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镇江市2017届高三一模数学答案及评分标准

高三数学答案及评分标准
一、填空题 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 5 考查内容 集合表示与运算 复数的运算 圆锥、扇形的面积 古典概率 三角函数图象与性质 等差、等比数列 函数性质,解不等式 技能能力 运算 运算 运算 运算 数形结合、运算 运算 数形结合、运算 要求 A A A A B B B

5 2


3 5
π 8
3

? ?5,0 ? ? 5, ?? ?

8

1? 2

双曲线的几何性质
2

运算

B

9

? x ? 1?

2

? ? y ? 4? ? 8



运算变形、转化

B

10 11

2n ? m
3 3

平面向量的数量积 导数

运算 运算

B C

12

? 0,1?

? 1 ? ? e 4 , ?? ? ? ? 恒成立问题,基本不等式,换元

运算

C

13 14 二、解答题

2

函数的性质 恒成立问题,导数的应用

运算变形、转化 运算变形,分析思维

C D

? 1

15. 解:法一(1)由 m ? n 得, 2cos ? ? sin ? ? 0 , 代入 cos ? ? sin ? ? 1 , 5cos ? ? 1 π π 且 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) , 2 2
2 2

sin ? ? 2cos ? ,

……2 分

2

则 cos ? ?

5 , 5

sin ? ?

2 5 , 5 5 2 3 ) ?1 ? ? . 5 5

……4 分 ……6 分

则 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 2 ? (

高三数学答案

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π π π π (2)由 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) 得, ? ? ? ? (? , ) . 2 2 2 2
3 10 10 ,则 cos(? ? ? ) ? . 10 10 则 sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? )
因 sin(? ? ? ) ? ……9 分

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2 π π 因 ? ? (0, ) ,则 ? ? . 4 2 ?
法二(1)由 m ? n 得, 2cos ? ? sin ? ? 0 , tan ? ? 2 ,
cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 4 3 ? ? ?? . cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 5 (2)由(1)知, 2cos ? ? sin ? ? 0 ,

……12 分 ……14 分 ……2 分 ……4 分

故 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

2

2

2

π π 且 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 , ? ? (0, ) , ? ? (0, ) , 2 2
2 5 5 , cos ? ? , 5 5 π π π π 由 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) 得, ? ? ? ? (? , ) . 2 2 2 2
则 sin ? ? ……6 分

3 10 10 ,则 cos(? ? ? ) ? . 10 10 则 sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? )
因 sin(? ? ? ) ?

……9 分

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2 π π 因 ? ? (0, ) ,则 ? ? . 4 2 ?

……12 分 ……14 分

16.证明: (1)连结 AC 交 BD 于点 O ,连结 OE . 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 长方形,点 O 为 AC 的中点, 1 1 AA1 ∥ CC1 且 AA1 ? CC1 ,由 EC ? AA1 ,则 EC ? CC1 , 2 2 即点 E 为 CC1 的中点,于是在 △CAC1 中, AC1 ∥ OE . 又因为 OE ? 平面 BDE, AC1 ? / 平面 BDE.所以 AC1 ∥平面 BDE. (2)连结 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中, BE=B1E= 2a ,BB1=2a.所以 BE 2 ? B1 E 2 ? BB12 ,所以 B1E?BE. 由 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,则 A1B1?平面 BB1C1C, BE ? 平面 BB1C1C, 所以 A1B1?BE. 因 B1E

……2 分

……4 分 ……6 分

……8 分

……10 分

A1B1= B1,B1E?平面 A1B1E,A1B1?平面 A1B1E,则 BE?平面 A1B1E.……12 分

又因为 A1E?平面 A1B1E, 所以 A1E?BE.
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同理 A1E?DE.又因为 BE ?平面 BDE,DE ?平面 BDE, 所以 A1E?平面 BDE. 17.解: (1)依题意得 BD ? 300 , BE ? 100 , 在△ ABC 中, cos B ?
BC 1 π ? , ∴ B? , AB 2 3
1 ? 70000 , 2

……14 分

……2 分

在△ BDE 中,由余弦定理得:
DE 2 ? BD 2 ? BE 2 ? 2 BD ? BE ? cos B ? 3002 ? 1002 ? 2 ? 300 ? 100 ?

