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高中数学北师大版必修三多媒体教学优质课件44.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差_图文

§4

数据的数字特征
4.2 标准差

4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差

1.根据实际问题的需求,能够从数据中提取基本的数字 特征,如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差 等.

2.通过实例理解数据标准差的意义和作用.
3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据的信 息.

数据的信息除了通过前面介绍的用各种统计图表 来加以整理和表达之外,还可以通过一些统计量来表 述,也就是将多个数据“加工”为一个数值,使这个

数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征.

小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、 他的弟弟和六个亲戚组成,工作人员由五个领工和十个工人 组成.工厂经营的很顺利,需增加一个新工人,小亮需要一 份工作,应征而来与小明交谈.小明说:“我们这里报酬不 错,平均薪金是每周300元.你在学徒期每周75元,不过很快 就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说:“你欺骗 了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过 每周100元,平均工资怎么可能是一周300元呢?”小明说: “小亮啊,不要激动,平均工资是300元,你看,这是一张 工资表.”

工资表如下:
人 员
周工资 人 数 合 计

小明
2400 1 2400

小明弟
1000 1 1000

亲戚
250 6 1500

领工
200 5 1000

工人
100 10 1000

这到底是怎么了?

1.什么叫平均数?有什么意义? 2.什么叫中位数?有什么意义? 3.什么叫众数?有什么意义? 4.什么叫极差?有什么意义? 5.什么叫方差?有什么意义?

6.什么叫标准差?有什么意义?

平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差
1. 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数. 数据 x1, x2 , , xn 的平均数为 x ? 平均水平.
x1 ? x2 ? n ? xn

.平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的

2.一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数. 一组数据的中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势.
3. 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. 一组数据中的众数可能不止 一个,也可能没有,反映了数据的集中趋势.

4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况.
5. 方 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 平 均 距 离 , 一 般 用 s 2 表 示 , 通 常 用 公 式
1 s 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n ? ( xn ? x ) 2 ] 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大,数据的离散程度越

大,方差越小数据的离散程度越小.

6. 标准差等于方差的正的平方根,即 s ? s2 ,与方差的作用相同,描述一组数据围绕平均数的 波动程度的大小.

例1 某公司员工的月工资情况如下表所示:
月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500

员工/人

1

2

4

6

12

8

20

5

2

(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.

(2) 公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工
资情况?税务官呢?工会领导呢?

解:(1)该公司员工的月工资平均数为
8000 ?1 ? 5000 ? 2 ? 4000 ? 4 ? 2000 ? 6 ?1000 ?12 ? 800 ? 8 ? 700 ? 20 ? 600 ? 5 ? 500 ? 2 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 12 ? 8 ? 20 ? 5 ? 2 ? 1373

即该公司员工月工资的平均数为1373元. 中位数为800元,众数为700元. (2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数

1373作为月工资的代表;而税务官希望取中位数800,以便
知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会 领导则主张用众数700,因为每月拿700元的员工最多.

例2

在上一节中,从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动

售货机的销售额可以用茎叶图表示,如图所示:
(1)甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少? (2)你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差 的大小吗? 解:(1) 观察茎叶图,我们不难 看出:甲城市销售额的中位数为 20,众数为10,18,30,极差为53;乙

城市销售额的中位数为29,众数为
23,34,极差为38.

(2)从茎叶图中我们不难看出:甲城市销售额分布主要在 茎叶图的上方且相对较散,而乙城市的销售额分布则相对

集中在茎叶图的中部.由此,我们可以估计:甲城市销售额
的平均数比乙城市的小,而方差比乙城市的大.

平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量,它是反映数据平 均水平最常用的统计量;中位数将观测数据分成相同数目的两部分,

其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大,对于非对称的
数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量时, 众数经常被使用.

例3

甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件.为了检验产品

质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量,结果如下 表所示
/mm 甲
/mm 乙
40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标 准差.,并判断哪一个机床更稳定. 解:从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直 径的平均值: x甲 ? 40(mm) x乙 ? 40(mm) 我们分别计算它们直径的标准差:

s甲 ? [(40 ? 40) 2 ? (39.8 ? 40) 2 ?
s乙 ? [(40 ? 40) 2 ? (40 ? 40)2 ?

(39.8 ? 40) 2 ] /10 ? 0.161(mm)
? (39.9 ? 40)2 ] /10 ? 0.077(mm)

由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品 直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直径的标准差为

0.161mm,比乙机床的标准差0.077mm大,说明乙机床生产
的零件更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些.

对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本 身意义的理解和在新情境中的应用,而不是记忆和使用的

熟练程度.

x, y

1.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计 表:
分数 人数 0 4 1 7 2 10 3 x 4 8 5 y

请参照这个表解答下列问题: 用含x,y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均 分f;若该班这次竞赛的平均分为2.5分,求x、y的值.
解: (1) f ?
3x ? 5 y ? 59 ; 40

x ?7 3 x?5 y ?41 (2)依题意,有 x? y ?11 解得 y ? 4

{

{

2. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中
一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平 均数的差是__________ 答案:-3

3.甲、乙两种玉米苗各抽10株,分别测得它们的株高如 下(单位:cm)
甲 乙 25 27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?
解: (1) x甲 ? 30(cm2 ) , x乙 ? 31(cm2 ) (2 )
s甲2 ? 104.2(cm 2 ),s乙2 ? 128.8(cm 2 ) ? s甲 ? s乙
2 2

? x甲 ? x乙 ,即乙种玉米的苗长得高.

,即甲种玉米的苗长得齐.

1.

根据实际问题的需求,能够从数据中提取基本的数字特征,

如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等.
2. 理解数据标准差的意义和作用.学会根据不同要求选择不同的 统计量来表达数据的信息.

即使一次次的跌倒,我们依然成长.跌倒只是
我们成长道路上的一个小小的插曲.


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