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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第十二章 第1讲 椭圆


第十二章

圆锥曲线

第1讲 椭圆

考纲研读 1.充分利用椭圆的定义或待定系数法 1.掌握椭圆的定义、几何图 求椭圆的方程.利用 a,c 的齐次式求 形、标准方程及简单几何性 离心率. 质. 2.研究椭圆的几何性质时要把其方程 2.理解数形结合的思想. 化成标准形式.

考纲要求

1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离之和为常数 2a(2a>|F2F2|)的

动点 P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点 F1,F2叫椭圆的焦点,两焦
点间的距离叫焦距.

2.椭圆的方程与几何性质
标准方程 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 x2 y2 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0) a2=b2+c2 ______________ (c,0),(-c,0) (0,c),(0,-c) 2c |x|≤a,|y|≤b |y|≤a,|x|≤b (-a,0),(a,0), (0,-a),(0,a), (0,-b),(0,b) (-b,0),(b,0) 关于 x 轴、y 轴和原点对称 c e=a∈(0,1)

性 质

3 8 x2 y2 1 2或3 1.若椭圆 2 +m=1 的离心率为2,则实数 m=_____.

3 2.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是4,则此椭圆的标准方程 x2 y2 x2 y2 是______________________. 16+ 7 =1 或 7 +16=1 x2 y2 3.(2011 年安徽合肥检测)以椭圆 4 + 3 =1 的右焦点 F 为圆
(x-1)2+y2=4 心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_______________.

x2 2 4.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y =1 上,顶点 A 是椭
圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的
4 3 周长是_______.

x2 y2 5.设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x x2 y2 1 的焦点相同,离心率为2,则此椭圆的方程为___________. 16+12=1

考点1 椭圆定义及标准方程

例 1: ①(2011 年新课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 ,过 F1 作直 线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 ____________.

解析:如图 D19 由椭圆定义知△ABF2 的周长 AB+AF2+BF2 =AF1+BF1+AF2+BF2=4a, 2 c ∴4a=16.∴a=4.∵a= 2 , ∴c=2 2.∴b2=a2-c2=8.
图D19

x2 y2 ∴椭圆方程为16+ 8 =1.
x2 y2 答案:16+ 8 =1

②若椭圆经过两点 A(0,2)和
y2 x + 4 =1 __________.
2

?1 B?2, ?

? 3?,则椭圆的标准方程为 ?

解析:设经过两点 mx2+ny2=1,

?1 A(0,2),B?2, ?

? 3?的椭圆标准方程为 ?

?4n=1, ?m=1, ? ? 代入 A,B 得?1 ?? 1 ?4m+3n=1 ?n=4. ? ? y2 ∴所求椭圆方程为 x2+ 4 =1.

求椭圆的关键是确定a,b 的值,常利用椭圆的定
义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆 方程的影响.当椭圆的焦点位置不明确,应有两种情况,亦可设 方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),这样可以避免分类讨论.

【互动探究】

1.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
3 2

,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的

x2 y2 36+ 9 =1 方程为___________.

考点2

椭圆的几何性质

x2 2 例 2:F1,F2 是 4 +y =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,
???? ???? P 则 P F1 · F 2 的最大值是(

D ) C.2 D.1

A.4
???? P F1 =(-

B.5

解析:方法一:设点 P(x0,y0),则 F1(- 3,0),F2( 3,0),
???? 3-x0,-y0), P F 2 =( ???? ???? 2 P 3-x0,-y0), P F1 · F 2 =x0-3

x2 3 2 3 2 0 2 2 2 +y0=x0-3+1- 4 =4x0-2.又 x0≤4,所以4x0-2≤1.
???? 问题, 可设点 P(2cosα, sinα), 转化为三角问题, 则由 P F1 =(- 3- ???? ???? ???? P 2cosα,-sinα),P F 2 =( 3-2cosα,-sinα),得到 P F1 · F 2 =3cos2α

方法二:本题是关于椭圆的动点到两焦点的向量积的模的最值

-2,从而易得选项 D 正确.

本题考查圆锥曲线上动点与两定点构成的向量的 模长范围,对于范围的求解一般是转化为三角(参数方程或三角换 元)求解或转化为某个变量的范围来解或利用极端思想数形结合求 解,这个内容在高考中的选择题的难度不大,但比较灵活,是考 查能力的问题,有效地区分了不同考生的数学水平.

【互动探究】
2.(2010 年广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列,则该椭圆的离心率是( B ) A.

4 5

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5

4x2 y2 3. F1, 2 是椭圆 49 + 6 =1 的两个焦点, 是椭圆上的点, 设 F P 且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2 的面积为( B ) A.4 C.2 2 B.6 D.4 2

考点3 直线与椭圆的位置关系

x2 y2 例 3:(2011 届广东汕头测试)给定椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 称圆心在坐标原点 O,半径为 a2+b2 的圆是椭圆 C 的“伴随 圆”.已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1(- 2,0),F2( 2,0), 椭圆 C 上一动点
????? ? ?????? M1 满足| M 1 F1 |+| M 1 F 2 |=2

3.

(1)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)过点 P(0, m)(m<0)作直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 只有一个 交点, l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 且 2.求出 m 的值.

