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www.99e99.com:重庆市巴蜀中学2015届高三下学期第四次月考数学理试题 Word版含答案

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重庆市巴蜀中学高 2015 级高三(下)第四次月考

数学试题卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集是实数集 R, A. 2.已知向量 A. 3. 已知命题 A. 命题 C. 命题 4. 正项等比数列 A.-16 是假命题 是假命题 中,若 B. 10 50 C. 16 44 B. B. , C. 命题 B. 命题 D. 命题 ,则 D.256 43 40 35 28 ,则 , C. 可以为 ( D. ,则 ( 是真命题 是真命题 等于( ) ) ,则 D. ) ( )

零售价 (元/瓶) 销量 (瓶)

5. 某小卖部销售一品牌饮料的零售价 (元/瓶)与销量 ,其中 元时,估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为 ( A. B. C. ( C. D. ) 6. 执行如图所示程序框图,则输出的 A. 2013 B. 2012 已知 的关系符合线性回归方程

(瓶)的关系统计如下: , ) .当单价为

D.

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7.若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体外接球的表面积是( A. 6 B. C. D.

)

8. 过双曲线

的左焦点

,作

倾斜角为

的 直 线 FE 交 该 双 曲 线 右 支 于 点

,若

,且

则双曲线的离心率为(



A.

B.

C.

D.

9. 函数 同实数解,则实数

,关于 x 的方程 的取值范围为 ( )

恰有三个不

10. 若 存 在 满 足 有最大值,则



为常量)的变量 ( )

使得表达式

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二. 填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11. 设 是虚数单位,复数 12. 已知圆

. 与直线 相交于 、 两点, 则当

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的面积为

时,实数

的值为

. 四门课程,要求每门课程至少有一名教师开 课程,则不同的安排方案共

13. 将 6 名教师全部安排去开发

发,每名教师只开发一门课程,且这 6 名中甲、乙两人不开发 有 种(用数字作答). 考生注意:14、15、16 三题选做两题. 14. 如图,圆 则 15.已知曲线 的直径 . 的极坐标方程是 ,直线 的参数方程 与弦 交于点 , ,





( 为参数) .设直线 与 轴的交点是



是曲线

一动点,则



最大值为__________. 16. 不等式 三.解答题(共 75 分) 17.某种食品是经过 、 、 、 、 三道工序加工而成的, 、 、 工序的产品合格率分别为 的解为 .

.已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品都为合格时产品为一等

品;有两道合格为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)正式生产前先试生产 1 袋食品,求其为废品的概率; (Ⅱ)设 为某件产品在三道加工工序中合格的次数,求 的分布列和数学期望.

18. 如图,菱形 (1)求证:

的边长为 ,对角线交于点 ;



.

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(2)若 成角的正弦值 .



上一点

满足

,求直线

与平面



19. 已知向量 (1)当 (2)设函数 若 , 时,求

, 的值; ,已知在 ,求



中,内角 (

的对边分别为 )的取值范围.



20. 已知 (I)求 (II)若 (III)设 数 的最小值为 3. 的值; 的极值; ,是否存在实数 (

处的切线为

,为自然常数)时,函

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21. 在平面直角坐标系 分别为 为 . 的值;

中,已知椭圆 过点 的直线交椭圆于

的离心率为 两点,直线 与

,两个顶点 的交点

(1)求实数

(2) 当直线 使得 和 的面积为 ,求

的斜率 1 时, 若椭圆上恰有两个点

的取值范围;

(3)求证:点

在一条定直线上.

22. 已知数列 (1)求数列

的前 项和为 的通项公式



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(2)设

求证:

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重庆市巴蜀中学高 2015 级高三(下)第四次月考数学答案 一.选择题 AADCD BCBDA 二. 填空题

11.

12.

13.

14.

15.

16. ,点 为坐

10. 解:设过点

的直线 与

轴的正半轴分别交于点

标原点,且设

,则有

,而





那么

,

要使

有最大值,必有



上有最小值,因为

当且仅当

时等号成立,根据 的范

围可求得

.

17.解: (Ⅰ)为废品的概率 (Ⅱ)

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18. 解析:(1)略 则

(2)建系如图所示: ,

设平面 BCE 的法向量为 ,

,则





.设直线 AF 和平面 BCE 所成的角为 ,则 sin =

.

19. 解析: (1)

(2) 由正弦定理得 因 为 , 所以 , 所 以 , .

