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2012年 - 河北 - 保定市 - 高三 - 省市模拟(期末调研) - 理科 - 数学


【试题总体说明】 试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,具有一定的区分度, 整 体难度适中。无偏、难、怪题出现,遵循了科学性、公平性、规范性的原则,彰显了时代精 神,为新课标的高考进行了良好的铺垫。作为阶段性考查, 本套试题没有涉及到选做题是一 个遗憾。 主要通过以下命题特点来看:第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。如选择 2,3 等; 第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,难度适中。如选择 12.第三,突出思想方法,注 重能力考查。"考查基础知识的同时,注重考查能力"为命题的指导思想,将知识、能力和素 质融为一体,全面检测了考生的数学素养,几乎每个试题都凝聚了命题人对数学思维和方法 的考查如解答题 22.第四,结构合 理,注重创新,展露新意。如填空 16 题。 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非 选择题)两部分, 满分150分,考试时间120 分钟 第I卷(选择题共60分) 注意事项: 1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓 名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3. 考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题(本大题共12个 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1 已知复数 z 的实部为 1, 虚部为 -2 ,则 ?5i ? z ? A、 10 ? 5i 答案:B 解析: z ? 1 ? 2i ?(5i) z ? (5i) ?1 ? 2i ? ? 10 ? 5i 2. B、 5 ? 10i C、 ?5 ? 10i
[来源:学_科_网]

D、 ?2 ? i

?

1

?1

(sin x ? 1)dx 的值为
B、O C、 2 ? 2 cos1 D. 2 ? 2 cos1

A. 2 答案:A 解析:

?

1

?1

(sin x ? 1)dx ? ? ? cos x ? x ??1 ? (? cos1 ? 1) ? ? ? cos(?1) ? 1? ? 2
1

3. 已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1) ,且 a∥b ,则 tan(? ?

?

?

? ?

?
4

) 等于

[来源:学科网ZXXK]

解析:当 p :" a ? 2 " 时, q :" 直线 x ? y ? 0 与圆 x2 ? ( y ? a)2 ? 1 相切成立,而当 q :" 直 线 x ? y ? 0 与圆 x2 ? ( y ? a)2 ? 1 相切时, a ? ? 2 ,所以 p :" a ? 2 " 不一定成立,所以

p 是 q 的充分不必要条件。
5. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 A、 9? B、 12? 答案:D C、

11 ? 3

D、

13 ? 3

解析:该几何体应为上面是球,下面是高为2圆柱,且球直径与圆柱底面直径相等,均为2 ,所以体积为 ? ?1 ? ? ?1 ? 3 ?
3 2

4 3

13 ?. 3

6. 已知点 P( x, y) 满足 x ? y ? 1 , 集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 1 , 在集合 M 中任取一点,
2 2

?

?

则恰好取到点 P 的概率为

1
A、 ? 答案:B

2
B、 ?

3
C、 ? D、1

解析:点 P( x, y) 所在正方形的面积为2,集合 M 所表示的圆的面积为 ? ,所以所求概率

2
为? .

7. 已 知 m, n 表 示 直 线 , ? , ? , ? 表 示 平 面 , 给 出 下 列 四 个 命 题 , 其 中 真 命 题 为

(1)? ? ? ? m, n ? ? , n ? m则? ? ? (2)? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 则n ? m (3)m ? ? , m ? ? , 则? ? ? (4)m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ?
A、(1) (2) B、(3)(4) C、(2) (3) D、(2) (4) 答案:D 解析: (1)两个平面可能为任意相交,不一定是垂直 相交,所以(1)错; (2)两条直线 还可能平行或相交,不一定垂直,所以(2)错;所以(3) 、 (4)对。 8. 执行右面的程序框图,则输出的S= A. 48! 答案:C B

49!

C. 50!

D

51!

解析:由 k ? 1, S1 ? 1, k ? 50? 是, S2 ? 1 ? 1!, k ? 2 ;

k ? 2, S2 ? 1, k ? 50? 是, S3 ? 2 ? 2!, k ? 3 ; k ? 3, S3 ? 2, k ? 50? 是, S4 ? 6 ? 3!, k ? 4 ……得 Sk ? (k ?1)!因为当 k ? 50? 否时输
出 S ,所以此时应输出 S51 ? (51 ?1)! ? 50!
9. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示, m ? R ,则 f (m) ? f (?m) 的值一定 A.等于0 C.小于0 答案:B B不小于0 D.不大于0

解析:由图像可知 a ? 0, f (0) ? 0, 得d ? 0 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 有两个根,且和为

负,由韦达定理得 ?

