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288ysb.com:最新高中数学极坐标与参数方程试题(选修4-4)

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极坐标与参数方程练习 1

·一.选择题(每题 5 分共 60 分)

1.设椭圆的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

a cos? b sin ?

?0

??

? ? ?, M ?x1,

y1 ? ,

N?x2 ,

y2 ? 是椭圆上两点,

M,N 对应的参数为?1 ,? 2 且 x1 ? x2 ,则

A.?1 ? ? 2 B.?1 ? ? 2 C.?1 ? ? 2 D.?1 ? ? 2

2.直线:3x-4y-9=0

与圆:

?x

? ?

y

? ?

2 c os? 2 s in ?

,(θ

为参数)的位置关系是(

)

A.相切

B.相离

C.直线过圆心

D.相交但直线不过圆心

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为 ? 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程是 3
()

A.

? ?? ? ? ??

x ?1? y ?5?

1t 2 3
2

t

B.

? ??

x ?1?

?

? ??

y

?

5

?

1t 2 3
2

t

C.

? ??

x ?1?

?

? ??

y

?

5

?

1t 2 3
2

t

D.

? ??

x ?1?

?

? ??

y

?

5

?

1t 2 3
2

t

4.参数方程

??x ?

?

t

?

1 t

(t 为参数)所表示的曲线是 (

)

?? y ? ?2

A.一条射线 B.两条射线

C.一条直线

D.两条直线

5.若动点(x,y)在曲线 x 2 ? y 2 ? 1(b>0)上变化,则 x2 y 的最大值为 4 b2

(A)

?? b 2 ?4

?4

?? 2b

(0 ? b ? 4) ; (b ? 4)

(B)

?? b 2 ?4

?4

?? 2b

(0 ? b ? 2) ;(C) b2 ? 4 (D) 2b。

(b ? 2)

4

6.实数 x、y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值为( )

A、 7 2

B、4 C、 9 D、5 2

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7.曲线的参数方程为

? ? ?

x ? 3t 2 y ? t2

?2 ?1

(t

是参数),则曲线是

A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线

8. 已知动园: x2 ? y 2 ? 2ax cos? ? 2by sin? ? 0(a,b是正常数 ,a ? b,?是参数) ,则
圆心的轨迹是

A、直线

B、圆

C、抛物线的一部分

D、椭圆

9.

在参数方程

?x

? ?

y

? ?

a b

? ?

t t

cos? s in ?

(t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参

数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是

10.设 r

?

0 ,那么直线

x cos?

?

y sin?

?

r??是常数

?与圆

?x

? ?

y

? r cos???是参数?的位置
? r sin?

关系是

A、相交

B、相切

C、相离

D、视 的大小而定

11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的是

12.已知过曲线

?x

? ?

y

? 3cos? ? 4sin?

??为参数,0

??

?

? ? 上一点

P,原点为

O,直线

PO

的倾斜角

为 ? ,则 P 点坐标是 4

A、(3,4)

B、

????

3

2 2

,2

2 ????

C、(-3,-4)

D、 ??12 ,12 ?? ?5 5?

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二.填空题(每题 5 分共 25 分)
13.过抛物线 y2=4x 的焦点作倾斜角为 的弦,若弦长不超过 8,则 的取值范围是 ________________________________。

14.直线

?x ?

?

?2

?

2t?t为参数?上与点 P?? 2,3?距离等于

2 的点的坐标是

? y ? 3 ? 2t

15.圆锥曲线

?x

? ?

y

? ?

2 tan? 3sec?

??为参数?

的准线方程是

16.直线 l

过点

M0

?1,5? ,倾斜角是

? 3

,且与直线

x

?

y

?

2

3 ? 0 交于 M ,则 MM0 的长



17.曲线

?x

? ?

y

? ?

a b

sec? tan?

(α为参数)与曲线

?x

? ?

y

? ?

a b

tan sec

? ?

(β为参数)的离心率分

别为 e1 和 e2,则 e1+e2 的最小值为_______________.

三.解答题(共 65 分

18. 求直线??x

?

2?t (t为参数)被双曲线x 2

?

y2

? 1上截得的弦长。

?y ? 3t

19.已知方程



(1)试证:不论 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;
(2)? 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长?并求出此弦长。

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20.已知椭圆

?x

? ?

y

? ?

4 c os? 5 s in ?

