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圆的方程教案


个性化教案

圆的方程
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 通用 圆的标准方程及其求法 圆的一般方程及其特点 圆的一般方程的求法 点与圆的位置关系

适用年级

高中三年级

课时时长 (分钟) 60

教学目标

1. 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程. 2. 会根据条件求圆的标准方程和一般方程.

教学重点

圆的标准方程与圆的一般方程的理解;根据条件求圆的标准方程和一般方 程

教学难点

根据条件求圆的标准方程和一般方程

教学过程
一、复习预习
1.初中圆的定义; 2.两点间的距离.

二、知识讲解
考点 1 圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 考点 2 圆的一般方程 D2+E2-4F D E x+ ?2+?y+ ?2= 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 可变形为? ,故有: ? 2 ? ? 2? 4
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D E - ,- ?为圆心, (1)当 D2+E2-4F>0 时, 方程表示以? 以 2 2? ? D E? (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点? ?- 2 ,- 2 ?; (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 要点诠释:确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D,E,F 代入标准方程或一般方程. 考点 3 P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内.

D2+E2-4F 为半径的圆; 2

三、例题精析
【例题 1】 根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上; (2)经过 P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 【答案】(1)∵AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0, 由?

? ?3x+2y-15=0, ? ?3x+10y+9=0,

解得?

? ?x=7, ? ?y=-3.

∴圆心为 C(7,-3).又 CB= 65, 故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65. (2)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 P,Q 点的坐标分别代入,得?

? ?2D-4E-F=20, ?3D-E+F=-10. ?

① ②

2

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又令 y=0,得 x +Dx+F=0.③
2

设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36.④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y= 0. 【解析】求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方 法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的方程,用待 定系数法求解. 【例题 2】 如果实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求: y ( 1) 的最大值与最小值; (2)x+y 的最大值与最小值. x 【答案】(1)设方程(x-3)2+(y-3)2=6 所表示的圆 C 上的任意一点 P(x,y). y 的几何意义就是直线 OP 的斜率, x y 设 =k,则直线 OP 的方程为 y=kx. x 由图①可知,当直线 OP 与圆相切时,斜率取最值. 因为点 C 到直线 y=kx 的距离 d= |3k-3| k2+1 ,所以当 |3k-3| k2+1 = 6,

即 k=3± 2 2时,直线 OP 与圆相切. y 所以 的最大值与最小值分别是 3+2 2与 3-2 2. x

(2)设 x+y=b,则 y=-x+b,由图②知,当直线与圆 C 相切时,截距 b 取最值.而圆 |6-b| 心 C 到直线 y=-x+b 的距离为 d= . 2
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|6-b| 因为当 = 6,即 b=6± 2 3时,直线 y=-x+b 与圆 C 相切,所以 x+y 的最大值 2 与最小值分别为 6+2 3与 6-2 3. y-b 【解析】与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1 )形如 μ= 形式的最值问题, x-a 可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距 的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问 题,可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. 【例题 3】 3π 如图,在半径为 1 且圆心角为 的圆弧 ? AB 上有一点 C. 2 → → (1)若 C 为圆弧 ? AB 的中点,D 在线段 OA 上运动,求|OC+OD|的最小值; → → (2)若 D, E 分别为线段 OA, OB 的中点, 当 C 在圆弧 ? 求CE· DE AB 上运动时, 的取值范围. → 【答案】(1)以 O 为原点,OA为 x 轴正方向,建立如图所示的平面直角坐 标系. 设 D(t,0)(0≤t≤1),C?-

?

2 2? 2 2 → → ,所以OC+OD=?- +t, ?. , 2 2? 2? ? 2

1 1 → → 所以|OC+OD|2= - 2t +t2+ =t2- 2t+1(0≤t≤1), 2 2 当 t= 2 2 2 → → 时,最小值为 ,即|OC+OD|的最小值为 . 2 2 2

