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2015-2016学年高中数学必修2配套课件必修2配套课件:2.3.3 《空间两点间的距离公式》


3.3

空间两点间的距离公式

(1)掌握空间两点间的距离公式, (2)会应用距离公式解决有关问题. (3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意

识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基
本思想方法

D'
A' D

C'

B'
C

A

B

建筑用砖通常是长方体,我们可以拿尺子测量出一 块砖的长、宽和高,那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢?直接测量比较困难,我们可以用间接的方法去测

量。如果有三块砖,你如何测量AC′的长度,两块呢?

1.思考:类比平面两点间的距离公式的推导,在空间直

角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的
距离,怎么求? (1)先看简单的情形 空间中任意一点的坐标 P( x, y, z ) 到原点之间的距离公式会是怎样呢?

如图所示,设点P在 xoy 平面上的 射影是B.则点B的坐标是 ( x, y, 0).
2 2 在 xoy 平面上,有 OB ? x ? y .
A z

P(x,y,z) O B(x,y,0) y

在Rt ?OBP中,根据勾股定理
OP ? OB ? BP ,
2 2

x

BP ? z , 所以 OP ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

这说明,在空间直角坐标系中,空间中任意一点 P( x, y, z ) 与原点的距离 OP ?

x2 ? y 2 ? z 2 .

探究:
如果 OP 是定长r,那么 x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? z 在空间中,到定点的距离 等于定长的点的轨迹是

P
O y

以原点为球心,
半径长为 r 的球面.

x

(2)如果是空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式会是怎样呢? 如图,设 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中任意两点,且
z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 )
在xoy平面上的射影分别
为M,N,那么M,N的坐标为

M ( x1 , y1 ,0)

N ( x2 , y2 ,0)

在xoy平面上, MN ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

过点


P1

作 P 2 N 的垂线,垂足为H,

z

MP 1 ? z1 , MP 2 ? z2 ,
P1 O M1 N1 x M

P2

所以 MP2 ? z2 ? z1 .

在Rt ?PHP 1 2中,
2 2 PH ? MN ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) , 1 2 1 2 1

M2 H N2 y N

根据勾股定理
PP 1 2 ?
2 2 2 PH ? HP ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

因此,空间中任意两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P 2 ( x2 , y2 , z2 )
2 2 2 ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) . 之间的距离 PP 1 2 2 1 2 1 2 1

例 1 给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为
30 .

解:设点P的坐标是(x,0,0),由题意 | P 0 P |? 30, ,



( x ? 4) 2 ? 12 ? 22 ? 30,

所以(x-4)2=25. 解得x=9或x=-1 所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)

练习: 1.求下列两点的距离

(1) A(2,3,5), B(3,1, 4) (2) A(6, 0,1), B(3,5, 7)
答案: (1). 6

(2). 70

例2. 在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使M 到点N(6,5,1)的距离最小.
解:由已知可设M(x,1-x,0),则

| MN |? ( x ? 6) 2 ? (1 ? x ? 5) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 2( x ? 1) 2 ? 51
所以,当x=1时,|MN|min= 51 ,故点M为(1,0,0).

练习:在z轴上求一点M,使点M 到A(1,0,2)与

点B(1,-3,1)的距离相等.
答案: (0, 0, ?3)

1、已知两点M ( ( 1 -1,0,2),M 2 0,3,-1), 此两点间的距离为( A ) A. 19   B. 11 C.19 D.11

2、在RtΔ ABC中,∠BAC=90° , 三点坐标为A(2,1, 1),B(1, 1, 2) C(x,0, 1),则x = ____ 2

1、会画空间直角坐标系; 2、已知点写出其空间直角坐标; 3、空间直角坐标系中距离公式.

不要害怕批评。当你提出新的观念,就要

准备接受人批评。


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