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第八章第6节空间直线及其方程_图文

第八章 空间解析几何 与向量代数 本章内容:
第一节、向量及其线性运算 第二节、数量积 向量积 混合积*

第8章

第三节、曲面及其方程

第四节、空间曲线及其方程
第五节、平面及其方程 第六节、空间直线及其方程
1

第六节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程

三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角

五 平面束
六、小结及作业
2

一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 L:? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
空间直线的一般方程

z

?1 ?2

o

L

y

?x ? 0 ?3 x ? 2 y ? z ? 1 如? ? ?2 x ? 6 y ? 5z ? 2 ? y ? 0

x
3

通过空间直线L的平面有无穷多个, 其中任意两个 平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线 L,因此直线L的方程不是唯一的。

例如:坐标面 x ? 0 和 y ? 0 都通过 z 轴,因此

x?0 ? 是z 轴的一般式方程。 方程组 ? ? y?0 而平面 x ? y ? 0 和 x ? y ? 0 也通过 z 轴,因此
x? y ?0 ? 方程组 ? ?x? y ?0
也是 z 轴的一般式方程。

4

二、空间直线的对称式方程与参数方程
1、对称式方程

凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向
向量。 一条直线的方向向量有无穷多个,它们是相互

平行的。 任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行 与已知直线, 所以,当已知直线L上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )

? 和它的一方向向量 S ? ?m, n, p ? 直线L的位置就完全
确定了。
5

建立直线 L 的对称式方程 已知直线上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )和它的方向向量 设直线上的动点为 M ( x, y, z ) 则 故有

s
x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m p n

M ( x, y, z )

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )

此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) x ? x0 y ? y0 ? m ? n 此方程中实际包含了两个平面方程 ? ? x ? x0 ? z ? z0 p 方程组中两个方程均为一次的平面方程 m
6

说明: (1)某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 m ? 0, n ? 0, p ? 0 时,

? x ? x0 当 m ? n ? 0, p ? 0 时, 直线方程为 ? ? y ? y0 ? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ( 2 )若L? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 ? ? ? i j k ? ? ? 则L的方向向量 S ? n1 ? n2 ? A1 B1 C1 A2 B2 C 2
7

x ? x0 ? 0 直线方程为 ? ? y ? y0 z ? z 0 ? n ? p

? ( x0 , y0 )

2. 参数式方程


x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ?t m n p

得直线L的参数式方程 :

x ? x0 ? m t y ? y0 ? n t z ? z0 ? p t

t 为参变量

注意: 空间直线的方程都是方程组形式。 空间平面方程是一个一次方程,

两者不同,不能混淆!
8

例1 设P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 )是空间两点, 求过
点P1与P2的直线方程.

解 : 取M 0 ? P1 ,

? S ? P1 P2 ? { x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 }
由对称式

x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? ? ? x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1

两点式方程
9

例2 用对称式方程及参数方程表示直线

?x ? y ? z ? 1 ? 0 . ? ?2 x ? y ? 3z ? 4 ? 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )

? y0 ? z 0 ? 2 ? 0 , 取 x0 ? 1 ? ? ? y0 ? 3 z 0 ? 6 ? 0
解得 y0 ? 0,

z0 ? ?2

点坐标 (1,0,?2),
10

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取

? x ? 1 ? 4t ? . 参数方程 ? y ? ? t ? z ? ?2 ? 3 t ?

1 2 ?1 x ?1 y ?0 对称式方程 ? ? 4 ?1

? ? ? s ? n1 ? n2 ? 1

? i

? j

? k

1 ? {4,?1,?3}, 3 z?2 , ?3
解题思路:

先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
11

例3 写出直线 解

?3 x ? 3 y ? 4 z ? 7 ? 0 的参数方程. ? ? x ? 6 y ? 2z ? 6 ? 0 (统考题) 直线的方向向量为 i j k

? 4 ? { 30 ,?10 ,15 } ? 5{ 6 ,?2 ,3 } 2 5 5 令 y ? 0 解得 x ? 1 z ? 即点 ( 1 , 0 , ) 在直线上, 2 2 ? x ? 1 ? 6t ? ? 故直线参数方程为 ? y ? ?2t ? 5 ? 3t z ? ? ? 2 3 6
12

s? 3 1

例 4 一直线过点 A( 2,?3,4) ,且和 y 轴垂直相 交,求其方程.

