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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:平面向量(含答案)

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:平面向 量
一、选择题 1 . (2013 届北京海淀一模理科)若向量 a , b 满足

| a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为





1 A. 2 ?

1 B. 2

C. ?1

D. 1

2 . (2013 届东城区一模理科)已知 ABCD 为平行四边形,若向量 AB ? a , AC ? b ,则向量 BC 为 (

??? ?

??? ?

??? ?



C. b ? a D. ?a ? b ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? 3 . (2013 届东城区一模理科)已知向量 OA , AB , O 是坐标原点,若 AB ? k OA ,且 AB 方向是沿 OA 的方 B. a + b 向绕着 A 点按逆时针方向旋转 ? 角得到的,则称 OA 经过一次 (? , k ) 变换得到 AB .现有向量 OA=(1,1) 经过 一次 (?1 , k1 ) 变换后得到 AA , AA 经过一次 (? 2 , k2 ) 变换后得到 A1 A2 ,…,如此下去, An?2 An?1 经过一次 1 1

A. a ? b

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

?????

???????? ?

??????? ??????? 1 1 ,则 y ? x 等于 ( (? n , kn ) 变换后得到 An?1 An .设 An?1 An ? ( x, y) , ? n ? n ?1 , kn ? 2 cos ?n
1 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2 A. 1 1 sin1sin ?sin n ?1 2 2 1 2cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 C. 1 1 sin1sin ?sin n ?1 2 2 1 2sin[2 ? ( ) n ?1 ] 2 B. 1 1 cos1cos ? cos n ?1 2 2 1 2 cos[2 ? ( ) n ?1 ] 2 D. 1 1 cos1cos ? cos n ?1 2 2



? ??? ? 4 . (2013 届房山区一模理科数学)在△ABC 中, AB ? AC , AC ? 1 ,点 D 满足条件 ??? BD ? 3 BC ,则 AC ? AD 等
于 A. 3 B. 1 C. ( )

???? ????

3 2

D.

1 2

5 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, m) , 且 a ∥ b ,

( ) D. 4 6 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学) △ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 B. C. ?4

则 m 的值为 A. ?1

??? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于
A.

( D. 2 3



3 2

B. 3

C. 3

7 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) 已知向量 a )

? ? ? ? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且 a ? (2a ? b) ,
( )

D.14 8 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) , 点 C 在第二象限内, ?AOC ? A. 3 ,1

则实数 k ? A. ? 14

B. ? 6

C.6

??? ? ??? ? ??? ? 5? ,且|OC|=2,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? , ? 的值是 ( 6
C.-1, 3 D. ? 3 ,1



B.1, 3

9 .【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )向量 (

a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实
( )

数 x 的值为 A. ?1

1 B. 2 ?

1 C. 3 ?

D. 1

10.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, (

??? ? ??? ? ??? ? AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则AD ?
A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1)





11. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义

? ?? ?

? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? ? ? ,若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) 3 ? ??
( )

中,则 a ? b = n { | n ? Z} 2 A.

1 2

B.

C.

3 2

D.

3 2

二、填空题 12. (2013 届北京大兴区一模理科)已知矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD= 1 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,则

??? ??? ???? ? ? ( AE + AF ) AC 等于



13. (2013 届北京丰台区一模理科)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=1,BC=2,E 是 CD 的中点, 则

??? ??? ? ? CD ? BE ?

.

14. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知 | a |? 1 , | b |? 2 ,向量 a 与 b 的夹角为 60 ,则 | a ? b |?
?

?

?

?

?

?

?

.

15. (2013 届北京西城区一模理科)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______.

??? ??? ? ?

16. (2013 届门头沟区一模理科)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、DC 的中点,则向量

??? ??? ? ? AE ? AF ?



17. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )在 ?ABC 中, D 为 BC

中点,若 ?BAC ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 AD 的最小值是

???? ????

????

.

18. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向

量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____.
19. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )在边长为的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,

则 AB ? AD 的取值范围是

??? ???? ?


?

20. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4, BC ? 2 , D

是 BC 的中点,那么 ( AB ? AC) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC (包括边界)内任

uur uuu u r

uuu r

一点.则 AD ? EP 的取值范围是___________.
21. 【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , (

uuu uur r

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?
三、解答题



北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:平面向量参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6.

A C B A C 【答案】C 【解析】由 2OA ? AB ? AC ? 0 得 OA ? AB ? OA ? AC ? OB ? OC ? 0 ,所以 OB ? ?OC ? CO ,即 O 时

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? BC 的中点,所以 BC 为外接圆的直径, BC ? 2 。则 ?BAC ? 90? ,因为 OA ? AB ,所以 ?ABO 为正三

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 CA? ? CA ?CB cos30? ? 2 ? 3 ? CB ? 3, ?ABO ? 60? , ?ACB ? 30? , AC ? 3 , 角形, 所以 且 所以 2
选 C.
7.

答案 D 因为 a ? (2a ? b) ,所以 a ? (2a ? b) ? 0 ,即 2 a ? a ? b ? 0 ,所以 2 ? 5 ? (?4 ? k ) ? 0 ,解得 k ? 14 .选

?

? ?

?

? ?

?2

? ?

