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2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第5章第33讲 向量的数量积


第31讲

向量的数量积的概念
【例1】 设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且 相互不共线,则下列命题 ①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中是真命题的有________.

【解析】对于①,b与c是不共线的两个非零 向量,且a· b与c· a不能都为零,故①错误. 对于②,由三角形的两边之差小于第三边知 ②正确. 对于③,由向量的数量积的运算法则,得 [(b· c)a-(c· a)b]· c=(b· c)(a· c)-(c· a)(b· c)=0, 所以[(b· c)a-(c· a)b]⊥c,故③错误. 对于④,由于 (3a + 2b)·(3a - 2b) = 9a2 - 4b2 =9|a|2-4|b|2,故④正确. 答案:②④

判断上述问题的关键是掌握向量 的数量积的含义.向量的数量积的运 算律不同于实数乘法的运算律.例如, 由a· b=0并不能得出a=0或b=0.特别 是向量的数量积不满足结合律,即 (a· b )· c≠a· (b· c).

【变式练习1】 下列命题中正确的个数是________. ①若a· b=0,则a=0或b=0; ②(a· b)· c=a· (b· c); ③若a· b=b· c(b≠0),则a=c; ④a· b=b· a; ⑤若a与b不共线,则a与b的夹角为锐角.

【解析】当a≠0时,由a· b=0?/ b=0,且对任 意与 a 垂直的非零向量 b ,都有 a· b = 0 ,故① 错.(a· b )· c表示一个与c共线的向量,而a· (b· c) 表示一个与 a 共线的向量,而 c与 a 通常并不是 共线的,故②错.设a 与b 的夹角为 α ,b 与c的 夹角为β,则由a· b =b· c,得 |a|cosα=|c|cosβ?/ a=c,故③错.由于向量数量积满足交换律, 故④正确.向量的夹角是指两向量起点相同时 两个方向所成的角,可为[0°,180°]范围内 的角,故⑤错. 答案:1

向量的夹角
【例2】

?1?已知a,b是两个非零向量,且a+3b
与7a- 5b垂直,a-4b与7a-2b垂直. 试求a与b的夹角大小;

? 2 ?已知 a =

2, b= 3,a 和b的夹角为45?,

求使向量a+? b与? a+b的夹角是钝角时

?的取值范围.

【解析】 ?1?因为a+3b与7a-5b垂直, 所以(a+ 3b) ? (7a- 5b)= 0,即7a 2+ 16a ? b- 15b 2= 0.① 又因为a-4b与7a-2b垂直, 所以(a-4b) ? (7a-2b)= 0,即7a - 30a ? b+ 8b = 0.②
2 2

①-②得46a ? b=23b 2,即2a ? b=b 2 . 代入①可得a 2=b 2,即 a = b . 1 2 a a ?b 1 2 设a与b的夹角为? ,则cos?= = 2 = . | a |?| b | a 2 又因为? ? [0,? ],所以?= . 2

?

2 ? 2 ?由已知,得a ? b= a ? b ? cos45?=3 2 ? =3. 2 因为a+? b与? a+b的夹角是钝角, 所以(a+? b) ? (? a+b) ? 0,③ 且a+? b与? a+b不共线. 由③得a ? b? 2+(a 2+b 2 )?+a ? b ? 0. 把a ? b= 3,a +b = a + b =2+ 9= 11,
2 2 2 2

代入得3? 2+ 11?+ 3 ? 0, ?11 ? 85 ?11 ? 85 解得 ??? 6 6

又若a+? b与? a+b共线, 则有a+? b=? (? a+b),即??= 1且?=?, 解得?=?= 1或?=?=- 1. 所以a+? b与? a+b不共线时,有? ? ?1. 综上知,?的取值范围是 ?11 ? 85 ?11 ? 85 {? | ??? 且? ? - 1}. 6 6

数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角 问题的重要方法.(1)题中通过垂直的充要条件, 得到|a|=|b|,这是本题的突破口.在等式2a· b= b2 中,不能“ 约去b”,得出“2a=b”,注意这一点 与实数乘法不同.(2)题中,向量的夹角范围是[0, π],并且注意a2=|a|2及夹角公式的应用.同时,a 与b的夹角是钝角,可以得到a· b<0,但这并不是a 与b的夹角为钝角的充要条件.因为a与b的夹角是 180°时也有 a· b<0.因此第二问要排除掉 a与b反向 的情形.想一想:若 a与 b的夹角是锐角时又要注 意什么呢?

【变式练习 2】已知|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
求向量 a 与向量 b 的夹角.

【解析】 由 a⊥(a-b)有 a· (a-b)=0, 即 a2-a· b=0,
2 所以 1-1× 2cosθ=0,则 cosθ= 2 , π π 又 θ∈[0,π],故 θ=4,所以 a 与 b 的夹角为4.

向量的平行与垂直
【例3】 设 向 量 a = (4cosα , sinα) , b = (sinβ , 4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ). (1)若a⊥(b-2c),求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的取值范围; (3)若tanαtanβ=16,求证a∥b.

【解析】(1)b-2c =(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ), a· (b-2c) =4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ) =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 所以tan(α+β)=2.