2b ? 0 ,所以 b ? 0 ,所以: 3a

f (m) ? f (?m) ? bm2 ? 2d ? bm2 ? 0 .
10. 已知数列 ?an ? (n ? N * ) 满足 a1 ? 3, a2 ? 7 ,且 an?2 总等于 an an?1 的个位数字,则 a2012 的值为

又因为 a ? b ? c ,所以 a ? 2 2 ? 5 b, 所以双曲线的离心率:
2 2 2

e?

c ( 5 ? 2)b 2? 5 ? ? . a 2 2 ? 5b 2

12.设数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数 列,令 bn ? an ? 1(n ? N * ) ,若数列 ?bn ? 有连续四项 在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则公比 q ?

2 3 1 3 ? 或 C、 2 2
A.

?

B、

1 ? 或?2 2 2 3 ? 或 D. 3 2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

答案:D

解析:数列 ?bn ? 的连续四项为 81, ? 54,36, ?24或 ? 24,36, ?54,81,所以公比
2 3 q ? ? 或- . 3 2

第II卷(共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上)
2 13. ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为________.
8

1 x

答案:-56 解析: ( x ? ) 的展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C8 x
8 r

1 x

8? r

1 (? ) r ? (?1) r C8r x8? 2 r ,令 8 ? 2r ? 2 x

2 3 ,得 r ? 3 ,所以 x 的系数为 (?1)3 C8 ? ?56 .

答案:12

解析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 10 ,由抛物线定义得

AF ? BF ? y1 ? y2 ? p ? 10 ? 2 ? 12 .
16.已知 O 为正 ?ABC 内的一点,且满足 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC ? 0 ,若 ?ABC 的面积与

??? ?

??? ?

??? ?

?

?OAC 的面积 比值为3,则 ? 的值为________.

三、解答题(本大题共6小题,70分.解答应写出必要 的文字说明、证明过程或演箅步骤). 17. (本小题满分10分) 已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ?
图象如图所示. (1) 求函数 f ( x ) 的解析式;

?
2

) ,的部分

(2) 如何由函数 f ( x ) 的图象通过适当的平移与伸缩变换得到函数 y ? sin x 的图象,写出变 换过程. [命题分析]本题考查三角函数的解析式和函数图象变换, 考查学生的识图能力和转化划归能 力。第一问可直接借助图象分析函数的周期和振幅,然后代入最值点求 ? ;第二问中要注意 变换的顺序。 解析: (1)由图象知 A ? 1 ………………………………………..1 分

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? (
将点 ?

5? ? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2 ………………………3 分 12 6 T

? ? ? ?? ? ?? ? . ,1? 代入 f ( x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 ? ? , 3 2 6 ?6 ?

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)变换过程如下:

?
6

) ………………………5 分

所有点的横坐标扩大原来的 2 倍,纵坐标不变 y ? sin(2 x ? ) ???????????? ? y ? sin( x ? ) …………8 分 6 6

?

?

??????? ? y ? sin x ……………………………………..10 分
另解: y ? sin(2 x ?

图像向右平移 个单位 6

?

?
6

) ??????? ? y ? sin 2 x …………………8 分

图像向右平移 个单位 12

?

所有点的横坐标扩大原来的2倍,纵坐标不变 ???????????? ? y ? sin x ………………………………..10 分

1 8. (本小题满分12分) 某 单位为了提髙员工身体素质,特于近期举办了一场跳绳比赛,其中 男员工12人,女员工

写出 ? 的分布列,并 求 ? 的数学期望.

[命 题分析]本题考查茎叶图和分层抽样以及随机事件的概率和期望,考查学生 的阅读能力和计算能力.第一问关键利用茎叶图 分析各类的人数和 每个人被抽中的 概率;第二问中,明确 ? 的取值,然后利用随机事件的概率计算.
解析:(1)根据茎叶图,有“运动健将”12人,“运动积极分子”18人………1分

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

10 1 ? . 30 3

所以选中的“运动健将”有4人,“运动积极分子”有6人……………3分 用事件 A 表示“至少有一名?运动健将?被选中”

则 P( A) ? 1 ?