上两个相邻顶点为

A、C,又

B、D

为椭圆上的两个动点,且

B、D

分别在直线 AC 的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

21.已知过点 P(1,-2),倾斜角为 ? 的直线 l 和抛物线 x2=y+m 6
(1)m 取何值时,直线 l 和抛物线交于两点?
(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为 4 3 ? 2 . 3
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极坐标与参数方程练习 1 参考答案

答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B A B D D B B D D

13.

?

?

?? ?? 4

,3? 4

? ??

;14. ?? 3,4?, ??1,2? ; 15. y ? ? 9 13 ;16.10 ? 6 3 ;17. 2 2
13

18.解:把直线参数方程化为标准参数方程

???x ?

?

2

?

1 2

t (t

为参数)

? ??

y

?

3t 2

代入x 2 ? y 2

? 1,得:?? 2 ? 1 t ?2

?? 2 ?

?

????

3t 2

?2 ???

?1

整理,得: t 2? 4t ? 6 ? 0

设其二根为 t1 ,t2 ,则 t1 ? t2 ? 4,t1 ?t2 ? ?6

从而弦长为AB ? t1 ? t2 ? ?t1 ? t2 ?2 ? 4t1 t2 ? 42 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

19(1)把原方程化为 ?y ? 3sin? ?2 ? 2(x ? 4 cos? ) ,知抛物线的顶点为 ?4 cos? ,3sin? ?它

是在椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上;(2)当 16 9

时,弦长最大为 12。

20、 20 2

21.(1)m> 23 ? 4 3 ,(2)m=3 12

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极坐标与参数方程单元练习 2
(一)选择题:

[

]

A.(2,-7)

B.(1,0)

A.20°

B.70° C.110°

D.160°

[

]

A.相切 B.相离 C.直线过圆心



D.相交但直线不过圆

A.椭圆

B.双曲线 C.抛物线

[

]

C.5 (二)填空题:
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D.6

D.圆

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8.设 y=tx(t 为参数),则圆 x2+y2-4y=0 的参数方程是______. 10.当 m 取一切实数时,双曲线 x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0 的中心的轨 迹方程为______. (三)解答题:
时矩形对角线的倾斜角α.
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13.直线 l 经过两点 P(-1,2)和 Q(2,-2),与双曲线(y-2)2-x2=1 相 交于两点 A、B, (1)根据下问所需写出 l 的参数方程; (2)求 AB 中点 M 与点 P 的距离.
14.设椭圆 4x2+y2=1 的平行弦的斜率为 2,求这组平行弦中点的轨迹.
15.若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线.现测得我炮位 A 与炮 击目标 B 在同一水平线上,水平距离为 6000 米,炮弹运行的最大高 度为 1200 米.试求炮弹的发射角α和发射初速度 v0(重力加速度 g=9.8 米/秒 2).
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极坐标与参数方程单元练习 2 参考答案
(一)1.C 2.C 3.D 4.B 5.A (二)6.(1,0),(-5,0) 7.4x2-y2=16(x≥2)
9.(-1,5),(-1,-1) 10.2x+3y=0 (三)11.圆 x2+y2-x-y=0.
14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,
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设弦 AB 的中点为 M(x,y),则
15.在以 A 为原点,直线 AB 的 x 轴的直角坐标系中,弹道方程是 它经过最高点(3000,1200)和点 B(6000,0)的时间分别设为 t0 和 2t0, 代入参数方程,得
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极坐标与参数方程单元练习 3
一.选择题(每题 5 分共 50 分)
1.已知 M ?? ? 5, ? ?? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是 ? 3?

A. ??5,? ? ?? B. ??5, 4? ?? C. ??5,? 2? ?? D. ?? ? 5,? 5? ??

? 3?

? 3?

? 3?

?

3?

? ? 2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是

A. ?? 2, ? ?? B. ?? 2, 4? ?? C. ?? 2,? ? ?? D. ?? 2,? 4? ??

? 3?

? 3?

? 3?

? 3?

3.极坐标方程 ? ? cos?? ? ? ? ?? 表示的曲线是 ?4 ?
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
4.圆 ? ? 2(cos? ? sin? ) 的圆心坐标是

A. ??1, ? ?? B. ?? 1 , ? ?? C. ?? 2, ? ?? D. ?? 2, ? ??

? 4?

?2 4?

? 4?

? 4?