+ 或

20.解: (Ⅰ)易得
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(Ⅱ)



,定义域为

极小值 可以看出,当 (Ⅲ) 时,函数 有极小值

①当

时,

,所以



上单调递减,

(舍)

②当

时,

,(i)当

时,





上恒成立

所以



上单调递减,

(舍)

(ii)当

时,

,当

时,

所以



上递减





,



上递增

所以 , 有最小值 。 21.解析: (1)a=2, b=1.

所以

满足条件 . 综上,存在

使



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x2 2 (2)由题设可知,椭圆的方程为 4 +y =1,直线 MN 的方程为 y=x-1. x2 +y2=1 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组 4 y=x-1,消去 y 可得 5x -8x=0,解得 x1=0,

x2=5.
8 3 8 将 x1=0,x2=5,代入直线 MN 的方程,解得 y1=-1,y2=5.所以 MN=2=52. 设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 y=x+λ . x2 +y2=1 2 2 联立方程组 4 y=x+λ,消去 y 可得 5x +8λ x+4λ -4=0, 若直线 m 与椭圆只有一个交点,则满足△=64λ -20(4λ -4)=0,解得λ =±5. 当直线 m 为 y=x-5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d1=522=522; 当直线 m 为 y=x+5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d2=522=522; 设点 C 到 MN 的距离为 d,要使△CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个, 则需满足 d1<d<d2,即522<d<522. 1 4 -4 +4 因为 S=2d·MN=52d,所以5 5 <S<5 5 . (3)方法一. 设直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2),直线 A2N 的方程为 y=k2(x-2). x2+y2=1 2 2 2 2 联立方程组 4 x+2 ,消去 y 得(1+4k1 )x +16k1 x+16k1 -4=0, 2-8k12 4k1 8k22-2 -4k2 解得点 M 的坐标为(1+4k12, 1+4k12). 同理, 可解得点 N 的坐标为(1+4k22, 1+4k22). 4k1 2-8k122-8k12 -4k2 8k22-28k22-2 由 M,D,N 三点共线,有1+4k121+4k12 -1 =1+4k221+4k22 -1 ,化简得(k2 -3k1)(4k1k2+1)=0. 由题设可知 k1 与 k2 同号,所以 k2=3k1. x+2 k1+k2 4k1k2 联立方程组x-2,解得交点 G 的坐标为(k2-k1 ,k2-k1). k1+k2 k1+3k1 将 k2=3k1 代入点 G 的横坐标,得 xG=k2-k1 =3k1-k1=4. 所以,点 G 恒在定直线 x=4 上. 方法二. 显然,直线 MN 的斜率为 0 时不合题意.
2 2

8

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设直线 MN 的方程为 x=my+1. 令 m=0,解得 M(1,33),N(1,-33)或 M(1,-33),

N(1,33).
当 M(1,33),N(1,-33)时,直线 A1M 的方程为 y=33x+33,直线 A2N 的方程为 y=33x -3. 联立方程组33333333,解得交点 G 的坐标为(4,3); 当 M(1,-33),N(1,33)时,由对称性可知交点 G 的坐标为(4,-3). 若点 G 恒在一条定直线上,则此定直线必为 x=4. 下面证明对于任意的实数 m,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),G(4,y0). y1-0 y0 6y1 由点 A1,M,G 三点共线,有x1+2=4+2,即 y0=x1+2. y2-0 y0 2y2 再由点 A2,N,G 三点共线,有x2-2=4-2,即 y0=x2-2. 6y1 2y2 所以,x1+2=x2-2.① 将 x1=my1+1,x2=my2+1 代入①式,化简得 2my1y2-3(y1+y2)=0. ② x2 +y2=1 2 2 联立方程组 4 x=my+1,消去 x 得(m +4)y +2my-3=0, -2m -3 从而有 y1+y2=m2+4,y1y2=m2+4. -3 -2m 将其代入②式,有 2m·m2+4-3·m2+4=0 成立. 所以,当 m 为任意实数时,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上.

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22 解: (1)由已知得

,两式相减得

,

所以数列 可得

是以 又

为首项、3 为公差的等差数列, 也满足此式,即

(2) 下用数学归纳法:

所证的不等式为

,

① 当

时,左边=

右边

,

不等式成立;

② 假设当 时有

时,有

成立,则当

下面我们只需证明

即可,等价于证明

,

等价于证明

(★) ,设

只需证明

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成立,令

,则函数

的导数

那么函数



上是减函数,所以有





成立,从而不等式(★)成立. 由①、②可知,所证不等式成立.

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