4 C6 15 13 ? 1? ? …………………………………5分 4 C10 210 14

因此,至少有一人是“运动健将”的概率是 14 ………………………6分

13

(2)依题意, ? 的取值为0,1,2,3………………………7分

P(? ? 0) ?

3 1 2 C8 C4 C8 28 14 ? , P ( ? ? 1) ? ? 3 3 C12 55 C12 55 2 1 3 C4 C8 12 C4 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C12 55 C12 55 ……………………9分

P(? ? 2) ?

因此, ? 的分布列如下

?
P

0

1

2

3

14 55

28 55

12 55

1 55

…………………………………………………………………………………10分
E? ? 0 ? 14 28 12 1 ? 1? ? 3 ? ? 4 ? ? 1……………………………………12分 55 55 55 55 1 an an ?1 (n ? N * ) , 其中 a1 ? 1 2

19. (本小题满分12分) 已知各项全不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;
2 * (2)在平面直角坐标系内,设点 P ,试求直线 OP 斜率的最小值( O n n (n, an ? 16), n ? N

为坐标原点).

法一:令 n ? 2m ?1,(m ? N * ) 得? a2m?1 ? 1 ? 2(2m ? 1) ? 2m ? 1 …………………..6 分 令 n ? 2m,(m ? N * ) 得?a2m ? 2 ? 2(m ?1) ? 2m 所以 an ? n(n ? N * ) ……………………………………………………………..8 分 法二:?? an?1 ? an ? ? ? an ? an?1 ? ? 2(n ? 2) 即 an?1 ? an ? 2 ? ? an ? an?1 ? …………….………….…………….……..6 分

an ? an?1 ? 2 ? ? an?1 ? an?2 ?
………….………….…………
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

a3 ? a2 ? 2 ? ? a2 ? a1 ?
又 a2 ? a1 ? 2 ?1 ? 1

? an ? an?1 ? 1
所以 an ? n(n ? N * ) ……………………………………………………………..8 分
2 * (2)? an ? n ? Pn (n, an ? 16), n ? N

?

?

? kOPn ?

an 2 ? 16 n2 ? 16 16 16 ? n ? ? 2 n ? ? 8 ……………..10 分 n n n n

(当且仅当 n ? 4 时取等号)……………..11 分 即直线 OP 斜率的最小值为 8……………..12 分 n

计算能力。第一问可借助线面垂直证明线线垂直;第二问可利用向量法求解;第三问利用向 量法求出线面角,然后利用函数求导计算最值. 解析: (1)证明:取 AB 中点 E ,连接 ME , CE ,则有 ME与NC 平行且相等 所以四边形 MNCE 是平行四边形, MN∥CE ……………..2 分

? AA1 ? 面ABC, CE ? 面ABC ? AA1 ? CE ? MN ? AA1 ……………..3 分
(2)设 AB1 中点为 G ,连接 GE , NE , GN 则 ?NEG 即为所求二面角的平面角 又易得 GE ? 1, NE ?

7 3 , GN ? …… ……………………………..5 分 2 2

?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ??1 ?? 3 3 y?z ?0 ? y?z ?0 ? x? ?2 2 ? 2
? 3 y ? 1, ? n ) 1 ? (0,1, ? 令 2 ……………………..7分
设二面角 B1 ? AB ? N 的大小为 ? ,又平面 ABB1 的法向量 n2 ? (0,1,0)

?

? ? n1 ? n2 2 7 ……………………..8分 ? cos ? ? ? ? ? 7 n1 ? n2

???? ? ? (3) sin ? ? cos MN , n1 ?

3 3 ? (2? ? 1) 2 2 1 3 3 ( ? ? )2 ? ? (1 ? 2? ) 2 1 ? 2 4 4

?