解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为

B(0,?3, 0),

? 取 s ? BA ? {2, 0, 4},

x?2 y?3 z?4 所求直线方程 ? ? . 2 0 4

13

例 5 求过点M 0 ( ?3 ,2 ,5 )且与两平面x ? 4 z ? 3和

2 x ? y ? 5 z ? 1的交线平行的直线方程 .
解 : ? M 0 ( ?3,2,5) ? ? i j ? ? ? s ? n1 ? n2 ? 1 0

? k

? 4 ? {?4,?3,?1} 2 ?1 ? 5

x?3 y?2 z?5 ? ? ? 直线方程 ?4 ?3 ?1

14

x ?1 y ?1 z 例 6 求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 ? ? 3 2 ?1
垂直相交的直线方程.

解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 ?

3( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 3) ? 0
再求已知直线与该平面的交点N, ? x ? 3t ? 1 x ?1 y ?1 z ? 令 ? ? ? t ? ? y ? 2t ? 1. 3 2 ?1 ?z ? ?t ?

15

3 代入平面方程得 t ? , 7

2 13 3 交点 N ( , ,? ) 7 7 7

取所求直线的方向向量为 MN

2 13 3 12 6 24 MN ? { ? 2, ? 1,? ? 3} ? {? , ,? }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? . 2 ?1 4

16

三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.(锐角)

直线 L1 :

x ? x 2 y ? y2 z ? z 2 直线 L2 : ? ? , m2 n2 p2
cos( L^ ,L ) ?
1 2

x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? ? , m1 n1 p1

| m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 | m1 ? n1 ? p1 ? m2 ? n2 ? p2
两直线的夹角公式
17

2

2

2

2

2

2

两直线的位置关系:
(1) L1 ? L2 ?? m1 m2 ? n1 n2 ? p1 p2 ? 0,
m1 n1 p1 ? ? , ( 2) L1 // L2 ?? m2 n2 p2

? 例如, 直线 L1 : s1 ? {1,?4, 0}, ? 直线 L2 : s ? {0,0,1}, 2 ? ? ? ? ? s1 ? s2 ? 0 , ? s1 ? s2 , 即 L1 ?L2 .
18

x ?1 y z?3 ? ? 例7 设L1 : 1 ?4 1 x y?2 z L2 : ? ? 2 ?2 ?1
求两直线的夹角.

解 : cos? ?

1 ? 2 ? ( ?4) ? ( ?2) ? 1 ? ( ?1) 1 ? ( ?4 ) ? 1
2 2 2

2 2 2 2 ? 2 ? ( ?2) ( ?1) 2

?? ?

?
4

19

? S ? ?0 ? 1,0 ? 1, z ? 0? ? ?? 1,?1, z ? ? 又L与z轴的夹角为 , z 轴的一个方向向量为(0,0,1) 4 z ? z?? 2 ? cos ? 2 4 1? 2 ? z ? ? 所以L的方向向量 S ? ?? 1,?1, 2 ? 或 S ? ?? 1,?1,- 2 ?
所以直线L的方程 x ?1 y ?1 z L: ? ? ?1 ?1 2
x- 1 y ?1 z 或 ? ? 1 1 2

例8:一直线过点M1(1,1,0)且与z轴相交, ? 其夹角为 , 求直线L的方程。 4 解:设直线L与z轴的交点为M2(0,0,z), 由于直线L ? 过点(1,1,0), 则L的一个方向向量 S ? M 1M 2

20

四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直

线所夹锐角? 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为s ? (m , n , p)

n s ?
?

L

平面 ? 的法向量为n ? ( A , B , C )
则直线与平面夹角 ? 满足

sin ? ? cos( s , n ) A m ? Bn ? C p s?n ? ? s n m 2 ? n 2 ? p 2 A2 ? B 2 ? C 2
21

︿

sin? ?

| Am ? Bn ? Cp | A2 ? B 2 ? C 2 ? m 2 ? n2 ? p2
直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系:

A B C ? ? . (1) L? ? ?? m n p ( 2) L // ? ?? Am ? Bn ? Cp ? 0.

22

x ?1 y z ?1 例 9 设直线 L : ,平面 ? ? 2 ?1 2 ? : x ? y ? 2 z ? 3,求直线与平面的夹角.