3 ? → (2)设OC=(cos α,sin α)? ?0≤α≤2π?,则 1? 1 → → → ? ? CE=OE-OC=? ?0,-2?-(cos α,sin α)=?-cosα,-2-sinα?. 1 ? 1? 1? → ? 1 ? 又因为 D? ?2,0?,E?0,-2?,所以DE=?-2,-2?, 1 π? 1 2 ? → → 1? 所以CE· DE= ?cos α+2+sinα? ?= 2 sin?α+4?+4. 2 π π 7π 2 1 2 → → ?1 因为 ≤α+ ≤ ,所以CE· DE∈ - , + ?. 4 4 4 ?4 2 4 2 ?
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【解析】在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化 思路,简便运算. 【例题 4】 在平面直角坐标系 xOy 中, 设二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个 交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【答案】(1)令 x=0,得抛物线与 y 轴的交点是(0,b), 令 f(x)=x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且 Δ>0,解得 b<1 且 b≠0. (2)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令 y=0 得 x2+Dx+F=0, 这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=-b-1. ∴圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3) 圆 C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点 ( x0 , y 0 )( x0 , y 0 不依赖于b) ,将该点的坐标代入圆 C 的方程,
2 2 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? b(1 ? y 0 ) ? 0 . 并变形为 x0 (*)

为使(*)式对所有满足 b ? 1(b ? 0) 的 b 都成立,必须有 1 ? y0 ? 0 ,结合(*)式,得
2 2 x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 0 ,解得 ?

? x0 ? 0, ? x0 ? -2, 或 ? ? y0 ? 1, ? y0 ? 1,

经检验知,点 (0?,1) ? ?,?(?2?,?0) 均在圆 C 上,因此圆 C 过定点. 【解析】求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素,即圆心和半 径,待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中可以借助圆的代数知识简化计算,如已 知一个圆经过抛物线与坐标轴的交点时, 可以运用根相同时方程的系数也一样来做, 解题时 要注意平面几何知识的应用;在一些问题中也可以借助圆的平面几何中的知识来简化计算,
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如已知一个圆经过两个点时, 其圆心一定在这两点的垂直平分线上, 解题时要注意平面几何 知识的应用.

四、课堂运用
【基础】 1.方程 x2+y2-x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是__________. 1? 【答案】? ?-∞,2? 1?2 ? 1?2 1 1 【解析】利用配方法,得? ?x-2? +?y+2? =2-m>0,解得 m<2. 2.若圆 x2+y2-2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 【答案】0 或 2 【解析】由题意,得 |1-2+a| 1 +(-1)
2

2 ,则 a 的值为_______. 2

2



2 ,解之,得 a=0 或 a=2. 2

3.圆心为(1,1)且与直线 x+y=4 相切的圆的方程是__________. 【答案】(x-1)2+(y-1)2=2 |1+1-4| 【解析】点(1,1)到直线 x+y=4 的距离 d= = 2,故半径为 2, 1+1 故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 4.(2012 江苏南京十二中高三联考)经过点 P(2,-3)作圆 x2+2x+y2=24 的弦 AB,使得点 P 平分弦 AB,则弦 AB 所在直线的方程为__________. 【答案】x-y-5=0 【解析】 点 P 在圆内, 则过点 P 且被点 P 平分的弦所在的直线与圆心和点 P 的连线垂直. 又 圆心与点 P 的连线的斜率是-1,则所求直线的斜率为 1,且过点 P(2,-3),则所求直线方 程是 x-y-5=0. 【巩固】 1.(2012 江苏镇江模拟)已知圆 C 与圆 M:x2+y2-2x=0 关于直线 y=x+1 对称,则圆 C 的 方程为__________.
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【答案】(x+1) +(y-2) =1
2 2

【解析】圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 M(1,0),半径为 1,而点 M 关于直线 y=x+1 的对称 点的坐标为 C(-1,2),所以圆 C 的方程为(x+1)2+(y -2)2=1. 2.(2012 江苏南京九中高三期末)已知点 A(-2,0),B(1, 3)是圆 x2+y2=4 上的定点,经 过点 B 的直线与该圆交于另一点 C,当△ABC 面积最大时,直线 BC 的方程是______. 【答案】x=1 【解析】AB 的长度恒定,故△ABC 面积最大只需要 C 到直线 AB 的距离最大即可.此时,C 在 AB 的中垂线上,AB 的中垂线方程为 y- 1? 3 =- 3? ?x+2?,即 y=- 3x. 2

将其代入 x2+y2=4 得 C(1,- 3)或(-1, 3). 当 C 的坐标为(1,- 3)时,BC=2 3; 当 C 的坐标为(-1, 3)时,BC=2. 因为 2 3>2,所以直线 BC 的方程是 x=1. 3.(2012 江苏南京三校联考)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点, → → 且 AB= 3,则OA· OB=__________. 1 【答案】- 2 【解析】因为直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 AB= 3,圆的半 → → → → ?-1?=-1. 径为 1,所以∠AOB=120° ,OA· OB=|OA||OB|cos∠AOB=1× 1× ? 2? 2 4.根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (3)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 【答案】(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, a +b =r , ? ? 由题意列出方程组?(a-1) +(b-1) =r , ? ?2a+3b+1=0,
2 2 2 2 2 2

a=4, ? ? 解之,得?b=-3, ? ?r =25.
2

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∴ 圆的标准方程是(x-4) +(y+3) =25.
2 2

