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3.2几种常见函数的导数


3.2 几种常见函数的导数
一、四种常见函数的导数: 1. C ' ? 0 (C 为常数) 说明:此公式可以叙述为:常函数的导数为零.其几何解释是:函数 y ? C 的图象是 平行于 x 轴的直线,其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率都是 0. 证明: y ? f ( x ) =C,∴Δ y=f(x+Δ x)-f(x)=C-C=0
?y ?x



=0, y ? =C′= lim
n ?1

?y ?x

?x ? 0

=0,∴ y ? =0.

2. ( x )' ? nx
n

(n ? Q )
*

说明:实际上,此公式对 n ? R 都成立,但证明较复杂,所以课本只给出了 n ? N 的 证明
王新敞
奎屯 新疆

证明: y ? f ( x ) = x

n

∴Δ y=f(x+Δ x)-f(x)= ( x ? ? x ) ? x
n

n

= x +C n x =C n x
?y ?x
1
n ?1

n

1

n ?1

Δ x+ C n x
2
n?2

2

n?2

(Δ x) +…+ C n ( ? x ) - x
n

2

n

n

Δ x+ C n x
n ?1

(Δ x) +…+ C n · ( ? x ) Δ x+…+ C n · ( ? x )
n
n ?1

2

n

n

=C n x

1

+C n x

2

n?2

∴ y ? = ( x ) ? = lim
n

?y ?x
n ?1

?x ? 0

= lim ( C n x
?x ? 0

1

+C n x

2

n?2

Δ x+…+ C n · ( ? x )

n

n ?1

)= C n x

1

n ?1

=n x

n ?1

∴ y ? = ( x )' ? nx
n

n ?1

3. (sin x )' ? cos x 证明方法一:y=sinx,Δ y=sin(x+Δ x)-sinx=sinxcosΔ x+cosxsinΔ x-sinx
?y ?x ? sin x cos ? x ? cos x sin ? x ? sin x ?x ?y ?x ? lim sin x cos ? x ? cos x sin ? x ? sin x ?x
1

∴ y ? = lim

?x ? 0

?x ? 0

? lim

s in x (c o s ? x ? 1) ? c o s x s in ? x ?x
s in x ( ? 2 s in
2

?x? 0

?x 2

) ? lim c o s x
?x? 0

? lim

s in ? x ?x

s in ? lim ( ? 2 s in x ) ?
?x? 0

2

?x

?x? 0

?x

2 ? ? x ? cos x ?x 2 4 ( ) 2

=-2sinx·1·0+cosx=cosx ∴ y ? =cosx 证明方法二: y ? sin x ,
? y ? sin( x ? ? x ) ? sin x ? 2 cos
?x ? ?x ? ? 2 cos ? x ? , ? sin 2 ? 2 ?

(x ? ?x) ? x 2

sin

(x ? ?x) ? x 2

?y

?x ? ? ? cos ? x ? ? ?x 2 ? ?

sin

?x

2 , ?x 2 ?y ?x ? ? ? lim cos ? x ? ? ?x? 0 ?x 2 ? ? sin ?x



y ' ? (sin x )' ? lim

?x? 0

2 ?x 2

? lim

?x ? 0

? ?x cos ? x ? ? 2 ?

? ? lim ? ?x ? 0 ?

sin

?x 2 ? cos x .

?x 2

4. (cos x )' ? ? sin x 证明方法一:y=cosx, Δ y=cos(x+Δ x)-cosx=cosxcosΔ x-sinxsinΔ x-cosx
y ? = lim

?y ?x

?x ? 0

? lim

cos x cos ? x ? sin x sin ? x ? cos x ?x

?x ? 0

? lim

c o s x (c o s ? x ? 1) ? s in x s in ? x ?x
c o s x ( ? 2 s in
2

?x? 0

?x 2

) ? lim s in x
?x? 0

? lim

s in ? x ?x

?x? 0

?x

s in ? lim ( ? 2 c o s x )
?x? 0

2

?x

2 ? ? x ? s in x ? 1 ? ? 2 co s x ? 1 ? 0 ? sin x ? ? sin x ?x 2 4 ( ) 2
2

∴ y ? =-sinx 证明方法二: y ? cos x ,
? y ? cos( x ? ? x ) ? cos x ? ? 2 sin
?x ? ?x ? ? ? 2 sin ? x ? , ? sin 2 ? 2 ?