? n ? {1,?1, 2},

? s ? {2,?1, 2},

sin? ?

| Am ? Bn ? Cp | A2 ? B 2 ? C 2 ? m 2 ? n2 ? p2

7 | 1 ? 2 ? ( ?1 ) ? ( ?1 ) ? 2 ? 2 | ? ? . 6? 9 3 6 7 ? ? ? arcsin 为所求夹角. 3 6
23



平面束

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 设L : ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 建立方程

(1 ) (2)

( A1 x ? B1 y ? C1z ? D1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0

(3)

? 是参数 ? ( A1 ? ?A2 ) x ? ( B1 ? ?B2 ) y ? ( C1 ? ?C2 )z ? ( D1 ? ?D2 ) ? 0
( 3)表示通过L的任一平面(除( 2)外),

称( 3)为通过L的平面束方程.
24

?x ? y ? z ?1 ? 0 在平面? : x ? y ? z ? 0 例10 求直线L : ? ?x ? y ? z ? 1 ? 0 上的投影直线方程
解 : 设过直线的平面束方程 为 ( x ? y ? z ? 1) ? ? ( x ? y ? z ? 1) ? 0

? (1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? ( ?1 ? ? ) z ? ( ?1 ? ? ) ? 0
要使与?垂直 ? (1 ? ? ) ? 1 ? (1 ? ? ) ? 1 ? ( ?1 ? ? ) ? 1 ? 0 ? ? ? ?1 2 y ? 2z ? 2 ? 0 ? 投影平面方程

?y ? z ?1? 0 投影直线方程 ? ?x ? y ? z ? 0

25

x y ?1 z ? 2 例11 已知平面过直线 ? ? 且垂直 3 ?1 4 于平面? : 2 x ? y ? 5z ? 5 ? 0, 求其方程.

?x ?3 ? ? ?x ? ?3 作平面束

y ?1 x ? 3y ? 3 ? 0 ? ?1 即 ? ?4 x ? 3 z ? 6 ? 0 z?2 4 ( x ? 3 y ? 3) ? ? ( 4 x ? 3 z ? 6) ? 0 ? (1 ? 4? ) x ? 3 y ? 3?z ? ( 3 ? 6? ) ? 0 ? 待求平面与 ?垂直 ? (1 ? 4? ) ? 2 ? 3 ? ( ?1) ? ( ?3? ) ? 5 ? 0
1 ? ??? 7
? 平面方程 x ? 7 y ? z ? 5 ? 0
26

解 :直线可写成一般式方程

内容小结
1. 空间直线方程

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 一般式 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
对称式

x ? x0 ? m t ? ? 参数式 ? y ? y0 ? n t ? ? z ? z0 ? p t

(m 2 ? n 2 ? p 2 ? 0)
27

2.

线与线的关系 x ? x1 y ? y1 z ? z1 直线 L1: ? ? , m1 n1 p1 x ? x2 y ? y 2 z ? z 2 直线 L2: ? ? , m2 n2 p2

L1 ? L2 L1 // L2

s1 ? s2 ? 0 s1 ? s2 ? 0
m1 n1 p1 ? ? m2 n2 p2

s1 ? s2 夹角公式:cos ? ? s1 s2
28

3. 面与线间的关系 平面 ? :

A x ? B y ? C z ? D ? 0, n ? ( A , B , C ) x?x y? y z?z ? ? , s ? (m , n , p) 直线 L : m n p m n p ? ? L ⊥? s?n?0 A B C
L?

s?n?0
s?n sin ? ? s n

m A? n B ? pC ? 0

夹角公式:

L

?
?
29

习题8 ? 6 P49

3,

4,

5,

7,

8

30

思考题
一直线过点

又和直线
解:

x ?1 y z ?1 且垂直于直线 L1 : ? ? , 3 2 1 相交,求此直线方程 .

利用叉积.

设直线 L i 的方向向量为 s i (i ? 1, 2), 过 A 点及 L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s ? s1 ? n ,

因原点 O 在 L2 上 , 所以 i j k n ? s2 ? OA? 2 1 ? 1 ? 3 i ? 3 j ? 3 kO 1 2 1

A
s2
31

n
L2

待求直线的方向向量 i j s ? s1 ? n ? 3 2 3 ?3 x ?1 故所求直线方程为 ? 3

k 1 ? 3(3 i ? 2 j ? 5 k ) 3 y ? 2 z ?1 ? ?2 ?5

32


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