(2)过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆心为(1, -4). ∴半径 r= (1-3)2+(-4+2)2=2 2,

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[来源:Zxxk.Com] 1 (3)由 A(1,12),B(7,10),得 A,B 的中点坐标为(4,11),kAB=- , 3 则 AB 的中垂线方程为 3x-y-1=0. 同 理得 AC 的中垂线方程为 x+y-3=0. 联立?

? ?3x-y-1=0, ?x+y-3=0, ?

? ?x=1, 得? ?y=2, ?
(1-1)2+(2-12)2=10.

即圆心坐标为(1,2),半径 r=

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100. 【拔高】 1. 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P, OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 【答案】 解法一:将 x=3-2y 代入方程 x2+y2+x-6y+m -20y+12+m=0. 12+m 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: y1+y2=4,y1y2= . 5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 故 -27+4m . 5 = 0 , 得 5y2 Q 两点,且

-27+4m 12+m + =0,解得 m=3, 5 5

1 5 - ,3?,半径 r= . 此时 Δ>0,圆心坐标为? ? 2 ? 2
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解法二:如图所示,设弦 PQ 中点为 M, 设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由解法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2, x1+x2 y1+y2 ∴x0= =-1,y0= =2,解得 M 的坐标为(-1,2). 2 2 则以 PQ 为直径的圆可设为 (x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即 r2=5,MQ2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,O1Q2=O1M2+MQ2. 1+(-6)2-4m 1 ?2 2 ∴ =? ?-2+1? +(3-2) +5. 4 1 ? 5 ∴m=3,∴半径为 ,圆心为? ?-2,3?. 2

课程小结
一个复习指导 本节复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素,注意狠抓基础知识和通性通法的训练, 并在此基础上灵活应用圆的知识解决其他问题.主要考查待定系数法求圆的方程. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

课后作业
【基础】 1.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的取值范围是__________. 1 1? 【答案】? ?-13,13? 【解析】当点 P 在圆的内部时,点 P 到圆心的距离小于该圆的半径,
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1 1 1 1 即有(5a)2+(12a)2<1?a2< 2?|a|< ?- <a< . 13 13 13 13 2.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 __________. 【答案】6 2 【解析】所给圆的圆心坐标为(2,2),半径为 r=3 2,圆心(2,2)到直线 x+y-14=0 的距 |2+2-14| 离 d= =5 2. 2 ∴ 所求的最大距离与最小距离的差为( d+r)-(d-r)=2r=6 2. 3.已知⊙C:(x-2)2+(y+3)2=25,过点 A(-1,0)的弦中,弦长的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=__________. 【答案】10-2 7 【解析】点 A 在⊙C 内,过点 A 的最大弦长为 直径 10,∴ M=10. 52-CA2=2 7.

∵ 弦长最小的弦与 AC 垂直(即以 A 为中点的弦),∴ m=2 ∴ M-m=10 -2 7.

4.(2012 江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为__________. 【答案】x2+y2=2 |-2| 【解析】设圆的方程为 x2+y2=r2(r>0),则 r= = 2,所以圆的方程为 x2+y2=2. 2 5.圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4) ,B(0,-2),则圆 C 的方 程为__________. 【答案】(x-2)2+(y+3)2=5 【解析】圆心在 AB 中垂线 y=-3 上,又在 2x-y-7=0 上, 所以 C(2,-3),CA= 5,故圆 C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 6.已知圆 C 经过直线 2x-y+2=0 与坐标轴的两个交点,又经过点(2,0),则圆 C 的方程 为________. 【答案】x2+y2-x-y-2=0
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【解析】方法一:直线 2x-y+2=0 与坐标轴的交点为 A(-1,0),B(0,2),圆又经过点(2, 0),可把圆 C 的方程设为一般形式,把点坐标代入求得 x2+y2-x-y-2=0. 方法二:可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点,先求出圆心,并求出半径,再求. 【巩固】 1.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为__________. 【答案】(x-3)2+y2=2 【解析】∵由已知得圆 C 过 A(4,1),B(2,1)两点, ∴ 直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C. 又∵ 圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1),∴ kBC=-1.

