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第15讲:3章-1节


第一节

二维随机变量

一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结

一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
  设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S ? {e } , 设 X ? X (e ) 和 Y ? Y (e ) 是定义在 S 上的随机变量, 由它们构成的一个向量( X ,Y ) , 叫作二维随机向量 或二维随机变量.
图示
S
? X (e )

?e
? Y (e )

实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.

2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量 对于任意实数 x , y , , 二元函数 : F ( x , y ) ? P{( X ? x ) ? (Y ? y )} ? P{ X ? x ,Y ? y } 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .

  F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 域内的概率.

y

( x, y) ?

X ? x ,Y ? y

o

x

(2) 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 ? x1 时 F ( x2 , y ) ? F ( x1 , y ),

对于任意固定的 ,当y2 ? y1时F ( x , y2 ) ? F ( x , y1 ). x

2o 0 ? F ( x, y ) ? 1,

且有

lim 对于任意固定的 y , F ( ??, y ) ? x??? F ( x , y ) ? 0,

对于任意固定的x , F ( x,??) ? lim F ( x, y ) ? 0,
y ???

F ( ??,??) ? x ? ?? F ( x , y ) ? 0, lim
y ? ??

F ( ??,??) ? x ? ?? F ( x , y ) ? 1. lim
y ? ??

3o F ( x , y ) ? F ( x ? 0, y ), F ( x , y ) ? F ( x , y ? 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.

4o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 ? x2 , y1 ? y2 ,
有 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) ? 0.

证明

P{ x1 ? X ? x2 , y1 ? Y ? y2 }

? P{ X ? x2 , y1 ? Y ? y2 } ? P{ X ? x1 , y1 ? Y ? y2 } ? P{ X ? x2 ,Y ? y2 } ? P{ X ? x2 ,Y ? y1 } ? P{ X ? x1 ,Y ? y2 } ? P{ X ? x1 ,Y ? y1 } ? 0,

故 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) ? 0.

二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.

2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 X ,Y ) 所有可能取的 ( 值为 ( xi , y j ), i , j ? 1, 2,?, 记 P{ X ? xi , Y ? y j } ? pij , i , j ? 1, 2,?, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.

其中 pij ? 0,

?? pij ? 1. i ?1 j ?1

?

?

二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X
y1 y2 ? yj ?

Y

x1 p11
p12 ?

x2 p21
p22 ?

? ?
?

xi pi 1
pi 2 ?

? ?
?

p1 j ?

p2 j ?

?

pij ?

?

例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地

取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X ? i ,Y ? j } 的取值情况是: i ? 1,2,3,4,

j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 1 P{ X ? i ,Y ? j } ? P{Y ? j X ? i }P{ X ? i }? ? , i 4 i ? 1,2,3,4, j ? i .

于是 ( X ,Y ) 的分布律为

Y

X

1

2

3
1 12

4

1 2

1 4

1 8 1 8

0 0 0

1 12
1 12

3
4

0 0

0

1 16 1 16 1 16 1 16

例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别

表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).

?3 抽取两支都是绿笔 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 8 ? ? 3 , 抽取一支绿笔,一支红笔 ? ? ? P { X ? 0,Y ? 0}? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? 28 ? 3 ?? 2 ?? 3 ? ? 8 ? 3 P { X ? 0,Y ? 1} ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? 0 ?? 1 ?? 1 ? ? 2 ? 14

? 3 ?? 2 ?? 3 ? ? 8 ? 3 P { X ? 1,Y ? 1} ? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? 1 ?? 1 ?? 0 ? ? 2 ? 14 ? 3 ?? 2 ?? 3 ? ? 8 ? 1 P { X ? 0,Y ? 2}? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? 0 ?? 2 ?? 0 ? ? 2 ? 28 ? 3 ?? 2 ?? 3 ? ? 8 ? 9 P { X ? 1,Y ? 0}? ? ?? ?? ? ? ? ? , ? 1 ?? 0 ?? 1 ? ? 2 ? 28 ? 3 ?? 2 ? ? 3 ? ? 8 ? 3 P { X ? 2, Y ? 0} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 ?? 0 ?? 0 ? ? 2 ? 28

故所求分布律为
Y
X
0 1 2

0
1 2

3 28

9 28

3 28

3 14
1 28

3 14
0

0
0

例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. 1 2 2
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
1 2 1 2 1 1 P{ X ? 1,Y ? 2} ? ? ? , P{ X ? 2,Y ? 1} ? ? ? , 3 2 3 3 2 3 2 1 1 P{ X ? 2,Y ? 2} ? ? ? . 3 2 3

p11 ? 0,

1 p12 ? p21 ? p22 ? , 3

故 ( X , Y ) 的分布律为
Y X

1

2

1 2
下面求分布函数.

0 13

13 13

(1)当 x ? 1 或 y ? 1 时,

y
( 2, 2 )

F ( x , y )? P{ X ? x ,Y ? y } 2(1,2)

? 0;
(2)当1 ? x ? 2,1 ? y ? 2时,
F ( x , y ) ? p11 ? 0;

1

(1,1)

( 2,1)

o

1

2

x

( 3)当1 ? x ? 2, y ? 2时, F ( x , y ) ? p11 ? p12 ? 1 3 ;

y
2(1,2) 1 (1,1)
( 2, 2 )

( 2,1)

o

1

2

x

(4)当x ? 2,1 ? y ? 2时, F ( x , y ) ? p11 ? p21 ? 1 3; (5)当x ? 2, y ? 2时, F ( x , y ) ? p11 ? p21 ? p12 ? p22 ? 1.