解析:(1)由题意得:2a=2

3得 a= 3,半焦距 c= 2,

x2 2 则 b=1.∴椭圆 C 的方程为 3 +y =1. ∴“伴随圆”的方程为 x2+y2=4. (2)设过点 P(0,m)且与椭圆有一个交点的直线 l 为 y=kx+m,

?y=kx+m, ? 2 则?x 整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0 2 ? 3 +y =1. ?
∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0. 解 3k2+1=m2. ①

又∵直线 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 则有 2 2
2

2,

? -? ? ?

|m| ?2 ? =2 2 k +1? ?

2. ②

化简得 m2=2(k2+1).

联立①②解得,k2=1,m2=4,∴k=± 1,m=-2(m<0).
由直线 l 与椭圆C 只有一个交点?Δ=0 得到一个
关于 k,m 的方程;由直线 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为

2 2 ,利用勾股定理、垂径定理、圆心到直线的距离得到关于 k,

m 的另一个方程.然后解方程组求解.

【互动探究】

x2 y2 4.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的长轴长为 4.
(1)若以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切,求椭圆焦点坐标;

(2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭圆交
1 于M,N两点,直线PM,PN的斜率乘积为-—,求椭圆的方程. 4

2 解:(1)由直线与圆相切知: =b,得 b= 2. 1+1 由 2a=4,得 a=2,则 c2=a2-b2=4-2=2. ∴两个焦点坐标为(- 2,0),( 2,0). (2)由于过原点的直线 l 与椭圆的两个交点关于原点对称, 不妨设:M(x0,y0)、N(-x0,-y0),P(x,y).
2 2 ?x y ?a2+b2=1, ∵M,P 在椭圆上,∴满足? 2 x0 y2 ? 2+ 0=1. ?a b2

y2-y2 b2 0 相减得: 2 2=-a2. x -x0 y-y0 y+y0 由题意知 PM,PN 斜率存在,则 kPM= ,k = . x-x0 PN x+x0 y-y0 y+y0 y2-y2 b2 1 0 kPM·PN= k · = =-a2=-4. x-x0 x+x0 x2-x2 0 x2 2 由 a=2,得 b=1.∴所求的椭圆方程为 4 +y =1.

思想与方法
16.利用函数与方程的思想求解椭圆中的最值问题 x2 y2 例题:(2010年广东佛山质量检测)椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上任

一点P到两个焦点的距离的和为6,焦距为4 椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的标准方程;

2 ,点A,B分别是

(2)若点P与点A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为 k1,k2,证明:k1·2为定值; k (3)设点C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,点D为点C关于y轴 S2?x? 的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)= ,求函数f(x) x+3 的最大值.

解析:(1)由题意得,2a=6,∴a=3. 2,∴c=2 2,b2=a2-c2=1. x2 2 故椭圆的方程为 9 +y =1. 又∵2c=4 (2)证明:设点P(x0,y0) (y0≠0),A(-3,0),B(3,0), x2 2 x2 0 0 则 9 +y0=1,即y2=1- 9 . 0 y0 y0 又∵k1= ,k = . x0+3 2 x0-3 2 x0 1 1- 9 9?9-x2? 2 0 y0 1 即k1·2= 2 k = 2 = 2 =-9. x0-9 x0-9 x0-9 1 ∴k1·2为定值-9. k

(3)由题意可知,四边形ABCD是梯形, 1 x2 则S(x)=2(6+2x)· |y|,且y2=1- 9 . ? x2? (x+3)2?1- 9 ? 2 S (x) ? ? 于是f(x)= = x+3 x+3 ? x2? x3 x2 =(x+3)?1- 9 ?=- 9 - 3 +x+3(0<x<3). ? ? x2 2 f′(x)=- 3 -3x+1, 令f′(x)=0,解得x1=1,或x=-3(舍去). 当0<x<1,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当1<x<3,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
32 ∴f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值 9 .

1.求曲线的方程时,应从“定形”、“定焦”、“定式”、 “定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要清楚所求曲线是 椭圆还是双曲线;“定焦”是指要清楚焦点在 x 轴还是在 y 轴上; “定式”指设出相应的方程;“定量”是指计算出相应的参数. 注意:若焦点位置不明确,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,

m≠n),这样往往可以避免分类讨论.

2.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点.求离心率的

c 常用方法有以下两种:(1)求得a,c的值,直接代入公式e=—求得; a
(2)列出关于 a、b、c 的齐次式(或不等式),利用 b2=a2-c2 消去 b, 转化成 e 的方程(或不等式)求解.

3.直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题,相交弦问 题.实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组实数解的个数问题, 故直线与椭圆相交?Δ>0;直线与椭圆相切?Δ=0;直线与椭圆 相离?Δ<0.若涉及弦长问题, 常用弦长公式: |MN|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1·2. x

1.涉及椭圆的定义时,要注意常数 2a 大于焦距 2c 这一隐含 条件.即: 当|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|时,P 的轨迹为椭圆; 当|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2|时,P 的轨迹为以 F1,F2 为端点的 线段; 当|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2|时,P 的轨迹不存在. 2.对于椭圆的标准方程,焦点总是落在分母较大的未知数对 应的轴上,若不能确定焦点的位置,要注意分类讨论. x2 y2 3.设 P(x,y)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点,则|x|≤a. 在构造以 x 为自变量的目标函数时,要特别注意自变量 x 的范围, 忽视椭圆的这一几何性质是导致求最值出现错误的主要原因.


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