∴ 直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2),得 y=-x+3. 由?

?y=-x+3, ? ? ?x=3,
r=BC=

解得?

?x=3, ? ? ?y=0,

故圆心 C 的坐标为(3,0).[来源:学科网]



?3-2?2+?0-1?2= 2,

∴ 圆的方程为(x-3)2+y2=2. 2.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线且 PA=1,则 P 点 的轨迹方程是__________. 【答案】(x-1)2+y2=2 【解析】作图可 知圆心(1,0)到点 P 的距离为 2,所以 P 在以(1,0)为圆心,以 2为半径 的圆上,其轨迹方程为(x-1) 2+y2=2. 3.(2012 江苏徐州高三质检)在平面直角坐标系中,已知点 A(1,-2),B(4,0),P(a,1), N(a+1, 1), 当四边形 PABN 的周长最小时, 过点 A, P, N 的圆的圆心坐标是__________. 9? 【答案】? ?3,-8? 【解析】因为 AB,PN 长已知,所以四边形 PABN 的周长最小,即 AP+NB 最小. AP+NB= (a-1)2+32+ (a-3)2+12,AP 可以看成点(a,0)到(1,3)的距离,NB 可

以看成(a,0)到(3,1)的距离.因为点(1,3)关于 x 轴的对称点的坐标为(1,-3),当三点共
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5 线时,AP+NB 最小,即 a= . 2 5 ? ?7 ? 所以 P? ?2,1?,N?2,1?. 因为过 A,P,N 的三点的圆的圆心就是 AP,AN 的中垂线的交点,求得圆心坐标为

?3,-9?. 8? ?
4.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【答案】(1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点坐标为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0), (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心坐标为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2, 解得 t=1.则圆 C 的半径为 32+(t-1)2=3.

所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组?

? ?x-y+a=0, ?(x-3)2+(y-1)2=9. ?

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得 Δ=56-1 6a-4a2>0. (8-2a)± 56-16a-4a2 因此 x1,2= , 4 a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①②,得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1.[ 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距 离为 1,求实数 c 的取值范围.

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【答案】如图,圆 x +y =4 的半径为 2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为 1,问题转
2 2

化为原点(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,即 ∴-13<c<13. 【拔高】

<1,|c|<13, 122+52

|c|

1.有一种大型商品,A,B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运 回的费用是:A 地每千米的运费是 B 地每千米运费的 3 倍.已知 A,B 两地距离为 10 千米, 顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是: 包括运费和价格的总费用 较低. 求 P 地居民选择 A 地或 B 地购货总费用相等时,点 P 所在曲线的形状,并指出曲线上、 曲线内、曲线外的居民应 如何选择购物地点? 【答案】如图,以 A,B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点 建立平面直角坐标系, ∵ AB=10,∴ A(-5,0),B(5,0). 设 P(x,y),P 到 A,B 两地购物的运费分别是 3a,a 元/千米. 当由 P 地到 A,B 两地购物费用相等时,有价格+A 地运费=价格+B 地运费, ∴ 3a· (x+5)2+y2=a· (x-5)2+y2.

25?2 2 ?15?2 化简整理,得? ?x+ 4 ? +y =? 4 ? . 25 ? 15 当点 P 在以? ?- 4 ,0?为圆心、4 为半径的圆上时,居民到 A 地或 B 地购货总费用相等. 25 15 x+ ?2+y2<? ?2, 当点 P 在上述圆内时, ? 4 ? ? ?4? ∴ ∴

? 25?2 2 ?15?2? [9(x+5)2+9y2]-[(x-5)2+y2]=8? ??x+ 4 ? +y -? 4 ? ?<0.
3 (x+5)2+y2< (x-5)2+y2.故此时到 A 地购物合算.

25?2 2 ?15?2 当点 P 在上述圆外时,? ?x+ 4 ? +y >? 4 ? , ∴ ∴

? 25?2 2 ?15?2? [9(x+5)2+9y2]-[(x-5)2+y2]=8? ??x+ 4 ? +y -? 4 ? ?>0.
3 (x+5)2+y2> (x-5)2+y2.故此时到 B 地购物合算.
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课后评价(在各自的系统上进行布置,不在教学案中体现)
包含: 1.课后作业学生完成情况 2.本节课主要内容概括 3.本节课学生学习态度 4.学生知识掌握情况和存在的问题(通过课堂反馈题进行分析) 语言真诚、体现学生实际情况,并且语言风格以鼓励为主,语气温和,体现教师的专业 性与爱心。

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