所以( X ,Y ) 的分布函数为

?0, x ? 1 或 y ? 1, ?1 ? F ( x , y ) ? ? , 1 ? x ? 2, y ? 2, 或 x ? 2,1 ? y ? 2, ?3 ?1, x ? 2, y ? 2. ?

说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为

F ( x, y) ?

?x y?y pij , x? ?
i j

其中和式是对一切满足xi ? x , y j ? y 的 i , j 求和.

三、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y) ? ?

??? f (u, v ) d u d v , ??

y

x

则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 , 函数 f ( x , y ) 量 称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随 机变量 X 和 Y 的联合概率密度 .

2.性质
(1) f ( x , y ) ? 0.

( 2) ?

??? f ( x, y ) d x d y ? F (?, ?) ? 1. ??

?? ??

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) ? G } ? ?? f ( x , y ) d x d y .

? 2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 ? f ( x, y) . ?x?y

G

3.说明
几何上, z ? f ( x, y ) 表示空间的一个曲面 .

??? ??? f ( x, y ) d x d y ? 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P {( X ,Y ) ? G } ?

?? ??

P{ ( X ,Y ) ? G }的值等于以G为底 , 以曲面z ? f ( x , y ) 为顶面的柱体体积.

?? f ( x , y ) d x d y, G

例4

设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度

? 2e ?( 2 x ? y ) , x ? 0, y ? 0, f ( x, y) ? ? 其它. ?0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); ( 2) 求概率 P{Y ? X }.



(1) F ( x, y) ? ?

y

?? ??

?

x

f (u, v) d u d v

? y x 2e?(2u ?v ) d u d v, x ? 0, y ? 0, ??0 ?0 ?? ? 0 , 其他. ?

?(1 ? e?2 x )(1 ? e y ), x ? 0, y ? 0. 得 F ( x, y) ? ? ? 0, 其他.

(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y ? X } ? {( X , Y ) ? G},

P{Y ? X } ? P{( X , Y ) ? G}

? ?? f ( x, y ) d x d y
G

y

Y?X

??

??

0

?

??

y

2e

? (2u ?v )

dudv

G
O

x

1 ? . 3

四、两个常用的分布
1.均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 ?1 ? , ( x , y ) ? D, f ( x, y) ? ? S ?0, 其他. ? 则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.

例5 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,

试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,
y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .

?1 S , ( x , y ) ? D, 解 由 f ( x, y) ? ? 其他. y ? 0, y ? x?1 1 ? 2, ( x , y ) ? D, 得 f ( x, y) ? ? ?0, 其他. o ?1 x 当x ? ?1或y ? 0时, f ( x , y ) ? 0

? F ( x, y) ? ?

??? f (u, v ) d u d v ? 0; ??

x

y

当 ? 1 ? x ? 0,0 ? y ? x ? 1时,

? F ( x, y) ? ?
??
y ?1 ?1

??? f (u, v ) d u d v ??
x y y ?1 0

x

y

y
y ? x?1

1

d u?

u ?1

0

2 d v ? ? d u? 2 d v

? 1 y ? 1 xo

x

? ( 2 x ? y ? 2) y;

当 ? 1 ? x ? 0, y ? x ? 1 时,

? F ( x, y) ? ?
? ? d u?
?1 x u ?1 0

x

?? ??

?

y

f ( u, v ) d u d v
y

2 d v ? ( x ? 1)2 ;

1

y ? x?1

?1

xo

x

当 x ? 0,0 ? y ? 1 时,

? F ( x, y) ? ?
??
y ?1 ?1

??? f (u, v ) d u d v ??
0 y y ?1 0

x

y

d u?

u ?1

0

2 d v ? ? d u? 2 d v

? ( 2 ? y ) y;

y
1 ?1
y ?1o

y ? x?1

x

当 x ? 1, y ? 1 时,

F ( x, y ) ? ?

y

?? ??

?

x

f ( u, v ) d u d v ? ? d u?
?1

0

u ?1

0

2 d v ? 1.

所以 ( X , Y ) 的分布函数为

0, x ? ?1, 或 y ? 0, ? ?( 2 x ? y ? 2) y , ? 1 ? x ? 0, 0 ? y ? x ? 1, ? ? F ( x , y ) ? ? ( x ? 1)2 , ? 1 ? x ? 0, y ? x ? 1, ? (2 ? y ) y , x ? 0, 0 ? y ? 1, ? 1, x ? 1, y ? 1. ? ?

2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f ( x, y) ? 1 2πσ1σ 2 1 ? ρ
2 ?1 ? ( x ? μ1 )2 2 ρ ( x ? μ1 )( y ? μ2 ) ( y ? μ2 )2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 σ1σ 2 2(1? ρ ) ? σ1 σ2 ?

e

( ?? ? x ? ? , ? ? ? y ? ? ),

其中μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ均为常数, 且σ1 ? 0, σ2 ? 0,?1 ? ρ ? 1.

则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ的二维 正态分布.记为 2 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 2 , ρ)

二维正态分布的图形

推广
定义

n 维随机变量的概念
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是

S ? {e }, 设X 1 ? X 1 (e ), X 2 ? X 2 (e ),?, X n ? X n (e ), 是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向量 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量.

对于任意 n 个实数x1 , x2 ,?, xn , n 元函数

F ( x1 , x2 ,?, xn ) ? P{ X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn }
称为随机变量( X 1 , X 2 ,?, X n )的联合分布函数.

五、小结
1. 二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) ? P{ X ? x ,Y ? y }.

2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数
P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij ,

F ( x, y) ?

?x pij . x?
i

i , j ? 1,2,?;

3. 二维连续型随机变量的分布函数及概率密度

yj? y

F ( x, y) ? ?

??? f (u, v ) du d v . ??

y

x


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