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中考数学第一轮总复习 二、因式分解、分式、数的开方教案 人教新课标版

二、因式分解、分式、数的开方(3 课时) 因式分解、分式、数的开方( 课时)
教学目标: 教学目标: 1. 掌握本部分的知识结构图.基本概念的掌握要到位,不仅要理解更要会运用,复习时应 要求学生先观察后动手,并保证较高的正确率。 2. 让学生自己总结交流所学内容,发展学生的语言表达能力和合作交流能力. 3.通过学生自己归纳总结本部分内容,使他们在动手操作方面,探索研究方面,语言表达 方面,分类讨论、归纳等方面都有所发展. 教学重点与难点 重点:复习性质、公式、法则时,要注意运用的条件,并重视对典型例题的变式训练,以达 重点 到熟悉运用公式、法则,提高运算能力的目的.. 难点: 难点:复习性质、公式、法则时,要注意运用的条件,并重视对典型例题的变式训练,以达 到熟悉运用公式、法则,提高运算能力的目的. 教学时间: 教学时间:3 课时 因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要 3 课时,其中包括单元测 试.下表为复习内容及课时安排: 课时数 内容 1 因式分解 1 分式 1 数的开方 因式分解、分式、数的开方单元测试与评析 教学过程: 教学过程: 【知识回顾】 知识回顾】 知识回顾 知识脉络(教材相应章节重要内容的结构与联系) 1、知识脉络 提公因式法 因式分解 公式法

分组分解法

十字相乘法

通分 分式的 基本性质 约分 实际 问题

分式 分式的乘除 分式运算 分式的加减

平方根
1

二次根式 化简 计算
1

数的开方 立方根 2、基础知识(教材相应章节重要内容整理) 基础知识 (1)因式分解的概念:把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,叫做因式分解,也叫 分解因式. (2)因式分解的方法: ①提公因式法: ma + mb + mc = m( a + b + c ) ; ② 公 式 法 :

a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b), a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2



a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) ;
2 ③十字相乘法: x + ( a + b) x + ab = ( x + a )( x + b) ;

a1 a 2 x 2 + (a1c 2 + a 2 c1 ) x + c1c 2 = (a1 x + c1 )(a 2 x + c 2 ) ,( a1 a 2 ≠0).
④分组分解法:分组以后能提公因式或利用公式分解,从而把原多项式因式分解. (3)分式的概念:形如

A (A、B 是整式,且 B 中含有字母,B≠0)的代数式叫做分式.分 B A A× M A A ÷ M = , = (其中 M 是不为零的整式). B B×M B B ÷ M

式有意义的条件是分母不等于零;分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. (4)分式的基本性质:

(5)分式的运算与分数的运算相仿. (6)平方根与算术平方根的概念:如果 x 2 = a ( a ≥ 0) ,那么 x叫做a 的平方根,记作

x = ± a (a ≥ 0) ,其中 a (a ≥ 0) 叫做 a 的算术平方根.
(7)立方根的概念:如果 x = a, 那么 x 叫做 a 的立方根,记为 x = 3 a
3

(8)二次根式概念:形如 a (a ≥ 0) 的式子叫二次根式. (9)最简二次根式:满足下列两个条件,被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方 数中不含有能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式. (10)同类二次根式:把几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么 这几个二次根式叫做同类二次根式. (11)相质: a ≥ 0( a ≥ 0); ( a ) 2 = a ( a ≥ 0); a 2 =| a |; ab =

a b (a ≥ 0, b ≥ 0) ;

a = b

a b

(a ≥ 0, b > 0) .

(12)二次根式的运算:①加、减运算:先把每个二次根式化为最简二次根式,然后再合 并同类二次根式.②乘、除运算:是积、商性质的逆向应用.运算结果中每一个二次根式都 应是最简二次根式. 3、能力要求 在 二 次 根 式 ① 12 , ②

例 1

23 , ③
2

2 , ④ 27中与 3 是 同 类 二 次 根 式 的 是 3
2



). A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【分析】 解答本题的关鍵是能正确化简题中的四个二次根式, 然后根据被开方数是否相同来 选择与 3 是否为同类二次根式. 【解】∵ 12 = 2 3 , 2 = 2 2 ,
3

2 1 = 6 , 27 = 3 3 . 3 3

∴与 3 是同类二次根式的是①④,故答案选项 C. 【说明】最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念,正确理解这两个概念,是 进行二次根式加减运算的前提,因此在总复习时,应加强二次根式的化简的习题训练. 例2 把下列各式因式分解: (1)a ? a + b ? b
2 2

