握以下三个问题 (1)用基底表示向量,见讲 1; (2)求向量的夹角,见讲 2; (3)用平面向量基本定理解决相关问题,见讲 3.

3.本节课的易错点有两处 (1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分
? π? ? 别是[0,π]和?0, ? . ? 2? ?

(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一 点所成的角如练 2.


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