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2019年人教版必修五高中数学2.4第1课时等比数列优质课课件(1)_图文

2.4 等比数列 第1课时 等比数列 等差数列定义 1, 3, 5, 7, 9,?; (1) 3, 0, -3, -6, ? ; (2) 1 2 3 4 , , , ,… ( 3) 10 10 10 10 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公 差通常用字母d表示. 庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木棒, 每日取其一半,永远也取 不完”. 如果将“一尺之棰”视为一 份,则每日剩下的部分依次 为: 1 1 1 1 1 , , , , ,? 2 4 8 16 生活中的数列 1.放射性物质镭的半衰期为1 620年,如果从现 有的10克镭开始,每隔1 620年,剩余量依次为 1 1 2 1 3 1 4 10, 10 ? ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) , ? 2 2 2 2 2.某人年初投资10 000元,如果年收益率为5%, 那么按照复利计算,5年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05 , 10 000×1.052 , 10 000×1.053 , 10 000×1.054 ,10 000×1.055 1.理解等比数列的概念.(重点) 2.掌握等比数列的通项公式,通过实例发现数 列的等比关系,提高数学建模的能力.(重点、 难点) 探究点1:等比数列定义 看下列数列: 1.1,2,22,23,24 , ? ; 1 1 1 1 2. 1 , , , , , ?; 2 4 8 16 1 1 2 1 3 1 4 3 . 1 0 , 1 0× ,1 0×( ) ,1 0×( ) ,1 0×( ) ,? ; 2 2 2 2 4.10 000 ×1.05 , 10 000 × 1.052 , 10 000 × 1.053 , 10 000 × 1.054 , 10 000 × 1.055 ; 5. 3,9,27,81,?; 1 1 1 1 6 .? , , ? , ,? . 2 4 8 16 思考:它们的共同特点是什么? 提示:从第二项起,每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数. 等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个 数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示 (q≠0). 等比数列的定义 a2 a3 a4 a5 an ? ? ? ?? ? ?q a1 a 2 a 3 a 4 a n ?1 an ? q ( n ? 2, n ? N * ) a n ?1 a n ?1 ? q ( n ? 1, n ? N * ) 或 an 注意: 1.公比是等比数列从第2项起,每一项与它的 前一项的比,不能颠倒. 2.对于一个给定的等比数列,它的公比是同一个 常数. 写出上面六个等比数列的通项公式(如下),类比等差 数列的通项公式的推导过程,补全首项是 a1 ,公比 是q的等比数列 {an } 的通项公式. n-1 1. 2 1 2. n-1 2 n 1 n-1 3. 10 ? ( ) 2 n 4. 10 000 ? ( 1.05) 5. 3 n 1 6. (- 1) n 2 an ? a1q (???????? n-1 ) an , ?, 如果一个数列 a1, a 2 , a3 , ?, 是等比数列,它的公比是q,那么 a2 a3 a4 a5 ? a 1 ?q ? a 2 ?q ? a 1 ?q 2 3 ? a 3 ?q ? a 1 ?q 4 ? a 4 ?q ? a 1 ?q 由此可知,等比数列 ?a n ? 的通项公式为 ? a n ? a 1 ?q n?1 (q ? 0 ) 【即时练习】 设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.求 {an}的通项公式. 解:设q为等比数列{an}的公比,由a1=2, a3=a2+4, 得2q2=2q+4, 即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去), 故q=2.所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. 探究点2:等比中项 观察如下的两个数之间,插入一个什么数后, 这三个数就会成为一个等比数列: ±3 ,9 (1)1,____ ±6,-3 (3)-12,___ ±2 ,-4 (2)-1,____ ±1 ,1 (4)1,____ 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等 比数列,那么G叫做a与b的等比中项. G ? ? ab 【即时练习】 (2014·安徽高考)数列{an}是等差数列,若 a1+ 1, a3+ 3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=_____. 【解析】设等差数列 {an}的公差为 d,则 ( a3+ 3) =( a1+1)( a5+5) , 2 即 [(a1+2d)+3] =(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1, 所以 a3+3 =a1+1 , a5+5 =a1+1,所以 q=1. 答案: 1 2 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每 经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物 质的半衰期为多长(精确到1年)? 分析: 时间: 最初 经过1年 经过2年 经过3年 ? 经过n年 剩留量: 1 a1=0.84 a2=0.842 a3=0.843 ? an=0.84n an ? a1 ?q n?1 解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是 an .由条件可得,数列{an }是一个等比数列,其中 a1 = 0.84,q = 0.84. 设an = 0.5,则0.84n = 0.5. 两边取对数,得 nlg0.84 = lg0.5. 用计算器算得n ? 4. 答:这种物质的半衰期大约为4年. 【变式练习】 培育水稻新品种,如果第一代得到120粒

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