5.在极坐标系中,与圆 ? ? 4sin? 相切的一条直线方程为

A. ? sin? ? 2 B. ? cos? ? 2 C. ? cos? ? 4 D. ? cos? ? ?4

6、 已知点 A?? ? 2,? ? ??, B?? 2, 3? ??,O?0,0?则 ?ABO为
? 2? ? 4 ?
A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形
7、? ? ? (? ? 0) 表示的图形是 4
A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆
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8、直线? ? ? 与 ? cos(? ? ?) ? 1的位置关系是

A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、与 有关,不确定

9.两圆 ? ? 2cos? , ? ? 2sin? 的公共部分面积是

A. ? ? 1 B.? ? 2 C. ? ? 1 D. ?

42

2

2

10.已知点 P1 的球坐标是 P1 (2

3,?

,

? 4

)

,

P2

的柱坐标是

P2

(

5,? ,1) ,求 P1P2 .

A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 2
二.填空题(每题 5 分共 25 分)
11.极坐标方程 4? sin 2 ? ? 5 化为直角坐标方程是 2
12.圆心为 C?? 3, ? ?? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?

13.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 ,则极点到直线的距离是 42

14、在极坐标系中,点 P ?? 2, 11? ?? 到直线 ? sin(? ? ? ) ? 1 的距离等于____________。

? 6?

6

15、与曲线 ? cos? ?1 ? 0 关于? ? ? 对称的曲线的极坐标方程是 4
________________________。
三.解答题(共 75 分)

16.说说由曲线 y ? tan x 得到曲线 y ? 3 tan 2x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换。(7 分)

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17.已知 P??5, 2 ? ?? ,O 为极点,求使 ?POP' 是正三角形的 P ' 点坐标。(8 分) ? 3?
18.棱长为 1 的正方体 OABC ? D' A' B'C ' 中,对角线 OB' 与 BD' 相交于点 P,顶点 O 为坐
标 原 点 , OA 、 OC 分 别 在 x轴, y轴 的 正 半 轴 上 , 已 知 点 P 的 球 坐 标 P??,?,? ? , 求
?, t a n?,s in? 。(10 分)
19. ?ABC的底边 BC ? 10, ?A ? 1 ?B, 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方 2
程。(10 分)
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? ? 20.在平面直角坐标系中已知点 A(3,0),P 是圆珠笔 x 2 ? y 2 ? 1 上一个运点,且 ?AOP

的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 (10 分)

P Q

O

A

21、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ??3, ? ?? ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。 ? 6?
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹方程。(10 分)
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精品文档 22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2 ( >0),半圆外一条直线 与 AB 所在直
线垂直相交于点 T,并且∣AT∣=2 a(2a ? r ) 。若半圆上相异两点 M、N 到 的距离∣MP∣, 2
∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。 (10 分)
23.如图, AD ? BC ,D 是垂足,H 是 AD 上任意一点,直线 BH 与 AC 交于 E 点,直线 CH 与 AB 交于 F 点,求证: ?EDA? ?FDA(10 分)
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极坐标与参数方程单元练习 3 参考答案

答案

一.选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A

C

D

A

B

D

A

B

C

A

二.填空题

11. y 2 ? 5x ? 25 ;12.? ? 6 cos??? ? ? ?? ;13. 2 ; 14. 3 ? 1;15. ? sin? ?1 ? 0

4

? 6?

2

三.解答题
16.解: y ? tan x 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y ? tan 2x , 2
再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y ? 3 tan 2x 。

设 y ' ? 3 tan x' ,变换公式为

? x' ? ?x, ? ? 0

? ?

y

'

?

?y, ?

?

0

将其代入 y ' ? 3 tan x' 得

?? ? ????

? ?

3 1
2

,?

?? ? ??

x' y

'

? ?

1
2 3

x y

17. P ' (5, ? ) 或 P' (5,? ) 3

18. ? ? 3 a, tan? ? 2,sin? ? 1 2

19.解:设 M ??,? ?是曲线上任意一点,在 ?ABC

中由正弦定理得:

? sin(? ?

3?

)

?

10 sin ?

2

2

得 A 的轨迹是: ? ? 30 ? 40sin 2 ? 2

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q??,? ? , P?1,2? ?

? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP
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? 1 ? 3? sin? ? 1 ? sin? ? 1 ? 3?1? sin 2?

2

2

2

? ? 3 cos? 2

21.(1) ? 2 ? 6? cos??? ? ? ?? ? 0 ? 6?

