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高二文科数学答案2014--2015学年度 第二学期期末教学质量检测 答案

22014--2015 学年度第二学期期末教学质量检测

高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项符合题目要求.)
题号 选项 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 B 10 B 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13____12m/s____. 14__1____. 15___ 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 __. 16___ 12 3 ___.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 【解析】因为 ? p 为假命题, p且q 为假命题,所以, p 为真, q 为假。 。 。 。 。 。 。 。3 分 由 p 为真得 ?3 ? m ? 1 ; 。 。 。 。 。 。 。6 分

由 q 为假得 4m2 ? 4 ? 0 即 ?1 ? m ? 1 。 。 。 。 。 。 。9 分

综上所述, m 的范围为 (?1,1) 。 。 。 。 。 。 。10 分 18. 【解析】(Ⅰ) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a), 。 。 。 。 。 。 。3 分

f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,
。 。 。 。 。 。6 分 ? f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1. 。

(Ⅱ)

由(1)知f ( x) ? x3 ? 3x ? 1, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0, x ? ?1

。 。 。 。 。 。 。8 分

y、y?随x的变化情况如下表:
x
f ' ( x)

f ( x)

-3 (-3,-1) + -19

-1 (-1,1) 01

1 (1,2) 0+ -3

2 1

所以 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-19. 。 。 。 。 。 。 。12 分

19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2, 0) ,离心率为 a 2 b2

3 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若直线 y ? x ? 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.求弦长 MN.

【解析】解: (I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a ? b ? 0 , a2 b2

由 a ? 2 ,可得 c ? 3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 。 。 。 。 。 。 。4 分

既所求方程为

x2 ? y2 ? 1 4

。 。 。 。 。 。 。6 分

(II)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? x ? 1 代入

x2 8 。 。 。 。 。 。9 分 ? y 2 ? 1 得 5 x 2 ? 8 x ? 0 解得 x1 ? 0, x2 ? 。 4 5

则 MN= 2 |

8 2 8 ?0|= 。 。 。 。 。 。 。12 分 5 5
非统计 专业 13 7 20 统计专业 10 20 30 总计 23 27 50 。 。 。 。 。 。 。6 分

20. 【解析】解: (I)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计

(II)根据列联表中的数据,得到观测值

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.8443 ? 3.841 k= 23 ? 27 ? 20 ? 30
2

…………10 分

P(k ? 3.841) ? 0.05
2

答:在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,有 95%认为主修统计专业与性别有关系。 。 。 。 。 。 。12 分

21. 【解析】 (I)由 ?

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

得 x -4x-4b=0.(*) 。 。 。 。 。 。3 分

2

因为直线 l 与抛物线 C 相切, 2 所以Δ =(-4) -4×(-4b)=0, 解得 b=-1. (也可用导数的知识来解决同样给分) 。 。 。 。 。 。6 分

(II)由(I)可知 b=-1,故方程(*)即为 x -4x+4=0, 2 解得 x=2.将其代入 x =4y,得 y=1. 。 。 。 。 。 。9 分 故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2, 2 2 所以圆 A 的方程为(x-2) +(y-1) =4. 。 。 。 。 。 。12 分 22.【解析】 (I) f ( x)的定义域为(0, +?).

2

f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? x x 1 1? x f ?( x) ? ? 1 ? ? 0, 得0<x ? 1; x x 1 1? x f ?( x) ? ? 1 ? ? 0, 得x ? 1 x x

。 。 。 。 。 。4 分 所以,f ( x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1, +?); (II)不妨设 x1>x2>0 .因为 f ? x1 ?=f ? x2 ?=0 ,所以 lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0 , 可得 lnx1+lnx2=m( x1+x2 ),lnx1-lnx2=m( x1-x2 ) . 要证明 x1 x2>e 2 ,即证明 lnx1+lnx2>2 ,也就是 m( x1+x2 )>2 . 。 。 。 。 。 。8 分 因为 m= lnx1 ? lnx2 ,所以即证明 lnx1 ? lnx2 ? 2 ,即 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

lnx1 ? lnx2 2 . ? x1 ? x2 x1 ? x2

12 分

2(t ? 1) 令 x1 =t,则 t>1 ,于是 lnt> . t ?1 x2
令 g (t)=lnt-

1 4 (t ? 1) 2(t ? 1) ? >0 . ,t>1 ,则 g '(t)= ? 2 t (t ? 1) t (t ? 1) 2 t ?1
2

故函数 g ? t ? 在 上是增函数,所以 g ? t ?>g ?1?=0 ,即 lnt> ( 1,+?) 所以原不等式成立.

2(t ? 1) 成立. t ?1 。 。 。 。 。 。12 分


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