4 cos ? -4sin ? ) ? 2 ? b+c=(sin ? +cos ? , | b+c | = (sin ? ? cos ? ) 2 ? (4 cos ? ? 4sin ? ) 2 = 17 ? 15sin 2 ? 当? =k? + (k ? Z ), | b+c | 有最小值 2; 4 当? =k? - (k ? Z ), | b+c | 有最大值4 2. 4 所以 | b+c | 的取值范围是[ 2, 4 2]. 4 cos ? sin ? 16,得 = , ? 3?由tan ? ? tan ?= sin ? 4 cos ? 所以a / / b.

? ?

向量的平行与垂直问题是 高考的热门话题,要牢记向量 平行与垂直的充要条件,根据 已知条件灵活运用.

【变式练习 3】 已知a、b、c是同一个平面内的三个向量, 其中a=?1, 2 ?.

?1? 若 c =2

5,且c / / a,求c的坐标;

5 ? 2 ? 若 b = ,且a+2b与2a-b垂直,求 2 a与b的夹角? .

【解析】 ?1? 设c=( x,y ). 因为 c =2 5, 所以 x 2 ? y 2 =2 5,所以x 2+y 2=20. 因为c / / a,a=?1, 2 ? , 所以2x-y= 0,即y=2x. ? y ? 2x ? x ? 2 ? x ? ?2 由? 2 ,解得? 或? . 2 ? x ? y ? 20 ? y ? 4 ? y ? ?4 所以c=? 2, 4 ? 或c= (-2,-4).

? 2 ?因为(a+2b) ? (2a-b),
所以(a+2b) ? (2a-b)= 0,即2a 2+ 3a ? b-2b 2= 0, 所以2 a + 3a ? b-2 b = 0 ? *? .
2 2

5 2 5 因为 a = 5, b = ( ) = ,将它们代入?*? 中, 2 4 5 5 得2 ? 5+ 3a ? b-2 ? = 0,所以a ? b=- . 4 2 5 5 a ?b 因为 a = 5, b = .所以cos?= = 2 =- 1. 2 | a |?| b| 5 5? 2 因为? ? [0,? ],所以?=? .
2 2

综合应用
1 3 例 4 已知平面向量 a=( 3, - 1 ), b =( , ) . 2 2 (1)证明:a⊥b; (2)若存在实数 k 和 t,使 x=a+(t2-3)b,y= -ka+tb,且 x⊥y,试求函数关系式 k=f(t); (3)根据(2)的结论,确定 k=f(t)的单调区间.

3 3 【解析】 ?1? 证明:因为a ? b= ? =0,所以a ? b. 2 2 t 2 ? 2 3 ? 3 3t 2 ? 3 3 ? 2 , ), ? 2 ? 方法1:由题意知x=( 2 2 1 3 y= ( t- 3k, t+k ). 2 2 t2 ? 2 3 ? 3 1 又x ? y,故x· y= ? ( t- 3k )+ 2 2 3t 2 ? 3 3 ? 2 3 ? ( t+k )= 0, 2 2 1 3 3 3 整理得t - 3t-4k= 0,即k= t - t. 4 4

1 3 方法2:因为a= ( 3,- 1),b= ( , ), 2 2 所以 a =2, b= 1且a ? b. 因为x ? y,所以x· y= 0,即-k a +t (t - 3) b = 0,
2 2 2

1 3 3 所以t - 3t-4k= 0,即k= t - t. 4 4 1 3 3 ? 3?由? 2 ? 知k=f ? t ?= t - t , 4 4 3 2 3 3 则k ?=f ? ? t ?= t - = (t+ 1)(t- 1). 4 4 4 令k ?<0,得- 1<t< 1;令k ?>0,得t<- 1或t> 1.
3

故k=f ? t ? 的单调递减区间是(- 1,1),单调递增区 间是(-?,- 1)和(1,+?).

本例是向量、函数、导数应用的典型例 子.第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常 见方法:方法 1 是先利用向量的坐标运算分 别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的 充要条件;方法 2 是直接利用向量垂直的充 要条件,其过程要用到向量的数量积公式及 求模公式,达到同样的求解目的 ( 但运算过 程大大简化,值得注意 ) .第 (2) 问中求函数 的单调区间运用的是求导的方法,这是新旧 知识交汇点处的综合运用.

【变式练习 4】(2011· 无锡市期末)已知△ABC 中,D 为
5→ → → → → → AB 上一点,|AC|=10,|AD|=5,AD=11DB,CD· AB= → -AC → |= 14 . 0.则|AB

5→ 11 → → → 【解析】由已知AD=11DB,即DB= 5 AD, → |=5,所以|DB → |=11, 因为|AD →· → =0,所以 CD⊥AB, 因为CD AB 在 Rt△BCD 中, BC2=BD2+CD2, 又 CD2=AC2-AD2, 所以 BC2=BD2+AC2-AD2=196, → -AC → |=|BC → |=14. 所以|AB

0 1.化简a ? [b ? a ? c ? -c ? a ? b ?]的结果是_________
2.已知向量a=? 2,1? ,a ? b= 10, | a+b | = 5 2, 5 则 | b | =______________

【解析】因为a=? 2,1? ,所以 a = 5. 因为| a+b | = 5 2,所以(a+b) 2 = 50, 即 a +2ab+ b = 50,得 b =25,所以 b = 5.
2 2 2

1 3   3.已知m= ( 3,1),p= ( , ),u= 2 2 m+ ( x 2- 3) p,v=-ym+xp,且x3- ? 3x-4y= 0,则u与v的夹角等于_2 _ _ _ _
【解析】m 2=4,p 2=, 1 m ? p=0, 所以u· v=-ym 2+x( x 2-3) p 2 =-4y+x( x -3)=0, 所以u与v的夹角等于 . 2
2

?