(2) ? 2 ?15? cos??? ? ? ?? ? 50 ? 0 ? 6?
22.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为
? ? 2r cos? , 设 M ??1,?1 ?, N (?2 ,?2 ) , 则 ?1 ? 2r c o?s1 , ?2 ? 2r cos?2 , 又

MP ? 2a ? ?1 c o?s1 ? 2a ? 2r c o2s?1 , NQ ? 2a ? ?2 cos?2 ? 2a ? 2r cos2 ?2 ,

? MP ? 2a ? 2r cos2 ?1 ? 2r cos?1

? NQ ? 2a ? 2r cos2 ?2 ? 2r cos?2

?cos?1, cos?2 是 方 程 r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 :

cos?1 ? cos?2 ? 1, MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos?2 ? 2r ? AB

证法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

? ? 2r cos? ,设 M ??1,?1 ?, N (?2 ,?2 )

又由题意知, M ??1,?1 ?, N (?2 ,?2 ) 在抛物线 ?

? 2a 1? cos?

上,? 2r cos?

? 2a 1 ? cos?



r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 ,?cos?1, cos?2 是方程 r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 的两个根,由

韦达定理: cos?1 ? cos?2 ? 1, MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos?2 ? 2r ? AB

23.证明:以 BC 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,设 A(0, a) , A
B(b,0) , C(c,0) , H (0,t) ,则

l BH

:

x b

?

y t

? 1,即 tx ? by

? bt

?

0

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F E
H

B

D

C

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lCH

:

x c

?

y t

? 1,即 tx ? cy ? ct

?

0

l AC

:

x c

?

y a

? 1 ,即 ax

?

cy

?

ac

?

0

l AB

:

x b

?

y a

? 1,即 ax

?

by

?

ab

?

0

? E?? bc?a ? t? , ?b ? c?t ?? ,? F?? bc?t ? a? , at?c ? b???

? ab ? ct ab ? ct ?

? bt ? ac ac ? bt ?

? kDE

?

?b ? c?at ?ab ? ct?

?

?ab ? ct? bc?a ? t?

?

?b ? c?at bc?a ? t?

? kDF

?

?c ? b?at ?ac ? bt?

?

?bt ? ac? bc?t ? a?

?

?

?b ? c?at bc?a ? t?

??EDC ? ?FDB, ?EDA? ?FDA

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坐标系与参数方程单元练习 4

一、选择题

1.若直线的参数方程为

?x

? ?

y

? 1? 2t ? 2 ? 3t

(t为参数)

,则直线的斜率为(



A. 2 3
C. 3 2

B. ? 2 3
D. ? 3 2

2.下列在曲线

?x

? ?

y

? ?

sin 2? cos? ?

sin

?

(?为参数)

上的点是(



A. (1 , ? 2) B. (? 3 , 1) C. (2, 3) D. (1, 3)

2

42

3.将参数方程

?? ? ??

x y

? ?

2? sin

sin 2?

2

?

(?

为参数)

化为普通方程为(



A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( ) A. x2 ? y2 ? 0或y ? 1 B. x ?1 C. x2 ? y2 ? 0或x ? 1 D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( )

A. (2, ? ) B. (2, ? ? ) C. (2, 2? ) D. (2, 2k? ? ? ), (k ? Z )

3

3

3

3

6.极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为( )

A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆

二、填空题

1.直线

?x

? ?

y

? ?

3 ? 4t 4 ? 5t

(t为参数)

的斜率为______________________。

2.参数方程

?? ? ??

x y

? ?

et ? 2(et

e?t ? e?t

)

(t为参数)

的普通方程为__________________。

3.已知直线

l1

:

?x

? ?

y

? 1? 3t ? 2 ? 4t

(t为参数)

与直线

l2

:

2x

?

4

y

?

5

相交于点

B

,又点

A(1,

2)



则 AB ? _______________。

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4.直线

? ??

x

?

? ??

y

? ?

2? 1t 2
?1? 1 2

t

(t为参数) 被圆

x2

?

y2

?

4

截得的弦长为______________。

5.直线 x cos? ? y sin? ? 0 的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1.已知点 P(x, y) 是圆 x2 ? y2 ? 2 y 上的动点,

(1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线

l1

:

?? ? ??

x y

? ?

1? ?5

t ?