(2) x ? 8
3

1 3 y 27

(3)6m + 7 mn ? 20n
2

2

【分析】(1)本题在进行因式分解时,不能直接提公因式或用公式法来分解,因此考虑用 分组分解法.在分组时,尝试第一、第二两项分在一组,第三、第四两项分在另一组后不能 继续分解,因此把第一、第四两项结合,第二、第三两项结合,通过提公因式后来实现因式 分解.(2)把 8 x 化为 (2 x) 3 ,把
3

1 3 1 y 化为 ( y ) 3 ,然后直接利用立方差公式来进行因 27 3

式分解.(3)对于二次三项式的因式分解,常常考虑用十字相乘法来分解. 【解】(1)原式= ( a 2 ? b 2 ) ? ( a ? b) = ( a + b)( a ? b) ? ( a ? b) = ( a ? b)( a + b ? 1) . (2)原式=(2x) - ( y ) =(2x3

1 3

3

1 2 1 y )(4x2+ xy + y 2 ) . 3 3 9

(3)原式= (3m ? 4n)( 2m + 5n) . 【说明】华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低.事实上,让学生掌握十字 相乘法分解因式,对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用;另外,分组是 数学中的一种重要的解题思想方法, 对于不能直接提公因式、 利用公式来分解因式的多项式, 可以尝试用分组分解法来进行因式分解.对于立方和(差)公式,在中考总复习时要补充, 让学生会运用公式来因式分解. 例 3 化简: ( a ?

a a 2 ? 2a a +1 )÷ 2 ? 2 . a +1 a ? 4 a + 3a + 2

【分析】在进行分式的加减乘除混合运算中,要注意运算顺序,先算乘除、再算加减,有括 号先算括号里面的.对于分子、分母是多项式的分式,应先把分子、分母因式分解,然后再 约分化简.

a 2 + a ? a (a + 2)(a ? 2) a +1 a 【解】原式= ? ? = . a +1 a(a ? 2) (a + 1)(a + 2) a + 1
【说明】 分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、 通分、 约分等运算能力的经典题型, 是学生中考过关的重要题型之一,复习中要高度重视. 例 4 已知 a =

1 1? 2

,b =

1 1+ 2

,求代数式 a b + ab 的值.
3 3

3

3

【分析】由于 a 、b 均为可化简的二次根式,应先将 a 、b 进行化简。而多项式的次数较高, 且可以因式分解,因此,容易想到转化的思想方法,把比较复杂的计算问题简单化. 【解】∵ a =

1 1? 2

= ?1 ? 2 , b =

1 1+ 2

= ?1 + 2 ,

∴ a + b = ?2, ab = ?1 , ∴ a b + ab = ab(a + b ) = ab[(a + b) ? 2ab] = ?( 4 + 2) = ?6 .
3 3 2 2 2

【说明】本题考查学生数学方法是:分母有理化、因式分解、配方法;运用数学思想是:转 化思想、整体思想.教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透.

a2 ?1 a 2 ? 2a + 1 1 例 5 先化简,再求值: . ? , 其中a = 2 a ?1 a ?a 2+ 3
【分析】化简本题时可先利用公式 a 2 =| a |= ?a ( a < 0) 来化去根号,然后通过分子、分 母因式分解约分化简. 【解】∵ a =

1 2+ 3

= 2 ? 3,

1 = 2 + 3 , ∴ a ? 1 = 1 ? 3 < 0, a

∴原式=

(a + 1)(a ? 1) | a ? 1 | (a ? 1) 1 ? = a +1+ = a + +1 = 4 +1 = 5 . a ?1 a (a ? 1) a (a ? 1) a 1 + 1 后求值的方法技巧,告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求 a a + b + 3 = 0, 求 b a + + 2 的值. a b

【说明】本题是分式和二次根式的综合计算问题,难点是要判断 a-1 的正负性.另外,值得 注意的是化简结果 a + 值. 例 6 已知 (ab) 2 ? 4ab + 4 +

【分析】有效利用配方法,由已知条件求出 a+b,ab 的值,然后通过通分把未知分式转化为 a+b,ab 的代数式,从而由整体代入法来求出结果. 【解】∵ ( ab) 2 ? 4ab + 4 +

a + b + 3 = 0, ∴ (ab-2) 2 + a + b + 3 = 0, b a b 2 + a 2 + 2ab (a + b) 2 9 + +2= = = . a b ab ab 2

∴ ab = 2 , a + b = ?3 ,∴

【说明】利用因式分解的公式法,把已知等式化为两个非负数的和,再求出隐含结论 a + b , ab 的值是解决此题的突破口.利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知 a + b , ab 的式子,让学生体会整体思想方法和转化思想方法.

4

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