∴ DE ? 100 7 . 答:甲乙两人之间的距离为 100 7 m. (2)由题意得 EF ? 2DE ? 2 y , ?BDE ? ?CEF ? ? , 在直角三角形 CEF 中, CE ? EF ? cos ?CEF ? 2 y cos ? , 在△ BDE 中,由正弦定理得 ∴ y?
100 3 3 cos ? ? sin ? ?
200 ? 2 y cos ? BE DE y ,即 , ? ? sin ?BDE sin ?DBE sin ? sin 60

……6 分 ……7 分 ……9 分

50 3 π sin(? ? ) 3

,0 ?? ?

π , 2

……12 分

所以当 ? ?

π 时, y 有最小值 50 3 . 6

……13 分 ……14 分

答:甲乙之间的最小距离为 50 3 m .

1 3 c 3 18.解: (1)由已知得 ? , 2? 4 ? 1 , 解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , a b2 a 2
椭圆 C 的方程是
x2 ? y2 ? 1 . 4

……2 分 ……4 分

Q( x2 , y2 ) , (2) 设 l 与 x 轴的交点为 D(n,0) , 直线 l : x ? my ? n , 与椭圆交点为 P( x1 , y1 ) ,
联立 x ? my ? n ,
x2 ? y 2 ? 1 ,得 (4 ? m2 ) y 2 ? 2mny ? n 2 ? 4 ? 0 , 4

y1,2 ?

?2mn ? (2mn) 2 ? 4(4 ? m 2 )(n 2 ? 4) , 2(4 ? m 2 )

y1 ? y2 n2 ? 4 mn y y ? , , ?? 1 2 2 4 ? m2 4 ? m2 x ? x2 m( y1 ? y2 ) ? 2n 4n 4n mn ∴ 1 ,即 H ( ? ? ,? ), 2 2 2 2 4?m 4?m 4 ? m2



……6 分 ……10 分

(4 ? m2 )2 , 16 ? m2 1 1 则 S△POQ ? OD | y1 ? y2 |? | n || y1 ? y2 | , 2 2

由 OH ? 1 ,得 n 2 ?

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令 T ? n 2 ( y1 ? y2 )2 ? n 2 [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 12 ? 16 ? 设 t ? 4 ? m2 (t 4) ,则

4 ? m2 , (16 ? m 2 )2

……12 分 ……14 分

4 ? m2 t 1 ? ? (16 ? m 2 )2 t 2 ? 24t ? 144 t ? 144 ? 24 t

1 , 48

144 ,即 t ? 12 ,S△POQ ? 1 , t 所以△ POQ 面积的最大值为 1.

当且仅当 t ?

……15 分 ……16 分

19.解: (1) b1 ? a1 ? a2 ? 1 ? 2 ? 3 ,
S2 n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? (a2 n ?1 ? a2 n ) ? b1 ? b2 ? ? bn ?

……1 分
3(1 ? 3n ) 3(3n ? 1) .……3 分 ? 1? 3 2

(2)当 n ≥ 2 时,由 2Sn ? an 2 ? n , 2Sn ?1 ? an ?12 ? n ? 1 , 则 2an ? 2Sn ? 2Sn ?1 ? an 2 ? n ? (an ?12 ? n ? 1) ? an 2 ? an ?12 ? 1 ,
(an ? 1)2 ? an ?12 ? 0 , (an ? an ?1 ? 1)(an ? an ?1 ? 1) ? 0 ,

故 an ? an ?1 ? 1 ,或 an ? an ?1 ? 1 .(*) 下面证明 an ? an ?1 ? 1 对任意的 n ? N*恒不成立. 事实上,因 a1 ? a2 ? 3 ,则 an ? an ?1 ? 1 不恒成立;

……6 分

若存在 n ? N*,使 an ? an ?1 ? 1 ,设 n0 是满足上式最小的正整数,即 an0 ? an0 ?1 ? 1 ,显然
n0 ? 2 , 且 an0 ?1 ? (0,1) , 则 an0 ?1 ? an0 ? 2 ? 1 , 则由 (*) 式知,an0 ?1 ? an0 ? 2 ? 1 , 则 an0 ? 2 ? 0 ,

矛盾. 故 an ? an ?1 ? 1 对任意的 n ? N*恒不成立, 所以 an ? an ?1 ? 1 对任意的 n ? N*恒成立. 因此 {an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n . (3)因数列 {an an ?1} 为等比数列,设公比为 q ,则当 n ≥ 2 时, ……8 分 ……10 分

an an ?1 an ?1 ? ?q. an ?1an an ?1

即 {a2 n ?1} ,{a2 n } 是分别是以 1,2 为首项,公比为 q 的等比数列; 故 a3 ? q , a4 ? 2q . 令 n ? 2 ,有 S4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 ? 2 ? q ? 2q ? 9 ,则 q ? 2 .