2 21 ?2 (? ? ?0,1?) …………………..10分 7 5? 2 ? 5? ? 2

?2 4? ? 5? 2 ' f (? ) ? 2 , 则f (? ) ? ?0 令 5? ? 5? ? 2 (5? 2 ? 5? ? 2)
4 ? ? ? 或0 . 5 4 8 ?当? ? ? 0,1?时, f (? ) man ? f ( )= 5 15
[来源:Zxxk.Com]

? sin ? ?max ?

4 70 35 …………………………………………..12分

21. (本小题满分12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F (c, 0) 且 a ? b ? c ? 0 ,设短轴的一个端点 a 2 b2

为 D ,原点 O 到直线 DF 的距离为 2 ,过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C , G

3

两点,且 GF ? CF ? 4 .

??? ?

??? ?

又原点 O 到直线 DF 的距离为 2 ,? 2 ? 2 ? bc ? 3 ………….2 分 又 a2 ? b2 ? c2 , bc ? 3,a ? b ? c ? 0?b ? 3,c ? 1,

3

bc

3

x2 y 2 故椭圆方程为 4 ? 3 ? 1 ……………………. ………… 4 分
(2)显然当直线 l 与 x 轴垂直时不可能满足条件……. …………5 分 故可设存在满足条件的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ,带入椭圆 E 的方程得

因为 A, B 为不同的两点,所以

? ? ? ?8k (2k ? 1) ? ? 4(3 ? 4k 2 )(16k 2 ? 16k ? 8) ? 32(6k ? 3) ? 0
2

1 k ? ? 所以 2 ………………. …………11 分 1 故k ? 2
所以存在满足条件的直线 l ,且其方程为 y ? 22. (本小题满分12分)

1 x 2

ex 已知:函数 f ( x) ? 2 .(其中e为自然对数的底数,e=2.71828?〉. x ? ax ? 1
(1) 当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的图 象在点 x ? 0 处的切线方程; (2) 当 a ? ? 0,2? 时,试求函数 f ( x ) 的极值; (3)若 a ? ? 0, ? ,则当 x ??0, a ? 1? 时,函数 f ( x ) 的图象是否 总在不等式 y ? x 所表示的 平面区域内,请写出判 断过程.

? ?

1? 2?

e e1? a 所以函数 f ( x ) 的极大值为 f (1) ? 2 ? a ,极大值为 f (1 ? a ) ? 2 ? a …………………..5 分
(3)①当 a ? 0 时 法一:因为函数 f ( x ) 在 ?0,1? 单调递增,所以其最小值为 f (0) ? 1 ,而函数 f ( x ) 在 ?0,1? 的 最大值为 1,所以函数 f ( x ) 图象总在不等式 y ? x 所表示的平面区域内……………..6 分 法二:因为 f ( x) ? x ?

e x ? ( x3 ? x) x2 ? 1

而当 x ? ? 0,1? 时 e x ? 1 ? x ? x3 ? x , 又 f (0) ? 1 , f (1) ?

e ? 1 ,即当 x ??0,1? 时 f ( x) ? x 成立 2

所以函数 f ( x ) 图象总在不等式 y ? x 所表示的平面区域内……………..6 分 ②当 a ? ? 0, ? 时 ,

? ?

1? 2?

令 g( x) ? ex - ?1? x ? x, g '( x) ? ex -2x-1,g ''( x) ? ex -2
? 3? ? x ? ?1, ? ? g ''( x) ? 0,? g '( x) 单调递增 ? 2?
3 3 ? 3? ? g '(1) ? e ? 3 ? 0, g '( ) ? e 2 ? 4 ? 0 ??x0 ? ?1, ? 2 ? 2?

使得 g '( x0 ) ? ex0 ? 2x0 ?1 ? 0

? g ( x)在(1, x0 ) 上单调递减,在

3 ( x0 , ) 单调递增…………………..10分 2

所以 g ( x) ? g ( x0 ) ? ex0 -x02 ? x0 ? 2x0 ?1 ? x02 ? ?x02 ? x0 ?1
? 3? ? x ? ?1, ? ? g ( x0 ) ? ? x0 2 ? x0 ? 1 ? 0, ? 2?

即 ex ? ?1? x ? x 也即 f (1 ? a) ? 1 ? a
所以函数 f ( x ) 图象总在不等式 y ? x 所表示的平面区域内……………..12 分


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