4.已知? ABC中,A(2,-1),B ? 3, 2 ?, C (-3,-1),BC边上的高为AD,求 ???? 点D的坐标和向量 AD.

【解析】设D ( x0,y0 ). ???? ??? ? 则 AD=( x0-2,y0+1), BC=(-6,-3), ??? ? BD=( x0-3,y0-2). ???? ??? ? ? ??6? x0 ? 2 ? ? 3? y0 ? 1? ? 0 ? AD ? BC 因为 ? ??? , ? ??? ? ,所以 ? ??6? y0 ? 2 ? ? 3? x0 ? 3? ? 0 ? ? BC / / BD ???? ? x0 ? 1 解得 ? ,所以D ?1,1?,则 AD=(-1, 2). ? y0 ? 1

??? ? ??? ? ??? ? 5.平面内有向量OA =?1,7 ?, OB=? 5,1?, OP =? 2,1?,点X 为直线OP上的一个动点. ??? ? ??? ? ???? ?1?当XA ? XB取最小值时,求OX的坐标;

? 2 ?当点X 满足 ?1?的条件和结论时,求
cos?AXB的值.

???? 【解析】 ?1? 设OX=( x,y). 因为点X 在直线OP上, ???? ??? ? 所以向量OX 与OP共线. ??? ? 又OP=? 2,1?,所以x-2y=0,即x=2y, ???? 所以OX=(2y,y ). ??? ? ??? ? ???? ??? ? 又 XA =OA ? OX, OA =?1,7 ?, ??? ? 所以 XA =(1-2y,7-y ). ??? ? ??? ? ???? 同样, XB=OB ? OX=(5-2y,1-y ).

??? ? ??? ? 于是 XA ? XB=(1-2y )(5-2y )+(7-y )(1-y ) =5y -20 y+12=5( y-2) -8. ??? ? ??? ? 所以,当y=2时, XA ? XB有最小值-8, ???? 此时OX=? 4, 2 ?. ???? ? 2 ?当OX=? 4, 2 ?,即y=2时, ??? ? ??? ? 有 XA =(-3,5), XB=(1,-1), ??? ? ??? ? 所以 XA ? 34, XB ? 2, ??? ? ??? ? XA ? XB 4 17 所以cos?AXB= ??? . ? ??? ? =- 17 XA XB
2 2

1.两向量的夹角:如图,∠AOB= θ(0≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 当θ=0°时,a与b同向; 当θ=180°时,a与b反向; 当θ=90°时,a与b垂直, 记作a⊥b.

2 .向量的数量积的几何意义: 对于a· b =|a|· |b|cosθ ,其中|b|cosθ叫向 量b在a方向上的射影(θ为a、b的夹角), 向量的数量积a· b等于a的长度|a|与b在 a 方向上的射影 |b|cosθ的乘积.当 θ 为 锐角时,值为正;当 θ 为钝角时,值 为负;当θ为直角时,值为零;当θ为 零时,值为|a|· |b|;当θ为180°时,值 为-|a|· |b|.

3.向量的数量积的性质: a=a· e=| a | cos? (? 为a与e的夹角; ) ?1? e· b= a b ; ? 2 ? 若a与b同向,则a· 若a与b反向,则a· b=- a b . 特别地,a· a= a 或 a = a ? a . a ?b = ? 3? 若? 为a与b的夹角,则cos?= | a |?| b | x1 x2 ? y1 y2 (已知a= ( x1,y1 ),b= ( x2,y2 )). 2 2 x12 y12 · x2 y2
2

? 4 ? | a ? b |?

a b.

4.运用平面向量的数量积应该注意以 下几个方面: (1) 两个向量的夹角的取值范围为 [0°, 180°]; (2) 两向量的数量积是一个数,而不是 一个向量,并且数量积是向量间的一种乘 法,与以前所学的乘法是有区别的,书写 时要区分开; (3)当a≠0时,a· b=0不能推出b一定是零 向量,因为当a⊥b(a≠0)时,a· b =0 ;

(4) 用向量的数量积可解决有关长度、 角度和垂直的问题; (5) 对于实数 ab = bc(b≠0)?a = c ;但 对于向量,由a· b=b· c不能得到a=c; (6) 向量的数量积只适合交换律、加 法分配律、数乘向量结合律,不适合乘 法结合律,即 (a· b)c 不一定等于 a(b· c) , 因 (a· b)c 表示与 c 共线的向量,而 a(b· c) 表 示与a共线的向量.


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