D. 8. 【答案】D 解 : 因 为

5? ?A O ?C 6

, 所 以

? ? ? ? 5? ? ? ? ???? ??? ? ? 5? ? ? ? O ,A O ?C ? 。 ? OC , OB ?? ? ? 6 6 2 3

。 则

???? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ???? ? ?? 5? 3 , 即 ? ? 2 ?( ? 。 ) ? ? 3 O C ? O? A ? ? ( O ,? 。) OC ? ? (? , ? )?(1, 0) ? OC OA cos ? B ? OA 6 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ? 1 OC ? ? (? , ? )?(0,1) ? OC OB cos ,即 ? ? 2 ? ? 1 ,所以 ? ? ? 3, ? ? 1,选 D. OB 3 2
9.

【答案】A 解:由 a ? b ?| a | 得 3x ? 4 ? 2 ? 32 ? 42 ? 5 ,即 3x ? 8 ? 5 ,解得 x ? ?1 ,选 A.

10. 【答案】D

解:因为 AB ? (2, 4), AC ? (1,3), 所以 BC ? AC ? AB ? (?1, ?1) ,即 AD ? BC ? (?1, ?1) ,选 D.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? ? b?a |b | ? ? ?n ? ? ? 11. 【 解 析 】 C; 因 为 b ? a ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 1 , 且 a ? b 和 b ? a 都 在 集 合 ? | n ? Z ? 中 , 所 以 a?a | a | ?2 ?
? ? 1 b?a ? 2
,

? |b| 1 ? ? | a | 2 cos ?

,





? ? ? |a| a ? b ? ? cos ? ? 2 cos 2 ? |b|

,



? ? ? 1 1 3 ?? ? (0, ),? ? cos ? ? 1,? ? 2 cos 2 ? ? 2 故有 a ? b ? 1或 ,选 D. 3 2 2 2

? ? ? ? |a| ? ? |b| k1 k kk 2 【 另 解 】 C; a ? b ? ? cos ? ? , b ? a ? ? cos ? ? 2 , 两 式 相 乘 得 cos ? ? 1 2 , 因 为 4 2 2 |b| |a|
? ?? ? ? ? 0, ? , k1 , k2 均 为 正 整 数 , 于 是 1 ? cos ? ? k1k2 ? 1 , 所 以 1 ? k1k2 ? 4 , 所 以 k1k2 ? 2或3 , 而 ? 3? 2 2 ? ? ? ? 3 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3, k2 ? 1 或 k1 ? 2, k2 ? 1 ,于是 a ? b ? ,选 D.

2

二、填空题 12. 13. 14. 15. ? 16. 1 17.

15 2
-1;

7
3 2

2 2

18. 【答案】 k ? ?1

解: ka ? b ? k (1,3)+(?21) ? (k ? 2,3k ?1) ,因为向量 c 与向量 ka ? b 共线,所以 2(k ? 2) ? 3(3k ? 1)=0 , , 解得 k ? ?1 。
19. 【答案】 [ ,1]

? ?

1 2



解 析 】 因 为

D



BC

? 上 , 所 以 设 BD ? x,0 ? x ? 1 , 则 B D

? ? ??

? ? ?? x B。 所 以 C

??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? ??? ? ? ? 1 AB ? AD ? AB ? ( AB ? BD) ? AB ? AB ? BD ? 1 ? x cos120? ? 1 ? x , 因 为 0 ? x ? 1 , 所 以 2 ??? ???? ? 1 1 1 ? 1 ? x ? 1 ,即 AB ? AD 的取值范围数 [ ,1] 。 2 2 2
20. 【答案】2; [?9,9]

CD ? 解: ( AB ? AC ) ? AD ? CB g( AC ? CD) ? CB g

uur uuu u r

uuu r

uur uuu r

uuu r

uur uuu r

1 uur 2 1 2 CB ? ? 2 ? 2 . 2 2

将 直 角 三 角 形 放 入 直 角 坐 标 系 中 , 则 A(0, 4), B(2,0), E (1, 2), D(1,0) , 设 P( x, y) , 则

u u ur u u r A D E P 1 , ?g4 ) (? ? ? ( x
移直线 y ?

1y, ?

? )x ? ,令 z ? x ? 4 y ? 7 ,则 y ? 2 y4 ? 7

1 7?z 1 x? ,做直线 y ? x ,平 4 4 4

1 1 7?z x, 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 A 时, 直线的截距最大, 但此时 z 最小, 当直线 经 4 4 4

过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大。即 z 的最下值为 z ? ?4 ? 4 ? 7 ? ?9 ,最大值为 z ? 2 ? 7 ? 9 ,

即 ?9 ? AD ? EP ? 9 。 AD ? EP 的取值范围是 [?9,9] 。
21. 【答案】 4

uuu uur r

uuu uur r

解:

,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为 P 是斜边 AB 上的一个三等 ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? AP ? AB , 所 以 C ?P C A ? A P?, C A以 ? A 分 点 , 所 以 所 3 3 ??? ??? ??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 8 CP? ? CA ? AB? ? 4 ? ? 2 2 ? 2 cos135? ? CA CA , 3 3 3 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? 8 4 ? ? ? ? 4 CP? ? CA? ? AB ? ? ? 2 2 ? 2 cos 45? ? ,所以 CP ? CB ? CP ? CA ? ? ? 4 。 CB CB CB 3 3 3 3 3


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