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新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章 第45讲 简单复合函数的导数


1.函数y ? ? x ?1? ? x ?1? 在x ? 1处的导数为 2 2 4 解析:因为y? ? 2 ? x ? 1?? x ?1? ? ? x ? 1? ,  y x ?1 ? 4. ?5 1 y? ? 12 ?1 ? 3x ? .   2. y ? 的导数等于  4 ?1 ? 3x ? 1 1 2 3.下列函数:①y ? 2 ? cos2x;②y ? 2 ? sin x; 4 2 1 2 1 2 ③y ? sin x;④y ? x ? cos x,其中导数不等 2 2 1 于y? ? sin2x的是 ④   . 2 1 1 解析:①y? ? (2 ? cos2x)? ? 0 ? ? ?sin2x ?? 2x ? ? 4 4 1 1 ? sin2x ? 2 ? sin2x. 4 2 1 2 1 ②y? ? (2 ? sin x)? ? 0 ? ? 2sinx ? ? sinx ? ? 2 2 1 1 ? ? 2 ? sinx ? cosx ? sin2x. 2 2 1 2 1 ③y? ? ( sin x)? ? ? 2sinx ? sinx ? ? 2 2 1 1 ? ? 2sinxcosx ? sin2x. 2 2 1 1 2 ④y? ? ( x ? cos x)? ? 1 ? ? 2cosx ? cosx ? ? 2 2 1 1 ? 1 ? ? 2cosx ? ?sinx ? ? 1 ? sin2x. 2 2 1 故④的导数不等于y? ? sin2x. 2 4.下列函数①f ? x ? ? ? x ? 1? ? 3 ? x ? 1?; 3 ②f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 3; ③f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 3; 2 ④f ? x ? ? x ? 1, 其中在x ? 1处的导数为3的是  ①   . 【解析】当f ? x ? ? ? x ? 1? ? 3 ? x ? 1?时, 3 f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 3,在x ? 1处的导数为3; 2 当f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 3时,f ? ? x ? ? 2; 当f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 3时,f ? ? x ? ? 4 ? x ? 1?; 2 当f ? x ? ? x ? 1时,f ? ? x ? ? 1. 故在x ? 1处的导数为3的是①. 简单复合函数 【例1】试说明下列函数是怎样复合而成的? ?1? y ? ? 2 ? x ? 2 ? 2 ? y ? sinx . 2 3 ; ( 1)函数y ? ? 2 ? x 2 【解析】 2 3 ? 由函数y ? u 3 和 2 u ? 2 ? x 2 复合而成. ? 2 ? 函数y ? sinx 由函数y ? sinu和u ? x 复合而成. 讨论复合函数的构成时,“内层”、 “外层”函数一般应是基本初等函数,如一次 函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角 函数等. 写出由下列函数复合而成的函数: 【变式练习 1】 ?1? y ? cosu,u ? 1 ? x ; ? 2 ? y ? lnu,u ? lnx. 2 ( 1)y ? cos ?1 ? x ?. 2 【解析】 ? 2? y ? ln ? lnx ?. 简单复合函数的求导 设a>1,f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? 1? ? e1? x, 【例2】 2a ? 1 ? (2a ? 1) x

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