(x ? ?x) ? x 2

sin

(x ? ?x) ? x 2

?y

?x ? ? ? ? sin ? x ? ? ?x 2 ? ?

sin

?x

2 , ?x 2 ?x



y ' ? (cos x )' ? lim

?y

?x? 0

?x ? ? ? ? lim sin ? x ? ? ?x? 0 ?x 2 ? ? ?x

sin

2 ?x 2

?x ? ? ? ? lim sin ? x ? ? lim ?x? 0 2 ? ?x? 0 ?

sin

2 ?x 2

? ? sin x .

∴ y ? =-sinx. 第二种方法比较简便, 所以求三角函数的极限时, 选择哪一种公式进行三角函数的转化, 要根据具体情况而定,选择好的公式,可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以 作为四个公式,以后可以直接用 二、讲解范例:
王新敞
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例 1 求 (1)(x3)′ (2)(


1 x
2

)′ (3)(

x )′

解:(1) (x3)′=3x3 1=3x2; (2) (
1 x
2

)′=(x 2)′=-2x



-2-1

=-2x

-3

1

(3) (

x )? ? ( x )? ?
2

1 2

1

?1

x

2

?

1 2

?

1 2

x

? 2

1
王新敞
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x

例 2 质点运动方程是 s ? 解:∵ ∴ ∴
s ? 1 t s?
t?2 5

1 t
5

, 求质点在 t ? 2 时的速度.

1 t
5


?5

s? ? (

) ? ? (t

) ? ? ? 5t ? ? 5 64

?6

,

? ?5 ? 2

?6


3

答:质点在 t ? 2 时的速度是 ? 例 3 求曲线 y ? sin x 在点 A ( 解:∵
y ? sin x

5 64 1 2


) 的切线方程.

?
6

,


?
6 3 2

y ? ? (sin x ) ? ? cos x



y?

x?

?
6

? cos

?



所求切线的斜率 k ?

3 2 1 2 3 2

∴ 所求切线的方程为

y ?

?

(x ?

?
6

),



6 3 x ? 12 y ? 6 ?

3? ? 0

答:曲线 y ? sin x 在点 A (

?
6

,

1 2

) 的切线方程为 6 3 x ? 12 y ? 6 ?

3? ? 0 .

三、练习: 1. (口答)求下列函数的导数:(1)y=x5

(2)y=x6 (3)x=sint (4)u=cos ?

答案: (1)y′=(x5)′=5x4; (2)y′=(x6)′=6x5; (3)x′=(sint)′=cost; (4)u′=(cos ? )′=-sin ? 2.求下列函数的导数:(1)y=
1 x 1 x
3 3

(2)y=

3

x

答案:(1) y′=(

)′=(x 3)′=-3x



-3-1

=-3x

-4

1 3 (2 y ? ? ( x ) ? ? ( x 3 ) ? ?

1 3

1

?1

x

3

?

1 3

?

2 3

x

3.质点的运动方程是 s=t3,(s 单位 m,t 单位 s),求质点在 t=3 时的速度. - 解:v=s′=(t3)′=3t3 1=3t2 当 t=3 时,v=3×32=27 m/s,∴质点在 t=3 时的速度为 27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是 s=s(t)= 度. 解:v=s′(t)=(
1 2 1 2

gt2,(s 单位 m,t 单位 s,g=9.8 m/s2),求 t=3 时的速

gt2)′=

1 2

g·2t2 1=gt.



t=3 时,v=g·3=9.8·3=29.4 m/s,∴t=3 时的速度为 29.4 m/s. 5.求曲线 y=x4 在点 P(2,16)处的切线方程.
4

解:y′=(x4)′=4x4 1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32 ∴点 P(2,16)处的切线方程为 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0 - 四、 小结 : 这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C 是常数), n)′=nxn 1(n∈R), ②(x ③(sinx)′ =cosx,④(cosx)′=-sinx
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