3t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆 x2 ? y2 ? 1上找一点,使这一点到直线 x ? 2y ?12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

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坐标系与参数方程单元练习 4 参考答案

一、选择题

1.D k ? y ? 2 ? ?3t ? ? 3 x ?1 2t 2

2.B 转化为普通方程: y2 ? 1? x ,当 x ? ? 3 时, y ? 1

4

2

3.C 转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

4.C ?(? cos? ?1) ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 0,或? cos? ? x ?1

5.C (2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3
6.C ? cos? ? 4sin? cos? , cos? ? 0,或? ? 4sin? ,即? 2 ? 4? sin?

则? ? k? ? ? , 或 x2 ? y2 ? 4 y 2

二、填空题

1. ? 5 k ? y ? 4 ? ?5t ? ? 5

4

x ? 3 4t 4

2. x2 ? y2 ? 1, (x ? 2) 4 16

?x ? et ? e?t

?

?y ?? 2

?

et

? e?t

?

? ??

x

?

? ??

x

? ?

y 2 y 2

? ?

2et 2e?t

?

(x

?

y )(x 2

?

y) 2

?

4

3. 5 2



?x

? ?

y

? 1? 3t ? 2 ? 4t

代入 2x ? 4y

?5得t

?

1 2

,则 B(5 , 0) ,而 2

A(1, 2) ,得

AB

?

5 2

4 . 14

直线为 x ? y ?1? 0 ,圆心到直线的距离 d ? 1 ? 2 ,弦长的一半为 22

22 ? ( 2 )2 ? 14 ,得弦长为 14

2

2

5.? ? ? ? ? 2
三、解答题

? cos? cos? ? ? sin? sin? ? 0,cos(? ??) ? 0 ,取? ?? ? ? 2

1.解:(1)设圆的参数方程为

?x

? ?

y

? cos? ?1? sin?



2x ? y ? 2 cos? ? sin? ?1 ? 5 sin(? ? ?) ?1

?? 5 ?1? 2x ? y ? 5 ?1

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(2) x ? y ? a ? cos? ? sin? ?1? a ? 0

?a ? ?(cos? ? sin? ) ?1 ? ? 2 sin(? ? ? ) ?1 4
?a ? ? 2 ?1

2.解:将

?? x ?

?

1

?

t

代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 ,

?? y ? ?5 ? 3t

得 P(1? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3)2 ? 62 ? 4 3

3.解:设椭圆的参数方程为

?? ?

x

?

4

cos?

4 cos? ? 4 3 sin? ?12 ,d ?

?? y ? 2 3 sin?

5

? 4 5 cos? ? 3 sin? ? 3 ? 4 5 2cos(? ? ? ) ? 3

5

5

3

当 cos(?

?

?) 3

? 1 时,

dmin

?

45 5

,此时所求点为 (2, ?3) 。

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坐标系与参数方程单元练习 5

一、选择题

1.直线

l

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

a b

? ?

t t

(t为参数)

,l

上的点

P1

对应的参数是

t1

,则点

P1



P(a,

b)

之间的距离是( )

A. t1

B. 2 t1

C. 2 t1

D.

2 2 t1

2.参数方程为

??x ?

?

t

?

1 t

(t为参数)

表示的曲线是(



?? y ? 2

A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线

3.直线

???x ?

?

1

?

1 2

t

(t为参数) 和圆 x2 ? y2 ? 16 交于 A, B 两点,

? ??

y

?

?3

3?

3t 2

则 AB 的中点坐标为( )

A. (3, ?3) B. (? 3, 3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) 4.圆 ? ? 5 cos? ? 5 3 sin? 的圆心坐标是( )

A. (?5, ? 4? ) B. (?5, ? ) C. (5, ? ) D. (?5, 5? )

3

3

3

3

5.与参数方程为

?? x ?

?

t

(t为参数) 等价的普通方程为( )

?? y ? 2 1? t

A. x2 ? y2 ? 1 4

B. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

C. x2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 2) D. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)

4

4

6.直线

?x

? ?

y

? ?2 ? t ?1?t

(t为参数)

被圆

(x

?

3)2

?

(y

? 1)2

?

25 所截得的弦长为(



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A. 98 B. 40 1 C. 82 D. 93 ? 4 3 4

二、填空题

1.曲线的参数方程是

??x ?

?

1

?

1 t

(t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。

?? y ? 1? t2

2.直线

?x

? ?

y

? ?