……12 分

……14 分

当 q ? 2 时, a2 n ?1 ? 2n ?1 , a2 n ? 2 ? 2n ?1 ? 2n , bn ? a2 n ?1 ? a2 n ? 3 ? 2n ?1 ,此时
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S2 n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (a2 n ?1 ? a2 n ) ? b1 ? b2 ?

? bn ?

3(1 ? 2n ) ? 3(2n ? 1) . 1? 2

?1 ? n2 ?2 ,当n为奇数 综上所述, an ? ? n . ?2 2 ,当n为偶数 ?

……16 分

20.解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,则 f ? ?1? ? 1 且 f ?1? ? 0 . 所以函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为: y ? x ? 1 , 从而 g ?(1) ? 2? ? 1 ,即 ? ? (2)由题意知:设函数 h ? x ? ? x ln x ?
1 . 2

……1 分 ……2 分 ……4 分 ……5 分

1 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? ln x ? 1 ? x . 2

设 p ? x ? ? ln x ? 1 ? x ,从而 p? ? x ? ?

1 ? ? ? 恒成立, ……6 分 ? 1 0 对任意 x ? ?1, x

所以 p ? x ? ? ln x ? 1 ? x p ?1? ? 0 ,即 h? ? x ? 0 , 因此函数 h ? x ? ? x ln x ? 即 h ? x ? h ?1? ? 0 , 所以当 x 1 时, f ( x) g ( x) 成立. (3)设函数 H ? x ? ? x ln x ? ? ? x 2 ? 1? , ……8 分
1 2 ? ? ? 上单调递减, ? x ? 1? 在 ?1, 2

……7 分

? ? ? ,不等式 H ( x) 0 ? H (1) 恒成立. 从而对任意 x ? ?1,
又 H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x , 当 H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x 0 ,即 函数 H ( x) 单调递减. 设 r ? x? ?
? ln x ln x ? 1 ,则 r ? ? x ? ? 2 0, x x

ln x ? 1 2? 恒成立时, x

……10 分

所以 r ? x ?max ? r ?1? ? 1 ,即 1 2? ? ?

1 ,符合题意; 2

……12 分

当 ? 0 时, H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x 0 恒成立,此时函数 H ( x) 单调递增.

? ? ? 恒成立,不符合题意; 于是,不等式 H ( x) H (1) ? 0 对任意 x ? ?1,
当0? ? ?
1 时,设 q ? x ? ? H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x , 2

……13 分

高三数学答案

第 5 页(共 8 页)

则 q? ? x ? ?

1 1 ? 2? ? 0 ? x ? ?1 x 2?

……14 分

1 ? 1 ? 当 x ? ?1, ? 时, q? ? x ? ? ? 2? ? 0 ,此时 q ? x ? ? H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x 单调递增, x ? 2? ?

所以 H ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 2? x ? H ? ?1? ? 1 ? 2? ? 0 ,
? 1 ? 故当 x ? ?1, ? 时,函数 H ( x) 单调递增. ? 2? ? ? 1 ? 于是当 x ? ?1, ? 时, H ( x) ? 0 成立,不符合题意; ? 2? ?

……15 分 ……16 分

综上所述,实数 ? 的取值范围为: ?

1 . 2

21A.证明:连接 AE , EB , OE , 由题意知 ?AOE ? ?BOE ? 90? , 因为 ?APE 是圆周角, ?AOE 是同弧上的圆心角, 所以 ?APE ? 1 ?AOE ? 45? , 2 同理可得, ?BPE ? 1 ?BOE ? 45? , 2 所以 PE 是 ?APB 的平分线, 又 PC 是 ?APB 的平分线, 所以 PC 与 PE 重合, 所以直线 PC 经过点 E . ……10 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分 ……2 分

21B.解: 设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x, y ) 在变换 TA 的作用下变成点 P?( x?, y?) ,
? ?1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay, ? ? ? ,得 ? 由? ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? bx ? 3 y.

……2 分

因为 P?( x?, y?) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 所以 x

y

1

0 ,即 ( ? 1 ? b) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 ,

……4 分 ……6 分

又因为 P( x, y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,所以 x ? y ? 1 ? 0 .

因此

1 b a 3

1, 1.

……8 分

解得: a ? 2, b ? ?2 .

……10 分

高三数学答案

第 6 页(共 8 页)

21C.解:圆 ? ? 2cos ? 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x , 即 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,圆心为 (1,0) ;
2

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分

1 3 π 直线 2 ? sin(? ? ) ? 1 的直角坐标方程为 2( y ? x) ? 1 , 2 2 3

即 3x ? y ? 1 ? 0
3 ?1 2 3 ?1 2

故圆心到直线的距离为 d ?

?

……10 分

21D.证明:因为 a ? 0, b ? 0 ,由均值不等式知 a 2 ? b 2 ? ab ≥ 3 3 a3b3 ? 3ab ;

……4 分 ……8 分 ……10 分

ab 2 ? a 2b ? 1≥ 3 3 a3b3 ? 3ab ;
两式相乘可得 (a 2 ? b 2 ? ab)(ab 2 ? a 2b ? 1) ≥ 9a 2b 2

22.(1)以 { AB, AD, AP} 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , 可得 B(1,0,0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) , P(0,0, 2) ,由 E 为棱 PC 中点,得 E (1,1,1) , 故 BE ? (0,1,1) , BD ? (?1, 2,0) , PB ? (1,0, ?2) , 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 PBD 的法向量,则 n ? BD , n ? PB , ……1 分

?? x ? 2 y ? 0, 即? ,不妨令 y ? 1 , ? x ? 2 z ? 0,
可得 n ? (2,1,1) 为平面 PBD 的法向量, 于是 cos ? n , BE ??
n ? BE n BE ? 2 6? 2 ? 3 . 3

……3 分 ……4 分
3 . 3

所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为

……5 分

(2) BC ? (1, 2,0), CP ? (?2, ?2, 2), AC ? (2, 2,0), AB ? (1,0,0) , 由点 F 在棱 PC ,设 CF ? ? CP,0

?

1,

故 BF ? BC ? CF ? BC ? ? CP ? (1 ? 2? , 2 ? 2? , 2? ) ,由 BF ? AC ,得 BF ? AC ? 0 , 因此 2(1 ? 2? ) ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ,解得 ? ?
3 , 4
第 7 页(共 8 页)

……7 分

高三数学答案

1 1 3 即 BF ? (? , , ) , 2 2 2
?x ? 0 ? 设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 FAB 的法向量,则 n1 ? AB ? 0 , n1 ? BF ? 0 ,即 ? 1 , 1 3 ? x? y? z?0 ? ? 2 2 2

不妨令 z ? 1 , 可得 n1 ? (0, ?3,1) 为平面 FAB 的方向向量, 取平面 ABP 法向量 n2 ? (0,1,0) , 则 cos ? n1 , n2 ?? 即 sin ? n1 , n2 ?? ……8 分

n1 ? n2 3 10 , ?? n1 n2 10
10 . 10

……9 分

故二面角 F ? AB ? P 的正弦值为

10 . 10

……10 分

23.证明: (1)当 n ? 1 时, x 2 ? 48 ? 2 x ? 0 ,解得 x 2 ? 16 , 又 x ? 0 ,故 x ? 4 是方程的解; (2)假设 x ? 4 是 f k ( x) ? 2 x 的解,即 f k (4) ? 8 , 则 n ? k ? 1 时, f k ?1 (4) ? 42 ? 6 f k (4) ? 8 ? 2 ? 4 综合(1) , (2)可知 x ? 4 是 f k ?1 ( x) ? 2 x 的解; 另一方面,当 n ? 1 时, y ? 假设 n ? k 时, y ? ……4 分 ……2 分

f1 ( x) ? x

x 2 ? 48 48 ? 1 ? 2 在 (0, ??) 上单调递减; ……6 分 2 x x

f k ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x
f n ?1 ( x) ? x x 2 ? 6 f n ( x) f ( x) f ( x) 1 ? 1? 6 k 2 = 1? 6 k ? x2 x x x

则 n ? k ? 1 时, y ?

在 (0, ??) 上单调递减, 故 n ? k ? 1 时, y ? 所以, y ?
f n ?1 ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x

……8 分

f ( x) f n ( x) ? 2 在 (0, ??) 上至多一解; 在 (0, ??) 上单调递减,则 n x x
……10 分

综上: x ? 4 是 f n ( x) ? 2 x 的唯一解.

高三数学答案

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