3 ? at ?1? 4t

(t为参数)

过定点_____________。

3.点 P(x,y)是椭圆 2x2 ? 3y2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan? ? 1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。
cos?
5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

三、解答题

1.参数方程

?x

? ?

y

? ?

cos? (sin? sin? (sin?

? cos? ) ? cos? )

(?为参数)

表示什么曲线?

2.点 P 在椭圆 x2 ? y2 ? 1上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9
3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角? ? ? , 6
(1)写出直线 l 的参数方程。
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(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

坐标系与参数方程单元练习 5 参考答案
一、选择题
1.C 距离为 t12 ? t12 ? 2 t1
2.D y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2,或x ? ?2 ,所以表示两条射线

3.D

(1? 1 t)2 ? (?3 2

3?

3 2

t)2

? 16 ,得 t2

? 8t ? 8 ? 0 , t1

? t2

? 8, t1

? t2 2

?

4

中点为

? ??

x

?

?

1?

1 2

?

4

?

?? ?

x

?

3

? ??

y

?

?3

3?

3 ?4 2

?? y ? ? 3

4.A 圆心为 ( 5 , ? 5 3 ) 22

5.D x2 ? t, y2 ? 1? t ? 1? x2, x2 ? y2 ? 1,而t ? 0, 0 ? 1? t ? 1, 得0 ? y ? 2

4

4

6.C

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? t

t

?

?

??x ?

? ??

y

? ?

?2 ? 1?

2t 2t ?

?2 2 2
2

,把直线

?x

? ?

y

? ?2 ? ?1?t

t

代入

(x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 得 (?5 ? t)2 ? (2 ? t)2 ? 25, t2 ? 7t ? 2 ? 0

t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题

1.

y

?

x(x ? 2) (x ?1)2

(x

? 1)

1? x ? 1,t ? 1 ,而 y ?1?t2 , t 1? x

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y

?1? ( 1 )2 1? x

?

x(x ? 2) (x ?1)2

(x

? 1)

2. (3, ?1) y ?1 ? 4 , ?( y ?1)a ? 4x ?12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3,且y ? ?1 x?3 a

3. 22

椭圆为 x2 ? y2 ? 1,设 P( 6 cos? , 2sin? ) , 64

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin? ? 22 sin(? ? ?) ? 22

4. x2 ? y

? ? tan? ? 1 ? sin? , ? cos2 ? ? sin? , ? 2 cos2 ? ? ? sin? , 即 x2 ? y cos? cos2 ?

5.

? ?? ? ? ??

x y

? ?

4t 1? t2
4t 2 1? t2

x2

?

(tx)2

?

4tx

?

0

,当

x

?

0 时,

y

?

0 ;当

x

?

0 时,

x

?

4t 1? t2





y

? tx ,即

y

4t 2 ? 1?t2

,得

? ?? ? ? ??

x y

? ?

4t 1? t2
4t 2 1? t2

三、解答题

1.解:显然

y x

? tan? ,则

y2 x2

?1?

1 cos2 ?

, cos2 ?

?

1

y2 x2

?1

x ? cos2 ? ? sin? cos? ? 1 sin 2? ? cos2 ? ? 1 ? 2 tan? ? cos2 ?

2

2 1? tan2 ?



x

?

1 2

2 ?
1?

y
x y2 x2

1

?

1?

y2 x2

y ?1

?

x 1?

y2 x2

,

x(1?

y2 )?
x2

y ?1 x

得 x ? y2 ? y ?1 ,即 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 xx

2.解:设 P(4cos? ,3sin? ) ,则 d ? 12 cos? ?12sin? ? 24 5

12 2 cos(? ? ? ) ? 24

即d ?

4



5

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当 cos(?

??) 4

?

?1 时, dmax

?

12 (2 ? 5

2) ;

当 cos(?

?

?) 4

? 1 时, dmin

?

12 5

(2 ?

2) 。

3.解:(1)直线的参数方程为

? ??

x

?

? ??

y

?1? ?1?

t t

cos ? 6
sin ? 6

,即

?

??x ?

? ??

y

?1? ?1?

3 2 1t 2

t

?

(2)把直线

??x ?

?

1

?

3 t
2 代入 x 2 ? y 2 ? 4

? ??

y

?

1

?

1 2

t

得 (1? 3 t)2 ? (1? 1 t)2 ? 4,t2 ? ( 3 ?1)t ? 2 ? 0

2

2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

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